精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二下学期期中测试数学试题

高2023级高二下期期中测试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 22 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项和等差数列前n项和公式求解 【详解】由题意得，， 则， 故. 故选：D 2. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. e 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 3. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数和组合数公式求解即可. 【详解】由， 得， 即，所以. 故选：B. 4. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性求得不等式的解集. 【详解】的定义域为，， 所以是奇函数， 在上递增， 所以由得， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 5. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 6. 已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，并求出单调性，进而求出极值，通过题意列出不等数组，求解即可. 【详解】依题意求导得， 可得和为函数的极值， 函数的增区间为，，减区间为， 由，，又由， 因式分解为， 解得或(或观察出)， 若函数在上存在最小值， 有，解得， 故选：A. 7. 某公司今年获利5000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元时大约还需要（ ） （参考数据：，，，） A. 4年 B. 7年 C. 12年 D. 50年 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知每年的利润构成了一个等比数列，确定首项和公比，利用等比数列的前n项和公式列出方程，解得答案. 【详解】根据题意，每年的利润构成一个等比数列， 其中首项，公比，． 于是得到，整理，得， 两边取对数，得，解得， 故大约还需要5年，根据选项最接近的为4年， 故选：A 8. 设，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最大值，然后结合函数单调性即可比较大小． 【详解】解：令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得最大值， 因为，，， ， 当时，函数单调递增， 可得，即． 故选：B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 可以组成无重复数字的四位数96个 B. 可以组成有重复数字的四位数404个 C. 可以组成无重复数字的四位偶数66个 D. 可以组成百位是奇数的四位偶数28个 【答案】AB 【解析】 【分析】由两个计数原理逐个判断即可； 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确； 对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确； 对于C，若个位数为0，则有（个）， 若个位数不为0，则有（个）， 所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误； 对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误． 故选：AB 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】依次求出数列的前几项，观察可知数列是周期数列，周期是3.根据数列的周期性，即可求出答案. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为， 所以，，， 观察可知，所以数列是周期数列，周期是3， 则，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取最大值 B. 是的极大值点 C. 没有极小值点 D. 可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，若，则使的的最小值______. 【答案】 6 【解析】 【详解】因为，， 所以. ，解得，所以最小值为6. 13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 14. 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数____. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，根据题意，列出方程组，即可求得参数值. 【详解】，故，又，故， 故在处的切线为：，也即； 设与曲线切于点，又，故， 则，且，则可得，解得， 故. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）576 （2）144 （3）960 【解析】 【分析】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问2详解】 先将3名男生排好，共有种排法， 在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问3详解】 先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中， 共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 16. 设数列的前项和，数列满足，. （1）求； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）令，由求出的值，再令，由，得，将两式相减得出数列是等比数列，求出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可得出； （2）由题意得出，等式两边同时除以，利用等差数列的定义可证明出数列为等差数列； （3）利用（2）中的结论得出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和. 【详解】（1）当时，，即，解得； 当时，由，得，两式相减得，， 则，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列，； （2），等式两边同时除以得，即. 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则； （3）， ， 下式上式，得. 【点睛】本题考查利用前项和与通项的递推公式求数列的通项，一般利用公式来计算，同时也考查了等差数列的定义以及错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中等题. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性与极值; （2）若对任意恒成立， 求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，讨论和两种情况即可求解. （2）时，恒成立，令，求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 解：，， 当时，恒成立， 在R上单调递增，无极大值也无极小值； 当，时，，时，， 在上单调递减，在单调递增， 函数有极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：若对任意恒成立，则恒成立，即. 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 在上为减函数，在上为增函数， ， ， ， 实数a的取值范围为. 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】本题第（1）题先设等差数列的公差为，然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列的通项公式； 第（2）题由题干可得.根据递推公式的特点可用累加法计算出数列的通项公式，接着计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和. 【详解】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以. （2）依题意，由可得. 则时， 当时，，即也满足上式， ， ， . 【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值. 【详解】（1）由题意得： ， 曲线在处切线为：，即 （2）由（1）知： 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 又，， 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增 该零点为上的唯一零点 （3）由题意得： 为的两个极值点，即为方程的两根 ， ，又，解得： 令， 则 在上单调递减 即 即实数的最大值为： 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高二下期期中测试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 22 B. 45 C. 50 D. 55 2. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. e 3. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 4. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 6. 已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司今年获利5000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元时大约还需要（ ） （参考数据：，，，） A. 4年 B. 7年 C. 12年 D. 50年 8. 设，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 可以组成无重复数字的四位数96个 B. 可以组成有重复数字的四位数404个 C. 可以组成无重复数字的四位偶数66个 D. 可以组成百位是奇数的四位偶数28个 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取最大值 B. 是的极大值点 C. 没有极小值点 D. 可能不是导函数的极大值点 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，若，则使的的最小值______. 13. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 14. 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数____. 四、解答题（共77分） 15. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 16. 设数列的前项和，数列满足，. （1）求； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性与极值; （2）若对任意恒成立， 求实数的取值范围． 18. 已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的前n项和. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $