第四章《一次函数》单元测试卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册《一次函数》单元卷，含选择（10题30分）、填空（8题24分）、解答（6题46分），覆盖函数概念、图像性质及实际应用，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数图像象限、平移、交点坐标|基础辨析，如第3题判断函数经过象限，强化几何直观| |填空题|8/24|函数定义、性质、几何应用|结合最短路径（第17题），提升空间观念与符号意识| |解答题|6/46|利润问题、行程图像、动点综合|情境真实（第19题销售利润），综合探究（第25题等腰三角形存在性），体现模型意识与推理能力|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第四章 《一次函数》 （测试时间：100分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．点在一次函数的图象上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（　 　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限 4．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b， 则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　 ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0） C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小 5．如果一次函数的图像经过第二、三象限，且与y轴的负半轴相交， 那么在下列四个正确的选项是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　 ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 10．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地， 他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示， 根据图中的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了20 km； （2）小陆全程共用了1.5h； （3）小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度 （4）小李在途中停留了0.5h． 其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案． 11．已知是一次函数，则m= . 12．一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k= ． 13．已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是 ． 14． 点A(x1，y1)，点B(x2，y2)是一次函数y＝3x+b图象上的两个点，且x1＜x2， 那么y1 y2（填“＞”或“＜”）． 15．一次函数的图象过点(0，3)且与直线y＝－x平行，那么函数表达式是 ． 16．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则的值为 ． 17．在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为 ． 18． 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米， 先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中， 甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则b= . 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．某企业生产一种收音机，其成本24元．直接由厂家门市部销售，每台售价32元， 门市部的销售需消耗费用每月2400元，如果委托商店销售，出厂价每台28元， 销售多少台时两种销售方式所获得的利润相等？若销售量达每月2000台， 问采用哪种销售方式，取得的利润较多？ 20．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： 21. 某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书， 租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如下图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系式. （2）两种租书方式每天的收费是多少元？（x＜100） 22. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC=6厘米，点P从A点出发，沿A →B→C→D路线运动， 到D点停止；点Q从D点出发，沿D →C →B →A运动，到A点停止．若点P，点Q同时出发， 点P的速度为每秒1厘米，点Q的速度为每秒2厘米，a秒时点P，点Q同时改变速度， 点P的速度变为每秒b厘米，点Q的速度变为每秒c厘米． 如图2是描述点P出发x秒后△APD的面积S1（）与x(秒)的函数关系的图象． 图3是描述点Q出发x秒后△AQD的面积S2（）与x(秒)的函数关系图象．根据图象： （1） 求a、b、c的值； （2） 设点P离开点A的路程为y1(厘米)，点Q到点A还需要走的路程为y2(厘米)， 请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(秒)的函数关系式， 并求出P与Q相遇时x的值． 23. 甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快， 1、 乙两车距A地的路程y(千米)与行驶时间(小时)之间的关系如下图所示， 请结合图像回答下列问题： (1) 甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h； (2) 求乙车行驶过程中，y与的函数关系式； (3) 在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0）， 与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）． （1）求正比例函数与一次函数的关系式； （2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标 （4）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 北师大版八年级数学上册 第四章《一次函数》单元测试卷解答 （测试时间：100分钟 试卷满分：100分） 2、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1．点在一次函数的图象上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数自变量， 将点代入一次函数解析式即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：C． 2．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标，熟知一次函数图像上各点的坐标满足此函数解析式是解答本题的关键． 根据题意，当时，，即一次函数的图象与轴的交点坐标是，由此得到答案． 【详解】解：根据题意， 当时， ， 解得：， 即一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：． 3．一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（　 　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限． 【详解】∵﹣1＜0， ∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限， 又∵﹣2＜0， ∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴， ∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限， 故选D． 4．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b， 则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　 ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0） C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1， A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误； B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误； C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确； D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误， 故选：C． 5．如果一次函数的图像经过第二、三象限，且与y轴的负半轴相交， 那么在下列四个正确的选项是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限，且与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0． 【详解】解：依题意可知：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 故选：A． 6．函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】试题分析：先把与组成方程组求得交点坐标，即可作出判断. 由解得 所以函数的图象与函数的图象的交点在第二象限 故选B. 7．两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解． 【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项； ②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件； ③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项； ④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项． 故选B． 8．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式得到•||•|m|=6，然后解关于m的绝对值方程即可． 【详解】当y=0时，y=﹣3x+m=0，解得：x，则直线与x轴的交点坐标为（，0）； 当x=0时，y=﹣3x+m=m，则直线与y轴的交点坐标为（0，m），所以•||•|m|=6，解得：m=±6． 故选D． 9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　 ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 【答案】D 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0， ∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确； B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0， ∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确； C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确； D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 故选D． 10．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地， 他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示， 根据图中的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了20 km； （2）小陆全程共用了1.5h； （3）小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度 （4）小李在途中停留了0.5h． 其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】注意横纵坐标的表示意义，根据图示信息分别对4种说法进行判断． 【详解】解： （1）根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了20km，故说法正确； （2）根据图形的横坐标可得：小陆全程共用了2－0.5=1.5h，故说法正确； （3）从图形的横坐标看，小李和小陆相遇后，相同的路程，小陆用了1h，小李用了1.5h，所以小李的速度小于小陆的速度，故说法正确； （4）从图形的横坐标看，小李在途中停留了1－0.5=0.5h，故说法正确． 综上所述，4个说法都正确． 故选A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案． 11．已知是一次函数，则m= . 【答案】3 【分析】根据一次函数的定义，可得，，解出即可. 【详解】由题意得，，解得， 又∵，所以 故答案为3. 12．一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k= ． 【答案】-6 【详解】解：把点代入得， 解得 ． 故答案为: ． 13．已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵   一次函数中，函数值随自变量的增大而减小， ∴   ，解得． 15． 点A(x1，y1)，点B(x2，y2)是一次函数y＝3x+b图象上的两个点，且x1＜x2， 那么y1 y2（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】由k＝3＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合x1＜x2，即可得出y1＜y2． 【详解】解：∵k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大． 又∵x1＜x2，∴y1＜y2． 故填＜． 15．一次函数的图象过点(0，3)且与直线y＝－x平行，那么函数表达式是 ． 【答案】y=-x+3． 【详解】试题分析：一次函数的解析式是：y=-x+b，把（0，3）代入解析式，求得b的值，即可求得函数的解析式． 试题解析：设一次函数的解析式是：y=-x+b， 把（0，3）代入解析式，得：b=3， 则函数的解析式是：y=-x+3． 考点：待定系数法求一次函数解析式． 16．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则的值为 ． 【答案】±2 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：直线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），与x轴的交点坐标为（，0）， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得k=±2， 经检验，k=±2是方程的解且符合题意， 故答案为：±2． 17．在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】的周长为，求周长最小即最小．作点关于轴的对称点，连接，求出的解析式，再计算解析式与轴的交点坐标即为点的坐标． 【详解】的周长为， 当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点， ， ， 又， 当，，三点在同一直线上时最小，此时与轴的交点即为点． 设的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ， 当时，， ． 故答案为：． 19． 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米， 先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中， 甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，则b= . 【答案】192 【详解】由函数图象可以分别求出甲的速度为8÷2=4米/秒， 乙的速度为600÷100=6米/秒， ∴乙追上甲的时间a=8÷（6-4）=4， b表示乙出发后到达终点的最大距离， 因此可以得出b=600-4×102=192米． 故答案为：192. 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．某企业生产一种收音机，其成本24元．直接由厂家门市部销售，每台售价32元， 门市部的销售需消耗费用每月2400元，如果委托商店销售，出厂价每台28元， 销售多少台时两种销售方式所获得的利润相等？若销售量达每月2000台， 问采用哪种销售方式，取得的利润较多？ 【答案】600台；销售量达每月2000台，采用门市部的销售销售方式，取得的利润较多 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据每件利润销量总利润得出等式是解题关键． （1）利用每件利润销量总利润，进而得出等式，解方程求出未知数即可； （2）利用每月销售达2000台，分别得出利润即可． 【详解】解：（1）设每月销售台时，所得利润相同，根据题意可得： ， 解得：． 答：每月销售600台时，所得利润相同； （2）当每月销售达2000台时，直接由厂家门市部出售的利润为：（元）， 委托商店销售的利润为：（元）． 因此销售量达每月2000台，采用门市部的销售销售方式，取得的利润较多． 20．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： 【答案】(1)，； (2)； 【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式； （2）由三角形的面积公式即可得出结论； 【详解】（1）作轴于点， 由题意，，， ∵， ∴， ∴，， 由，令，得， ∴，， 令，得，得， ∴，， ∴，， ， ∴点D的坐标为， 设直线的解析表达式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析表达式为； ∴点D的坐标为，直线的解析表达式为； （2）由题意得，，， ∴； 25. 某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书， 租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如下图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系式. （2）两种租书方式每天的收费是多少元？（x＜100） 【答案】（1）租书卡的函数关系式为：y=x；会员卡的函数关系式为：y=x+20；（2）租书卡每天的收费是0.5元；会员卡每天的收费是0.3元. 【分析】（1）观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点（0，0）和（100，50），为正比例函数，可设其函数关系式为y=kx，用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，可设其函数关系式为y=ax+b，分别使用待定系数法求解即可； （2）用租书卡的方式租书，每天租书的收费为50÷100=0.5元；用会员卡的方式租书，每天租书的收费为（50-20）÷100=0.3元． 【详解】解：（1）观察图象可知，用租书卡设其函数关系式为y=kx， ∵函数图象经过点（0，0）和（100，50）， ∴50=k•100， 解得k=，即：函数关系式为y=x； 用会员卡租书可设其函数关系式为y=ax+b， ∵图象经过点（0，20）和（100，50）， ∴ ， 解得： 即：函数关系式为y=x+20； （2）用租书卡的方式租书，每天租书的收费为50÷100=0.5元； 用会员卡的方式租书，每天租书的收费为（50-20）÷100=0.3元． 26. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC=6厘米，点P从A点出发，沿A →B→C→D路线运动， 到D点停止；点Q从D点出发，沿D →C →B →A运动，到A点停止．若点P，点Q同时出发， 点P的速度为每秒1厘米，点Q的速度为每秒2厘米，a秒时点P，点Q同时改变速度， 点P的速度变为每秒b厘米，点Q的速度变为每秒c厘米． 如图2是描述点P出发x秒后△APD的面积S1（）与x(秒)的函数关系的图象． 图3是描述点Q出发x秒后△AQD的面积S2（）与x(秒)的函数关系图象．根据图象： （2） 求a、b、c的值； （2） 设点P离开点A的路程为y1(厘米)，点Q到点A还需要走的路程为y2(厘米)， 请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(秒)的函数关系式， 并求出P与Q相遇时x的值． 【答案】（1）a=8；b= 2；c= 1;（2）y1=2x-8（x＞8），y2==22-x（x＞8）出发10秒后相遇 【详解】（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24， 解得a=8（秒） b==2（厘米/秒） （22-8）c=（12×2+6）-2×8 解得c=1（厘米/秒） （2）依题意得：y1=1×8+2（x-8）， 即：y1=2x-8（x＞8）， y2=（30-2×8）-1×（x-8） =22-x（x＞8） 又据题意，当y1=y2，P与Q相遇，即 即2x-8=（22-x）， 解得x=10． 故出发10s时P、Q相遇． 27. 甲车从A地出发匀速向B地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，甲车行驶速度比乙车快， 2、 乙两车距A地的路程y(千米)与行驶时间(小时)之间的关系如下图所示， 请结合图像回答下列问题： (4) 甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h； (5) 求乙车行驶过程中，y与的函数关系式； (6) 在行驶过程中，两车出发多长时间，两车相距80千米？ 【答案】(1)100，60 (2) (3)2.5小时或3.5小时 【分析】（1）根据图像信息，甲车的时间为4.8小时，乙车的时间为8小时，路程都为千米，利用速度等于路程除以时间可得结果； （2）利用图中信息用待定系数法列方程可得解析式； （3）有两种情况，一种情况是两车相遇之前相距80千米，一种情况是两车相遇之后相距80千米，利用路程相等列方程可得结果． 【详解】（1）解：甲车速度为 km/h，乙车的速度为 km/h． （2）解：设与的关系式为，则 　解得： 与的函数关系式为． （3）解：当两车相距80千米时，则 或 解得：或 答：在行驶过程中，两车出发小时或小时时，两车相距80千米． 28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0）， 与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）． （1）求正比例函数与一次函数的关系式； （2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点E使△BCE周长最小，若存在，求出点E的坐标 （4）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）一次函数关系式为y＝x＋2，正比例函数关系式为y＝x；（2）(−5,3)或(−2,5);（3）存在，E点的坐标为（1，0）；（4）P（5，0），P（-5，0），P (6， 0)，P (，0) 【分析】（1）根据待定系数法即可解决． （2）分两种情形讨论，添加辅助线构造全等三角形即可求出点坐标． 存在;作关于轴对称点，连接，交轴于，此时周长最小.求出点的坐标. （4）分三种情形研究即可． 【详解】解：(1)∵正比例函数y=kx的图象经过点C(3,4)， ∴4=3k， ∴正比例函数为 ∵一次函数的图象经过A(−3,0),C(3,4) 解得： ∴一次函数为 (2)①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M， ∴∠DAM=∠ABO， ∵DA=AB，∠DMA=∠AOB， ∴DM=AO=3，AM=BO=2， ∴D(−5,3)， ②当D′B⊥AB时,作D′N⊥y轴垂足为N， 同理得 ∴D′N=BO=2，BN=AO=3， ∴D′(−2,5) ∴D点坐标为(−5,3)或(−2,5). (3) 存在； 理由：如图2， 作C关于x轴对称点C'，连接BC'，交x轴于E，此时△BCE周长最小． ∵C（3，4）， ∴C'（3，-4）， ∵B（0，2） ∴BC'的解析式为：y=-2x+2 令y=0，得0=-2x+2， ∴x=1 （4）设点P（m，0）， ∵C（3，4）， ∴， 当OP=OC时， ∴|m|=OC=5， ∴m=±5， ∴P（5，0）或（-5，0） 当CP=CO时， ∴， ∴m=6或m=0（舍）， ∴P（6，0） 当PC=PO时， ∴， ∴， ∴P（，0） 即：P （5，0）或 （-5，0）或 （6，0）或（，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $