专题07函数、认识一次函数 暑假预习讲义 2026-2026学年北师大版八年级数学上册

专题07函数、认识一次函数 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念：厘清常量、变量、自变量、因变量，掌握函数的核心定义与唯一对应判定规则 2.核心定义：掌握正比例函数、一次函数的标准解析式与判定条件，理清两类函数的从属关系 3.基础题型：掌握函数三种表示方法的特点，熟练求解自变量取值范围、完成自变量与函数值的相互计算 4.核心技能：精准辨析函数类型，规避概念易错点，能结合简单实际场景列出函数关系式 ✅本节核心重点为函数基础概念辨析、两类函数定义判定与基础运算，重点掌握函数唯一对应关系、一次函数与正比例函数的包含关系，夯实函数入门基础。 ✺学习目标 基础概念：理解常量、变量、自变量、因变量的含义，牢牢掌握函数“唯一对应”的核心判定规则。 函数辨析：熟记一次函数、正比例函数的解析式结构与判定条件，准确区分两类函数的联系与区别。 基础题型：了解函数三种表示方法的优缺点，熟练掌握自变量取值范围判定、自变量与函数值互算的方法。 基础应用：能结合简单实际情境列出一次函数关系式，根据实际约束合理判定自变量取值范围。 思维素养：建立初步的函数建模思维，养成严谨审题、规范判定的习惯，提升基础函数问题的分析与判断能力。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.求自变量的取值范围 题型3.求自变量的值或函数值 题型4.函数的三种表示方法 题型5.函数解析式 题型6.函数图象识别 题型7.从函数的图象获取信息 题型8.动点问题的函数图象 题型9.正比例函数的定义 题型10.识别一次函数 题型11.根据一次函数的定义求参数 题型12.求一次函数自变量或函数值 题型13.列一次函数解析式并求值 题型14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、函数基础概念 1.常量与变量：变化过程中，数值不变的量为常量，数值改变的量为变量。 2.自变量与因变量：主动变化的量为自变量，随自变量唯一变化的量为因变量。 3.函数定义：对于自变量x的每一个确定值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。 核心判定：一对一为函数，一对多不是函数。 知识点二、正比例函数 1.定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 解析式三要素：自变量次数为1、无常数项（b=0）、比例系数k≠0，三者缺一不可。 知识点三、一次函数核心定义 定义：形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 解析式三要素：整式形式、自变量最高次数为1、比例系数k≠0，常数项b可取任意实数。式子中未知数不得出现在分母、根号内，否则不属于一次函数。 ◉函数从属关系：当一次函数中b=0时，一次函数为正比例函数。 ★正比例函数是特殊的一次函数。 知识点四、函数的表示方法及自变量取值范围 1.函数共有三种标准表示形式，各有优缺点，需灵活选用： ①解析式法：精准规范、便于计算，无法直观体现变化趋势； ②列表法：读数直观、简单易懂，仅能展示有限数据； ③图象法：直观展示变化趋势，缺点是取值精度低、不适合精算。 2.自变量取值范围 ①整式：自变量取全体实数； ②分式：分母不为0； ③二次根式：被开方数≥0； ④实际问题：人数、长度、产量等需满足非负、整数等实际约束。 3.自变量与函数值互求 ① 已知x求y：直接代入解析式计算； ② 已知y求x：代入解析式解方程，结果需符合定义域。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 3．判断是否表示是的函数． 题型2.求自变量的取值范围 1．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 2．函数的自变量x的取值范围是__________． 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 题型3.求自变量的值或函数值 1．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 2．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 3．已知函数，求的值． 题型4.函数的三种表示方法 1．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 2．设有两个变量x，y，如果对于x的__________的值，y都有__________的值，那么就说y是x的函数，x叫做__________，表示函数的三种方法是__________、__________、__________． 3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 题型5.函数解析式 1．某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 3．海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 题型6.函数图象识别 1．下列图象中，可以表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y______（填“是”或“不是”）x的函数． 3．一支20cm长的蜡烛点燃后，每小时燃烧5cm．在下图中，哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系？请说明理由． 题型7.从函数的图象获取信息 1．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 3．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 题型8.动点问题的函数图象 1．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 3．如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 题型9.正比例函数的定义 1．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是正比例函数，则的值是_____． 3．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 题型10.识别一次函数 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 2．给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 3．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 题型11.根据一次函数的定义求参数 1．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．当__________时，函数是一次函数． 3．已知函数是一次函数，求m的值． 题型12.求一次函数自变量或函数值 1．已知点在一次函数的图像上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．点在一次函数的图象上，则____． 3．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 题型13.列一次函数解析式并求值 1．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．其他函数关系 2．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为______． 3．已知直线与直线相交于点， (1)求m的值； (2)求k的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．若函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 5．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为___________，自变量的取值范围是___________． 8．已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 9．若点在函数的图象上，则代数式的值为____． 10．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 11．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 _______． 三、解答题 12．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 13．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 14．已知关于的函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若点在函数图像上，求的值． 15．“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演．甲、乙两机器人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲机器人到达B地后，停留，然后原路返回A地，乙机器人到达A地即停止．甲、乙两机器人之间的距离与行走时间的函数图象如图所示． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义． (2)求甲、乙两机器人的速度． (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标． 16．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数、认识一次函数 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念：厘清常量、变量、自变量、因变量，掌握函数的核心定义与唯一对应判定规则 2.核心定义：掌握正比例函数、一次函数的标准解析式与判定条件，理清两类函数的从属关系 3.基础题型：掌握函数三种表示方法的特点，熟练求解自变量取值范围、完成自变量与函数值的相互计算 4.核心技能：精准辨析函数类型，规避概念易错点，能结合简单实际场景列出函数关系式 ✅本节核心重点为函数基础概念辨析、两类函数定义判定与基础运算，重点掌握函数唯一对应关系、一次函数与正比例函数的包含关系，夯实函数入门基础。 ✺学习目标 基础概念：理解常量、变量、自变量、因变量的含义，牢牢掌握函数“唯一对应”的核心判定规则。 函数辨析：熟记一次函数、正比例函数的解析式结构与判定条件，准确区分两类函数的联系与区别。 基础题型：了解函数三种表示方法的优缺点，熟练掌握自变量取值范围判定、自变量与函数值互算的方法。 基础应用：能结合简单实际情境列出一次函数关系式，根据实际约束合理判定自变量取值范围。 思维素养：建立初步的函数建模思维，养成严谨审题、规范判定的习惯，提升基础函数问题的分析与判断能力。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.求自变量的取值范围 题型3.求自变量的值或函数值 题型4.函数的三种表示方法 题型5.函数解析式 题型6.函数图象识别 题型7.从函数的图象获取信息 题型8.动点问题的函数图象 题型9.正比例函数的定义 题型10.识别一次函数 题型11.根据一次函数的定义求参数 题型12.求一次函数自变量或函数值 题型13.列一次函数解析式并求值 题型14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、函数基础概念 1.常量与变量：变化过程中，数值不变的量为常量，数值改变的量为变量。 2.自变量与因变量：主动变化的量为自变量，随自变量唯一变化的量为因变量。 3.函数定义：对于自变量x的每一个确定值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。 核心判定：一对一为函数，一对多不是函数。 知识点二、正比例函数 1.定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 解析式三要素：自变量次数为1、无常数项（b=0）、比例系数k≠0，三者缺一不可。 知识点三、一次函数核心定义 定义：形如 y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 解析式三要素：整式形式、自变量最高次数为1、比例系数k≠0，常数项b可取任意实数。式子中未知数不得出现在分母、根号内，否则不属于一次函数。 ◉函数从属关系：当一次函数中b=0时，一次函数为正比例函数。 ★正比例函数是特殊的一次函数。 知识点四、函数的表示方法及自变量取值范围 1.函数共有三种标准表示形式，各有优缺点，需灵活选用： ①解析式法：精准规范、便于计算，无法直观体现变化趋势； ②列表法：读数直观、简单易懂，仅能展示有限数据； ③图象法：直观展示变化趋势，缺点是取值精度低、不适合精算。 2.自变量取值范围 ①整式：自变量取全体实数； ②分式：分母不为0； ③二次根式：被开方数≥0； ④实际问题：人数、长度、产量等需满足非负、整数等实际约束。 3.自变量与函数值互求 ① 已知x求y：直接代入解析式计算； ② 已知y求x：代入解析式解方程，结果需符合定义域。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与它对应． 【详解】解：A、对于每一个x，都有唯一的y值与之对应，符合函数定义，故本选项符合题意； B、对于部分x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意； C、对于的部分，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意； D、对于圆内的x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意． 2．我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 【答案】时间 【分析】根据函数中自变量的定义，判断变化过程中主动变化的量即可得到结果． 【详解】解：本题描述的变化过程中，气温随时间的变化而变化，对于时间的每一个确定值，都有唯一确定的气温值与之对应，因此自变量是时间． 3．判断是否表示是的函数． 【答案】不是的函数 【分析】根据初中函数的定义，判断对x的任意确定值，是否存在唯一确定的y与之对应，即可判断该命题正误． 【详解】解 根据函数的定义：在一个变化过程中，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数． 对于等式，取x的一个确定正值，例如，可得，解得或． 即一个确定的x对应了两个不同的y值，不满足函数的定义，因此不表示y是x的函数，原说法错误． 题型2.求自变量的取值范围 1．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 2．函数的自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围， 根据代数式的分母不等于0，可知，即可得出答案. 【详解】解：函数中，， 解得. 所以函数的自变量的取值范围是. 故答案为：. 3．求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 题型3.求自变量的值或函数值 1．已知函数，当函数值时，自变量的值为（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】只需将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ，且 ， ∴ 将 代入解析式， 得， 移项计算得 ， 即自变量的值为5． 2．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 3．已知函数，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型4.函数的三种表示方法 1．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数，每一个都只有一个与之对应，表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选：C． 2．设有两个变量x，y，如果对于x的__________的值，y都有__________的值，那么就说y是x的函数，x叫做__________，表示函数的三种方法是__________、__________、__________． 【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法 【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可． 【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法． 故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键． 3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 题型5.函数解析式 1．某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 2．一辆汽车油箱中现存油30升，若油从油箱中匀速流出，速度为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 _______________ ． 【答案】 【分析】此题考查列函数关系式，根据“剩余油量现存油量流出油量”的等量关系列函数关系式即可． 【详解】解：根据题意得：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是． 故答案为： 3．海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 【答案】(1) (2)至少需要烧水 (3)此时水温不适合冲泡海阳绿茶 【分析】此题考查了求函数解析式、求函数值和自变量的值等知识的应用，准确求出水温T与时间t之间的表达式是关键． （1）根据时间每增加两分钟水温增加求出水温T与时间t之间的表达式即可； （2）把代入（1）中的表达式即可求出答案； （3）求出时T的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加，即时间每增加一分钟水温增加， 当时，得． ∴水温T与时间t之间的表达式为． （2）解：当时，即， 解得． 所以，至少需要烧水9min． （3）解：当时，． 所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶． 题型6.函数图象识别 1．下列图象中，可以表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 2．如图，这是某生物实验小组根据检测到的温室中二氧化碳的含量所绘制的图像．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的含量，则y______（填“是”或“不是”）x的函数． 【答案】是 【分析】本题考查了函数的定义，熟悉定义是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 3．一支20cm长的蜡烛点燃后，每小时燃烧5cm．在下图中，哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系？请说明理由． 【答案】图象③能反映和的函数关系，理由见解析 【分析】根据越大，越小，即可判断． 【详解】解：在图象③能反映和的函数关系，理由是：由题意可知，随着蜡烛的燃烧，剩余的蜡烛会越来越短，可求出函数解析式为，由此可知函数图形为一条直线，且经过点． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际问题，根据实际问题去画出相对应的函数图形是解决本题的关键． 题型7.从函数的图象获取信息 1．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据速度路程时间计算即可判断；②观察图象即可判断；③求出相遇时行驶的路程，根据速度路程时间计算即可；④根据“起点与终点之间的距离当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可． 【详解】解：甲步行的速度为（米/分），故①正确，符合题意； 乙用（分）追上甲，故②正确，符合题意； 相遇时步行的路程为（米） ∴乙的速度为（米/分），故③正确，符合题意； ∴乙走完全程用了（分）， 乙到达终点时，甲离终点还有（米），故④不正确，不符合题意． 综上，正确的结论有①②③． 2．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 3．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 【答案】(1)60，90 (2) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息． （1）用路程除以时间可得甲骑摩托车的速度，由图象求出两人速度和，即得到乙开车的速度； （2）用乙到达目的地所需的时间乘以甲的速度列式即可得求解． 【详解】（1）解：甲骑摩托车的速度为， 由图象可知，两人出发后相遇，故两人速度和为， ∴乙开车的速度为； 故答案为：60，90； （2）解：， ∴乙到达目的地时两人相距． 题型8.动点问题的函数图象 1．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨是解决问题的关键．要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段上移动；②当点P在线段上移动；③当点P在线段上移动；④当点P在线段上移动；探讨得出规律即可． 【详解】解：①当点P在线段上移动， 即时，； ②当点P在线段上移动， 即时，； ③当点P在线段上移动， 即时，； ④当点P在线段上移动， 即时，， 点P的运动轨迹以16为单位循环， 当时，， 此时， 故答案为：A． 2．如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 【答案】 30 336 【分析】根据图象可推出，；当时，，然后利用勾股定理即可求得此时和的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵点P沿B→C→A的方向匀速运动， ∴点P在从B→C时，的长度是均匀增加的， ∴由图（2）可知，; （2）∵当点P运动到点A时，此时；当取得最小值时，此时， ∴由图（2）可知，；当时，， ∴当时，，， ∴， ∴． 3．如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)1 (2)2， (3) 【分析】（1）观察图2 可得时，的边经过点B； （2）由图2知，时，P、Q两点相遇，则可得，求得． 则可得R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位．设，，由图2知时，；时，．列方程求得，，进而可得． （3）由点P和点Q的运动情况可知， 和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可． 【详解】（1）解：由图2 知，时，的边经过点B； 故答案为：1 （2）解：由图2知，时，P、Q两点相遇． ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位． 由图2知时，；时，． 设与的交点为G点，设，． 如图，当时，是等腰直角三角形， ∴， 此时，， 如图，当时，过P点作于点H， 则，，， 此时，， 得， 解得，， ∴，， ∴． 故答案为：2，． （3）解：①当时，如图，设交于点G，过点P作于点H， 则，， ∴， ； ②当时，如图，设交于点G，交、于点S、T， 则 ， ， ∴ ． ③当时，如图，设与交于点T， 则，，． ∴ ． 综上所述，S关于t的函数关系式为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、函数与图像等；其中根据图像的变化情况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键． 题型9.正比例函数的定义 1．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入函数解析式，对比计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式． A选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． B选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． C选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． D选项：当时，，与点的纵坐标不相等，故该点不在图象上． 故选：D． 2．已知是正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值，根据正比例函数的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得 ， ∴， 故答案为：． 3．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3） 当时，． 题型10.识别一次函数 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、，即，符合（，），是一次函数，故此选项符合题意； D、（，是常数），但未指定，当时，是常数函数，不是一次函数，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的函数是一次函数；根据定义判断各函数是否符合该形式． 【详解】解：对于函数①，，变量v的次数为2，不符合一次函数定义； 对于函数②，，可化为，符合一次函数定义； 对于函数③，，符合一次函数定义； 对于函数④，，含有平方根运算，不是一次函数； 对于函数⑤，，符合一次函数定义； 故答案为②③⑤． 3．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【答案】(1)，y是x反比例函数，不是一次函数，也不是正比例函数； (2)，y是x的一次函数，也是正比例函数； (3)，y是x的一次函数，不是正比例函数； (4)，y是x的一次函数，不是正比例函数． 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键． （1）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （2）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （3）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （4）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． 【详解】（1）解：由题意的：， ∴y不是x的一次函数，也不是正比例函数 （2）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，也是正比例函数 （3）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 （4）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 题型11.根据一次函数的定义求参数 1．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 2．当__________时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 3．已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的概念，掌握形如的函数叫一次函数是解题的关键． 根据的函数叫一次函数，得，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 题型12.求一次函数自变量或函数值 1．已知点在一次函数的图像上，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将点代入一次函数并求解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得． 2．点在一次函数的图象上，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点在一次函数图象上，则其坐标满足函数解析式． 将代入求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解定义，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据“友谊点”定义直接计算即可； （2）先根据定义计算的“友谊点”，再将“友谊点”代入函数中求出m； （3）先根据点在函数的图象上得，再根据的取值范围确定的取值范围，进而根据“友谊点”定义得出取值范围． 【详解】（1）解：，， ， “友谊点”为； （2）解：，， ， 点的“友谊点”为， 点的“友谊点”在函数的图象上， ， ； （3）解：点在函数的图象上， ， ， ， ． 题型13.列一次函数解析式并求值 1．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 2．为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可． 【详解】当时，, 当时，，即； 故答案为： 3．已知直线与直线相交于点， (1)求m的值； (2)求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足该函数解析式这一性质，将点的坐标代入对应的函数解析式求解未知量． （1）因为点在直线上，所以将代入该直线解析式，即可求出的值． （2）将点的坐标，代入直线就能求出的值． 【详解】（1）解：因为点在直线上， 所以将代入中，可得： 解得． （2）解：由（1）可知点的坐标为， 又因为点在直线上， 所以将，代入中，可得： 解得． ✺巩固测试 一、单选题 1．若函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将自变量代入函数，先计算绝对值，再按运算顺序计算，最终结果为． 【详解】解：∵， ∴． 2．下列各曲线中表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应．从图象上看，就是作垂直于x轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】A．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B．作垂直于x轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个x，有两个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D．对于每一个x，都有唯一确定的y值与之对应，故y是x的函数，符合题意． 3．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 4．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 5．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 6．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可；B、当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；C、二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可；D、当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：大龙的速度为米/分，小磊的速度为米/分， 米， ，故A正确； 米， ，故B正确； 根据题意，得， 解得，故C错误； 根据题意，得， 解得，故D正确． 二、填空题 7．汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为___________，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 8．已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，且自变量指数必须为1，因此，需满足且，计算即可得出结果，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴，， 解可得或， ∵，即， ∴， 故答案为：． 9．若点在函数的图象上，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到与的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴得，即， ∴； 故答案为：． 10．近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表： 时间（h） 1.5 2 2.5 3 3.5 …… 行驶路程（km） 450 600 750 900 1050 …… 根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 _____km． 【答案】1350 【分析】根据表中的数据求出速度，再求时间为4.5h行驶的路程. 【详解】解：高铁的行驶的速度为600÷2＝300（km/h）， 所以当时间为4.5h时，行驶的路程为300×4.5＝1350（km）． 故答案为：1350． 【点睛】本题考查了时间、速度、路程的关系，关键是理解表格中的数据. 11．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 _______． 【答案】84 【分析】先分析出点P在和上运动时的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长． 【详解】解：由图象分析可得：当点P在上运动时，不断增大，到达C点时，达到最大值，此时； 当P在上运动时，先减小再增大， 在此过程中，时，此位置记为，有最小值为，由勾股定理可得， P点到达A点时，可得，由勾股定理可得， ∴， ∴． 三、解答题 12．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 【答案】当时， 【分析】根据一次函数的定义得到且，求出，求出函数解析式，再把代入函数解析式即可求解函数值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，． 13．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【答案】(1)，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量 (2) 【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）由加热时间每增加，液体温度升高，可得则每秒液体升高的温度为，从而可得解析式； （2）直接根据每秒液体升高的温度为，再列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加，液体温度升高， 则每秒液体升高的温度为，得， ∴y与t之间的关系式是，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量． （2）解：， 当时，， ∴该液体的沸点是． 14．已知关于的函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若点在函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可求出的值； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）∵点在函数的图像上， ∴， 解得：， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征以及正比例函数的定义．解题的关键是：（1）利用正比例函数的定义，找出关于的一元一次不等式及一元一次方程；（2）利用一次函数图像上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程． 15．“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演．甲、乙两机器人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲机器人到达B地后，停留，然后原路返回A地，乙机器人到达A地即停止．甲、乙两机器人之间的距离与行走时间的函数图象如图所示． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义． (2)求甲、乙两机器人的速度． (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标． 【答案】(1)点M表示行走18秒时，甲、乙两机器人相遇 (2)甲的速度为，乙速度为 (3)点N横坐标为41.5 【分析】本题主要考查了函数图象的分析，从函数图象找到相关信息是解题的关键． （1）由图可得甲、乙两机器人之间的距离为0，可得两机器人相遇； （2）由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距，可得两机器人速度和为，根据18秒相遇可得A，B两地距离，即可求得两机器人的速度； （3）由题意得，30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，可计算出第33秒时，两机器人之间的距离，接着甲返回追乙，求出当甲、乙之间相距23米时，甲所用的追及时间即可求得点的横坐标． 【详解】（1）解：图中点M表示的实际意义是：行走18秒时，甲、乙两机器人相遇． （2）解：由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距， ∴两机器人速度和为 ， AB两地相距：， ∴甲的速度：，乙速度：． （3）解：30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，第33秒时，两者之间的距离：， 接下来甲返回追乙，追及路程：，需要时间： ∴点N横坐标为． 16．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $