4.3 一次函数的图象（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.3一次函数的图象 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数的图象 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与x轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 考向01 正比例函数的性质 【例1】如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 考向02 判断一次函数的图象 【例2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考向03 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例3】一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考向04 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例4】一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 考向05 用描点法画函数图象 【例5】探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 考向06 一次函数图象平移问题 【例6】将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 考向07 一次函数图象与对称问题 【例7】对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 考向08 判断一次函数的增减性 【例8】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 考向09 比较一次函数值的大小 【例9】在平面直角坐标系中，点，在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为____________．（选填“”“”或“”） 考向10 一次函数的规律探究问题 【例10】将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 【对点1】已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【对点2】在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A．B．C．D． 【对点3】一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【对点4】已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 【对点5】根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 【对点6】若将直线向上平移1个单位长度，则平移后的直线所对应的函数关系式是__________． 【对点7】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【对点8】已知一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象经过第一、三、四象限 B．随增大而减小 C．图象与轴交于点 D．点在这个函数图象上 【对点9】已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 【对点10】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 一、选择题 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B．C．D． 2．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 3．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 4．在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 6．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 7．两条直线与在同一坐标系中的图象可能是（     ）． A．B．C．D． 8．对于函数，下列结论正确的是（     ）． A．它的图象必经过点 B．它的图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 9．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 12．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 13．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 14．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若，则点C的横坐标为________． 三、解答题 16．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 17．在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0 0 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象； (2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． (3)根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为________（精确到），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为________（精确到）． 18．已知一次函数的图象是一条直线． (1)①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； (2)将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 19．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 20．已知函数的图象经过点，，若，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 4.3一次函数的图象 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数的图象 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与x轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 考向01 正比例函数的性质 【例1】如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 【答案】增大 【分析】根据正比例函数图象经过的象限得到的取值范围，再结合正比例函数性质判断随的变化趋势． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴ ， 根据正比例函数的性质，当时，的值随着的值增大而增大． 考向02 判断一次函数的图象 【例2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 、 的符号确定图象经过的象限及与 轴交点位置，即可解题． 【详解】解：∵ 中 ， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与 轴的负半轴相交， 综上，图象经过第一、三、四象限， 即一次函数的图象大致是． 考向03 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例3】一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数、的符号判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，． ∵， ∴函数图象经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象与轴负半轴相交， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 考向04 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例4】一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 考向05 用描点法画函数图象 【例5】探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2) (3)图象关于直线对称；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）按表格描点，连线即可； （3）观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：当时，；当时，； （2）略 （3）略 考向06 一次函数图象平移问题 【例6】将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 考向07 一次函数图象与对称问题 【例7】对于直线，与它 (1)关于x轴成对称的直线解析式为 ． (2)关于y轴成对称的直线解析式为 ． (3)关于直线成对称的直线解析式为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （2）根据关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点在直线上，代入即可得出结果； （3）根据关于直线成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点在直线上，代入即可得出结果. 【详解】（1）解：关于x轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， ∴， ∴； （2）解：关于y轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴； （3）解：关于直线成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换， 设点在对称的直线上，则点在直线上， 故， ∴. 考向08 判断一次函数的增减性 【例8】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，，∴，即，故选项不符合题意； B、∵一次函数中的系数为，∴随的增大而增大，故选项不符合题意； C、当时，，∴它的图象与轴交于点，故选项符合题意； D、∵一次函数中的系数为，常数项为，∴它的图象经过第一、三、四象限，故选项不符合题意． 考向09 比较一次函数值的大小 【例9】在平面直角坐标系中，点，在一次函数（为常数）的图象上，则与的大小关系为____________．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴一次函数中随的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 考向10 一次函数的规律探究问题 【例10】将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，......，，（为正整数）， ∴点的横坐标为． 【对点1】已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数的性质，把点代入计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ∴. 【对点2】在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】对于一次函数(为常数，)，当时，y随x的增 大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，图象与y轴的正半轴相交，当时，图象与y轴的负 半轴相交，当时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∴C、D选项不符合题意； ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴B选项不符合题意， 综上，A选项符合题意． 【对点3】一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式中、的符号，再判断图象经过的象限． 【详解】解：∵中，，， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，如图所示： ∴该函数图象不经过第三象限． 【对点4】已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 【答案】C 【详解】解：A、对于一次函数，∵ ，∴ 随的增大而增大，该选项不符合题意； B、∵ ，，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意； C、令，得，∴ 图象与轴交于点，该选项符合题意； D、令，得，解得，∴ 图象与轴交于点，该选项不符合题意； 故答案为C． 【对点5】根据学习函数图形的经验，数学社团对函数开展了数学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务． (1)函数自变量的取值范围是________； (2)①函数中、部分对应值如表所示，其中________； … … … … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________． 【答案】(1)全体实数； (2)①； ②； (3)答案不唯一，如：时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为；图象关于直线对称． 【分析】（1）函数对任意实数均有意义，故自变量取值范围为全体实数． （2）① 将代入解析式求出的值即可得到； ② 根据表格中的对应值描点，再用线段顺次连接得到图象． （3）观察所画图象的升降趋势、最低点或对称性，写出一条性质即可． 【详解】（1）解： 函数中，取任意实数时解析式均有意义， 自变量的取值范围是全体实数． （2）解：① 当时，， ． ② 在平面直角坐标系中描出以下各点：，，，，，，，再用线段依次连接，得到函数的图象， 画图略． （3）略． 【对点6】若将直线向上平移1个单位长度，则平移后的直线所对应的函数关系式是__________． 【答案】 【分析】利用一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可. 【详解】解：由题意，平移后的解析式为. 【对点7】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 【对点8】已知一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象经过第一、三、四象限 B．随增大而减小 C．图象与轴交于点 D．点在这个函数图象上 【答案】B 【分析】由一次函数解析式的系数判断图象性质与增减性，代入坐标验证点与图象的位置关系． 【详解】解：对于一次函数，，. ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，A正确； ∵， ∴随的增大而增大，B错误； 令，则， 解得， ∴图象与轴交于点，C正确； 将代入解析式，得， ∴点在函数图象上，D正确． 【对点9】已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 【对点10】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 一、选择题 1．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 2．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴上点的纵坐标为0，结合两函数与轴交点横坐标相等列等式求解． 【详解】解：在中，令，则，解得， 在中，令，则，解得， ∵两函数图象交轴于同一点， ∴， 整理得， ∴． 3．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【答案】A 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 4．在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．分别根据函数和经过的象限判断中k的符号和中k的符号是否一致，符号一致则正确，符号不一致则不正确． 【详解】解：A、由的图像过二、四象限可知，由的图像过二、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； B、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、二、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； C、由的图像过二、四象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； D、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项符合题意． 5．已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知，满足的的值为，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵函数中随增大而增大， ∴，解得， ∵，为整数， ∴的取值为，共7种等可能结果，其中满足的值为，共3种， ∴所求概率． 6．一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． 7．两条直线与在同一坐标系中的图象可能是（     ）． A．B．C．D． 【答案】B 【分析】分析两条直线与的图象可能性，需结合一次函数中与的符号验证系数的一致性． 【详解】解：选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与矛盾，故选项不符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，故选项符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与，矛盾，故选项不符合题意； 选项：由一次函数的图象，可知，，由一次函数的图象，可知，，与矛盾，故选项不符合题意． 8．对于函数，下列结论正确的是（     ）． A．它的图象必经过点 B．它的图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质和图象与系数的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：当时，，∴图象不经过点，选项A错误； B选项：∵，，∴函数图象经过第二、三、四象限，选项B错误； C选项：∵，∴，∴，即当时，，选项C正确； D选项：∵，∴的值随值的增大而减小，选项D错误． 9．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】证明，得到，进而得到，进而画出的图象，分和两种情况，利用图象法，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出的图象如图， ∵当与点重合时，，当点与点重合时，， ∴是过和的曲线， 由图象可知，当时，，当时，， 即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或. 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得、、，，，然后归纳规律，最后运用规律求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴设，则，解得：，即； 设，则， 即； 设，则，解得：，即； 设，则，即； 设，则，解得：，即； …… ∴，， ∵， ∴，即． 二、填空题 11．直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据直线经过的象限得到和的符号，再根据符号判断直线经过的象限. 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，可得， 对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限． 12．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 【答案】 【分析】利用一次函数平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，逐步计算即可得到平移后的直线解析式． 【详解】解：原直线解析式为 ， 将直线向下平移个单位，根据平移规律，常数项减，得：， 再向左平移个单位，根据平移规律，将替换为，得： 展开整理得： ∴平移后得到的直线为 ． 13．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 【答案】一、二、三 【分析】根据y随x的增大而增大得到的取值范围，结合一次函数解析式进而确定该函数的图象经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴该一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0， ∴该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 14．在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据直线平移的规律得到平移后直线的解析式，将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴把，代入得， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若，则点C的横坐标为________． 【答案】 【分析】先求直线与坐标轴交点得到、坐标，算出；设第二象限点，满足，由得，由得，联立方程组消元求出，再代入求，取负横坐标即为结果． 【详解】解：令，， 解得． ，； 令，得， ，． 设点，在第二象限，故． 由，得, 由，得 得： , , ∴. 将代入：, , . 在第二象限，， . 即点C的横坐标是. 三、解答题 16．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)已知图象上的两点，，如果，比较，的大小 【答案】(1) (2) 点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上. (3) 【分析】（）根据点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的表达式； （）分别代入及，求出与之对应的值，对比点的纵坐标即可得出结论； （）根据正比例函数的性质：由，随的增大而减小，即可得出． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ∴把，代入解析式得：， 解得， ∴函数表达式为； （2）解：：把代入，得，，因此点不在图象上； 对点：把代入，得，计算结果和点的纵坐标相等，因此点在图象上； ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上； （3）解：∵正比例函数中，比例系数， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴对应的函数值满足． 17．在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0 0 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象； (2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． (3)根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为________（精确到），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为________（精确到）． 【答案】(1)与，与，与之间的关系如图所示： (2)2；1；3 (3)； 【分析】（1）根据表格数据描点、连线画出和图象； （2）根据函数图象趋势逐一判断即可； （3）观察图象得到时，，进而求出此时的值，根据三个杯子的总量得到三个杯子水面高度相同时的值． 【详解】（1）略； （2）解：第一个杯子是上下一样宽，则随匀速增大，故为2号杯； 第二个杯子是下窄上宽，则变化先急后缓，故为1号杯； 第三个杯子是下宽上窄，则变化先缓后急，故为3号杯； （3）解：由图可知，当时，， 则1号杯的水面高度约为， 经过操作后，三个杯子中的水面高度相同，即高度为：． 18．已知一次函数的图象是一条直线． (1)①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； (2)将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 【答案】(1) … 0 … … 4 0 … 函数图象如图所示： (2) 【详解】（1）解：令，解得；令，解得，据此补全表格并画出函数图象． （2）解：由图象平移口诀“左加右减”，则此直线向右平移3个单位，可得直线． 19．已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 20．已知函数的图象经过点，，若，求证：． 【答案】证明：当时，函数的解析式为， ∵， ∴点，在一次函数的图象上， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【分析】先根据绝对值意义得出当时，函数的解析式为，再根据一次函数增减性，进行求解即可． 【详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $