精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年下学期第一次月考高二数学

高坪中学高2024级高二下学期第一次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 3. 已知各项均为正数的等比数列，若，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 如图，直线和圆，当从顺时针绕点匀速旋转到时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数.这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递增 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极大值 10. 已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若函数有两个零点，则 C. 不等式的解集为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 13. 已知函数，则______________________. 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数在时取得极大值． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 17. 已知函数，． （1）求； （2）证明：当时，； （3）设函数，将函数的零点从小到大排列构成数列，求数列的前8项的和． 18. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2024级高二下学期第一次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式、求导法则逐一验证各选项即可得出正确结果 【详解】对于A选项：为常数，故，A错误； 对于B选项： ，B错误； 对于C选项： ，C错误； 对于D选项： ，D正确. 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. 19 B. 51 C. 69 D. 87 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】因为，所以， 则. 3. 已知各项均为正数的等比数列，若，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】借助等比数列基本量计算即可得. 【详解】由题意可得，，， 则，即， 则，故或， 当时，则，不符，故舍去； 当时，则，符合题意； 综上可得：. 4. 如图，直线和圆，当从顺时针绕点匀速旋转到时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数.这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大再变小，即可求解. 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大再变小， 结合选项，可得选项D符合题意. 故选：D. 5. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 6. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“极值点处导数为0和函数值为1”联立方程组，求解参数后通过单调性验证极值类型，最后代入参数值即可求解. 【详解】因为函数在处取得最小值1， 所以在处取得极值，故. 又，所以， 解得. 将代入导数得， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列前项和公式，按照公比和两种情况进行讨论，可求得，再结合等比数列通项公式化简，即可求得值. 【详解】由题意，根据等比数列前项和公式，当时，可得， 化简得， 又等比数列公比，所以，所以，即， 解得（舍）或， 又，即，化简得， 即，又，所以， 又，所以，解得， 当时，，，所以，与题意矛盾，不成立. 综上所述，的取值为. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 令，则， 因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以，即，化简得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递增 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，利用导数的几何意义判断切线斜率，利用导数的正负判断函数的单调性，利用导数零点及左右符号变化判断极值点，逐个判断即可. 【详解】选项A：由图可知，即函数的图象在的切线的斜率大于0，故A错误； 选项B：由图可知时，， 所以函数在上单调递增，故B正确； 选项C：由图可知时，， 所以函数在上单调递增， 左右两侧导数符号相同，不是函数的极值点，故C错误； 选项D：由C选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 10. 已知等比数列的前项和为，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用退一相减法及等比数列定义可求，即可判断A选项，再根据等差数列的定义判断B选项；利用作差法比大小可判断C选项，构造数列满足，计算数列的前项和，可判断D选项. 【详解】由，可得时，①， 当时，，两式相减，可得， 即，因数列为等比数列， 故公比为，由①可得，解得， 故，故A错误； 又因，， 所以，即数列是等差数列，故B正确； 又，即，故C正确； 因，设， 则的前项和为， 所以，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若函数有两个零点，则 C. 不等式的解集为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为是的极小值点，， 因为，且时， 所以，当时直线与有两个交点，选项B错误； 对于选项C，由，得到，当时，恒成立， 当时，由，得到， 令，在区间上单调递增，所以，则， 综上，不等式的解集为，C选项正确； 对于选项D，由，得到， 则，由选项A知，在区间上单调递增， 所以，则，故选项D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过推导出时的通项公式，结合条件可得时也满足该通项公式，进而可求得的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 13. 已知函数，则______________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】， 故，故， 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式. （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【小问1详解】 由得， 由得,即， 所以有，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 则 . 16. 已知函数在时取得极大值． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解后再验证即可； （2）结合（1）判断出函数在上单调性，再求其最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为函数在时取得极大值． 所以， 解得， 当时， ，， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时取得极大值，为，满足题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数，． （1）求； （2）证明：当时，； （3）设函数，将函数的零点从小到大排列构成数列，求数列的前8项的和． 【答案】（1）1 （2）设，则， 由于恒成立，因此，则在上单调递减， 当时，，即，故. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入求值即可； （2）构造新函数，判断单调性，利用端点函数值完成证明； （3）利用三角恒等变换化简函数求零点，按照从小到大排列，求和即可. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，. 令，可得或， 由，，可得； 由，可得时​，解得或， 的零点从小到大排列，得到前8项为： ， 依题意，数列的前8项的和为 . 18. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：设， 则， 即， 因为，所以， 则数列是首项为，公差为的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造新数列，算出，差值固定不变，满足等差数列定义，从而得证. （2）用等差数列通项公式写出，代入，变形得到，两边取倒数，直接写出通项. （3）拆分，分开用等比、等差求和公式算出前项和，化简不等式，转化为，设，作差法判断单调性，得出时最大值为，代入最大值计算，得到. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由，可得， ，解得. 【小问3详解】 因为， 依题意，， ， 则转化为， 即，也即， 因为不等式对一切恒成立，所以， 设， 因， 当时，，得， 当时， ，得， 当时，因，则 ，故单调递减， 则有，又， 故，则， 则实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【小问1详解】 当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . 【小问2详解】 ，， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】  ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则  ， 令 ，则， 所以  在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $