第1章 第2讲 常用逻辑用语 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦量词命题、充分必要条件等核心概念，以题载法构建从概念辨析到综合应用的逻辑体系，培养推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |量词命题与否定|3题（例2）|全称命题否定：特称化+结论否定|从命题类型判断到否定规则，形成概念-否定-真假判断链条| |充分必要条件|6题（例3、4）|集合包含法：条件对应集合的子集关系|以不等式、函数单调性为载体，建立条件与集合的对应逻辑| |向量应用|1题（例7）|垂直：数量积为0；平行：坐标交叉相等|向量运算与充要条件结合，体现几何与代数的转化| |综合应用|4题（例5、14）|命题真假与参数范围：分类讨论+最值分析|融合函数、不等式，构建“命题-条件-参数”的综合推理路径|

1．(2026·西安质量检测)下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B．任意两个无理数之和仍是无理数 C．∃x∈R，x2－3x＋＞0 D．至少存在两个质数的平方是偶数 解析：选C．A，B选项是全称量词命题，不符合题意，排除A，B；C，D选项是存在量词命题，对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝＞0，C为真命题，故C正确；对于D，质数中只有2的平方是偶数，D为假命题，故D错误． 2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x≤1，则¬p为(　　) A．∃x＜0，ex＜1且sin x＞1 B．∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 C．∃x≥0，ex＜1或sin x＞1 D．∃x≥0，ex＜1且sin x＞1 解析：选D．命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x≤1，为全称量词命题，则¬p：∃x≥0，ex＜1且sin x＞1. 3．(2025·南京、盐城市调研)设a为实数，则“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．解一元二次不等式(a－1)(a－2)＞0，得a＜1或a＞2，则“a＜1”是“(a－1)·(a－2)＞0”的充分不必要条件． 4．(2026·临沂模拟)已知f(x)＝tan x，若对任意实数a∈(－1，1)，b∈(－1，1)，则“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．因为f(x)＝tan x在(－1，1)内单调递增，并且是奇函数，所以tan a＋tan b＞0⇔tan a＞－tan b⇔tan a＞tan (－b)⇔a＞－b⇔a＋b＞0，所以“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的充要条件． 5．已知命题p：∀x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q：∃x∈R，2x<a.若p和¬q均为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，0] B．(－2，0) C．[－2，0] D．[－2，0) 解析：选C．由p为真命题，可知(－a)2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由¬q为真命题，可得∀x∈R，2x≥a恒成立，因为2x>0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0].　 6．若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是(　　) A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C．＞1 D．x－y＞1 解析：选D．对于A，由|x|＞|y|，取x＝－2，y＝1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则|x|＜|y|，所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，A错误；对于B，由x2＞y2，取x＝－2，y＝1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则x2＜y2，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，B错误；对于C，由＞1，取x＝－2，y＝－1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则＜1，所以“＞1”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，C错误；对于D，因为x－y＞1，所以x＞y＋1＞y，即x＞y，当x＞y时，取x＝2.5，y＝2，则x－y＜1，所以“x－y＞1”是“x＞y”的一个充分不必要条件，D正确． 7．(多选)(2026·威海模拟)设向量a＝(x＋4，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．x＝0是a⊥b的充分条件 B．x＝－6是a⊥b的必要条件 C．a∥b是x＝4的必要条件 D．a∥b是x＝－2的充分条件 解析：选AC．A，B选项，a·b＝(x＋4，x)·(x，2)＝x2＋4x＋2x＝0，解得x＝0或x＝－6，故x＝0是a⊥b的充分条件，A正确，B错误；C，D选项，令x2－2(x＋4)＝0，解得x＝4或x＝－2，故a∥b是x＝4的必要条件，C正确，D错误． 8．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则满足p是q的充要条件的电路图是(　　) 解析：选BD．题图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；题图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；题图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；题图D中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件． 9．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1 B．“任意x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是x2＋y2≥4的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：选ABD．对于A，假设x≤1，y≤1，则x＋y≤2与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A正确；对于B, “任意x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”，B正确；对于C，x≥2则x2≥4，y≥2则y2≥4，x2＋y2≥8，则满足x2＋y2≥4，充分性成立，C错误；对于D，当a≠0时，ab可能为零，当ab≠0时，a一定不为零，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确． 10．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：___________________________________. 解析：因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明“存在一个素数不是奇数”为真命题． 答案：存在一个素数不是奇数为真命题 11．已知条件p：x>a，条件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________； (2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是____________． 解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2. (2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a<2. 答案：(1)[2，＋∞)　(2)(－∞，2) 12．已知命题“∃x∈R，mx2－mx＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得“∀x∈R，mx2－mx＋1＞0”为真命题．当m＝0时，1＞0，符合题意；当m≠0时，有 解得0＜m＜4.综上，0≤m＜4. 答案：[0，4) 13．(开放探究)(2026·泉州检测)甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0＜Δx＜2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确地描述“Δ”处的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A的必要不充分条件；丙：C是A的充分不必要条件．则“Δ”处的数字是(　　) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 解析：选C．因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0＜Δx＜2}＝}，因为B是A的必要不充分条件，C是A的充分不必要条件，所以AB，CA，故＞且≤5，解得Δ∈[，3)，故“Δ”处的数字是1或2. 14．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，所以f(x)max＝f()＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝8＋a.因此≤8＋a，则a≥，即实数a的取值范围为[，＋∞). 答案：[，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $