2.2.1 有理数的乘法 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的乘法”，核心知识点包括乘法法则、倒数及运算律，通过对比倒数与相反数、结合具体计算实例，衔接有理数加减法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握运算方法。 特色在于知识梳理结构化，用表格清晰对比倒数与相反数，典型例题分层设计，从基础计算到实际应用及变式拓展，培养学生运算能力与推理意识，通过运算律简化运算的训练，提升数学思维的条理性和解决实际问题的应用意识。

2.2.1 有理数的乘法-导学案 【学习目标】 1. 掌握有理数的乘法及简单的混合运算（以三步以内为主）； 2. 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算； 3. 能运用有理数的运算解决简单问题。 【知识梳理】 知识点一、有理数乘法法则 1.两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如,(+3)×(+2),因为两数同号(都是正号),所以结果为正,再把绝对值3和2相乘,得到(+3)×(+2)=+6; 例如，(-3)×(-2),两数同号(都是负号),结果为正,|-3|×|-2|=3×2=6,即(-3)×(-2)=6。而(+3)×(-2)，两数异号,结果为负,|+3|×|-2|=3×2=6,所有(+3)×(-2)=-6。 任何数与0相乘,都得0。比如0×5=0,(-8)×0=0。 2.多个有理数相乘 几个不等于0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正;负因数的个数是奇数时,积为负。例如(-2)×(-3)×4,负因数有2个, 负因数的个数是偶数个,所以积为正,|-2|×|-3|×|4|=2×3×4=24,(-2)×(-3)×4=24;而(-2)×(-3)×(-4),负因数有3个,是奇数个,积为负,|-2|×|-3|×|-4|=2×3×4=24,所以(-2)×(-3)×(-4) =-24。 几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0。比如(-1)×0×5=0。 知识点二、倒数 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。 倒数与相反数之间的关系： 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 知识点三、有理数乘法的运算律 1.乘法交换律: 两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即a×b=b×a。例如3×(-5)=(-5)×3 =-15。 2.乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(a ×b)×c=a×(b×c)。比如[(-2)×3]×(-4)=(-2)×[3×(-4)]=24。 3.乘法分配律: 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即a×(b+c)=a×b+a×c。例如，2×[3+(-5)]=2×3+2×(-5)=6+(-10)=-4。 掌握有理数乘法法则和运算律,能帮助我们准确、快速地进行有理数乘法运算,解决相关的数学问题和实际问题。 【典型例题】 类型一、有理数乘法法则 1.计算：(1) (2) （3） （4） 详解：（1）解析：这是三个负数相乘。根据法则“奇数个负数相乘，积为负”，先确定符号为负，再计算绝对值：，结果为。* （2）解析：分数与小数混合，建议将小数化成分数或将分数化成小数。 方法一：。 方法二：。 （3）解析：先观察符号，共有3个负号，积为负。 计算技巧：（这是常用凑整组合）。 原式 。 （4）解析：这是一道乘减混合运算，注意运算顺序（先乘后减）和符号处理。 第一部分：（负负得正）。 第二部分：。 最后计算：。 举一反三： 【变式1】用简便方法计算： (1)． (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解： 类型二、有理数乘法的实际应用 1. 已知，，且，求的值． 【分析】先根据绝对值的性质求出、的值，然后根据进一步确定、的值，从而求出的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为40或． 举一反三： 【变式1】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， 【变式2】学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算更加简便． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2） ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 有理数的乘法-导学案 【学习目标】 1. 掌握有理数的乘法及简单的混合运算（以三步以内为主）； 2. 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算； 3. 能运用有理数的运算解决简单问题。 【知识梳理】 知识点一、有理数乘法法则 1.两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如,(+3)×(+2),因为两数同号(都是正号),所以结果为正,再把绝对值3和2相乘,得到(+3)×(+2)=+6; 例如，(-3)×(-2),两数同号(都是负号),结果为正,|-3|×|-2|=3×2=6,即(-3)×(-2)=6。而(+3)×(-2)，两数异号,结果为负,|+3|×|-2|=3×2=6,所有(+3)×(-2)=-6。 任何数与0相乘,都得0。比如0×5=0,(-8)×0=0。 2.多个有理数相乘 几个不等于0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正;负因数的个数是奇数时,积为负。例如(-2)×(-3)×4,负因数有2个, 负因数的个数是偶数个,所以积为正,|-2|×|-3|×|4|=2×3×4=24,(-2)×(-3)×4=24;而(-2)×(-3)×(-4),负因数有3个,是奇数个,积为负,|-2|×|-3|×|-4|=2×3×4=24,所以(-2)×(-3)×(-4) =-24。 几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0。比如(-1)×0×5=0。 知识点二、倒数 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。 倒数与相反数之间的关系： 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数 知识点三、有理数乘法的运算律 1.乘法交换律: 两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即a×b=b×a。例如3×(-5)=(-5)×3 =-15。 2.乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(a ×b)×c=a×(b×c)。比如[(-2)×3]×(-4)=(-2)×[3×(-4)]=24。 3.乘法分配律: 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,即a×(b+c)=a×b+a×c。例如，2×[3+(-5)]=2×3+2×(-5)=6+(-10)=-4。 掌握有理数乘法法则和运算律,能帮助我们准确、快速地进行有理数乘法运算,解决相关的数学问题和实际问题。 【典型例题】 类型一、有理数乘法法则 1.计算：(1) (2) （3） （4） 举一反三： 【变式1】用简便方法计算： (1)． (2) 类型二、有理数乘法的实际应用 1. 已知，，且，求的值． 举一反三： 【变式1】小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【变式2】学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 学科网（北京）股份有限公司 $