第1章 第2讲 常用逻辑用语 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

1．(2026·西安质量检测)下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2－3x＋5＞0

B．任意两个无理数之和仍是无理数

C．∃x∈R，x2－3x＋＞0

D．至少存在两个质数的平方是偶数

解析：选C．A，B选项是全称量词命题，不符合题意，排除A，B；C，D选项是存在量词命题，对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝＞0，C为真命题，故C正确；对于D，质数中只有2的平方是偶数，D为假命题，故D错误．

2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x≤1，则¬p为(　　)

A．∃x＜0，ex＜1且sin x＞1

B．∃x＜0，ex≥1或sin x≤1

C．∃x≥0，ex＜1或sin x＞1

D．∃x≥0，ex＜1且sin x＞1

解析：选D．命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x≤1，为全称量词命题，则¬p：∃x≥0，ex＜1且sin x＞1.

3．(2025·南京、盐城市调研)设a为实数，则“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．解一元二次不等式(a－1)(a－2)＞0，得a＜1或a＞2，则“a＜1”是“(a－1)·(a－2)＞0”的充分不必要条件．

4．(2026·临沂模拟)已知f(x)＝tan x，若对任意实数a∈(－1，1)，b∈(－1，1)，则“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．因为f(x)＝tan x在(－1，1)内单调递增，并且是奇函数，所以tan a＋tan b＞0⇔tan a＞－tan b⇔tan a＞tan (－b)⇔a＞－b⇔a＋b＞0，所以“a＋b＞0”是“f(a)＋f(b)＞0”的充要条件．

5．已知命题p：∀x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q：∃x∈R，2x<a.若p和¬q均为真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－2，0]    B．(－2，0)

C．[－2，0]    D．[－2，0)

解析：选C．由p为真命题，可知(－a)2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由¬q为真命题，可得∀x∈R，2x≥a恒成立，因为2x>0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0].　

6．若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．|x|＞|y|    B．x2＞y2

C．＞1    D．x－y＞1

解析：选D．对于A，由|x|＞|y|，取x＝－2，y＝1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则|x|＜|y|，所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，A错误；对于B，由x2＞y2，取x＝－2，y＝1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则x2＜y2，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，B错误；对于C，由＞1，取x＝－2，y＝－1，则x＜y，由x＞y，取x＝1，y＝－2，则＜1，所以“＞1”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，C错误；对于D，因为x－y＞1，所以x＞y＋1＞y，即x＞y，当x＞y时，取x＝2.5，y＝2，则x－y＜1，所以“x－y＞1”是“x＞y”的一个充分不必要条件，D正确．

7．(多选)(2026·威海模拟)设向量a＝(x＋4，x)，b＝(x，2)，则(　　)