双量词的应用问题 微考点专项练-2027届高三数学一轮复习备考

**基本信息** 聚焦双量词应用，以量词命题否定、函数性质与参数范围为核心，通过“概念-转化-求解”逻辑链系统训练，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |量词命题否定|2题（第1、10题）|量词转换法|从存在/全称命题否定规则，到复合命题真假判断| |双量词函数关系|8题（第2、3、8题等）|最值比较法|结合函数单调性、导数求值域，转化为最值关系| |参数范围综合|9题（第5、15、19题等）|命题真假分类讨论法|从命题真假条件出发，整合函数性质与不等式求解|

双量词的应用问题 微考点专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 5．已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（   ） A．若，则， B．，，且，有 C．，，且，有 D．， 10．（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 三、填空题 11．已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 12．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 13．已知函数，．若，，，则a的取值范围是________． 14．设，若对任意，存在，使得.则的取值范围为__________. 四、解答题 15．已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 16．设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 17．设函数与的定义域为且，是偶函数，是奇函数，且． (1)求和的解析式； (2)求的值； (3)若，使得成立，求的范围． 18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D C D C AB AB 1．D 根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 命题“，，”为存在量词命题， 则其否定为：，，. 故选：D 2．B 问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 3．B 应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 4．D 命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 5．D 当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 6．C 求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 7．D 对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 8．C A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 9．AB 结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D. 对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且， 所以当时，恒成立，当时，恒成立， 所以，恒成立，故A正确； 对于B，，，且，都有， 所以，故B正确； 对于C，设，则，都有，故C错误； 对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但 所以，，故D错误. 故选：AB 10．AB 由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 11． 因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 12． 对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 13． 利用三角恒等变换及对勾函数的性质求得的值域，根据一次函数的单调性求得的值域，由题可得的值域是的值域的子集，由此列出不等式，求解可得a的取值范围. 函数. 令， 当时，，，所以. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以由对勾函数的性质，得在上单调递增， 所以. 所以，. 函数是单调递增函数， 所以当时，. 若，，，则是的子集， 所以，解得. 故a的取值范围是. 14． 根据给定条件，求出原命题的否定为真时的范围，再求出其补集即可. 命题“对任意，存在，使得”， 的否定为：存在，对任意，， 解不等式，得， 于是存在，， 则两区间长度需要满足，解得， 因此对任意，存在，使得成立时，， 又，则，所以的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) （1）分别求出命题，命题为假命题时的取值范围，进而得到结果即可； （2）求（1）中的补集即可． （1）若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； （2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 16．(1)，证明见解析 (2)或 （1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． 17．(1)， (2) (3) （1）以代换，结合奇偶性可求解出的解析式； （2）先计算出的值，然后可计算出的结果； （3）先求解出的值域，然后根据条件判断出值域之间的子集关系，由此列出不等式组，解之即可. （1）因为，所以， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 所以， 由可得，； （2）因为，所以， 所以， 所以 ； （3）当时，单调递增，且， 所以在上单调递减，所以，所以， 当时，均单调递增，所以单调递增，且， 所以单调递减，所以，所以， 因为，使得成立， 当时，，此时显然不成立，舍去； 当时，，由条件可知，所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 18．(1)0，1； (2)； (3) （1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. （1）当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； （2）由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19．(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） （1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. （1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $