2026年北师大版七升八数学暑期预习讲义（第10讲）——一次函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第10讲）——一次函数与几何综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 1 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 2 【知识点三】核心解题步骤 2 【知识点四】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 3 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 6 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 9 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 13 三.经典题型精析（综合提升） 16 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 16 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 21 【题型 7】一次函数与几何动点问题（预习进阶） 26 四.同步自测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 44 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 53 一.教材知识梳理 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 一次函数与几何综合的本质：几何问题代数化，代数表达式几何化。 1. 函数图像上的点⇔对应坐标满足函数解析式； 2. 直线交点坐标⇔对应二元一次方程组的解； 3. 坐标差值⇔平面内线段长度； 4. 函数图像⇔平面内直线图形，可结合三角形、线段、平行关系分析。 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 1. 一次函数与坐标轴交点坐标 对于一次函数 ： （1）与 轴交点：令 ，得交点 ，纵截距为 ； （2）与 轴交点：令 ，得交点 ，横截距为 . 2. 坐标轴上线段长度公式 （1）横轴两点 ：； （2）纵轴两点 ：。 3. 一次函数与坐标轴围成三角形面积公式 （1）直线 与两坐标轴围成的直角三角形： （2）直角边长：、 （3）面积： 4. 两直线位置关系（北师大版重点） （1）平行：，无交点； （2）相交：，有唯一交点（联立方程组求解）。 【知识点三】核心解题步骤 1. 求点：根据函数解析式，求出直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标； 2. 定边：由坐标算出图形的底、高、线段长度； 3. 计算：代入面积、长度公式求解； 4. 检验：结合图像位置、绝对值性质，舍去不合理结果。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 求线段长度忘记加绝对值，出现负数边长； 2. 混淆横、纵截距，面积计算时代错底和高； 3. 两直线平行判定忽略 ，误将重合判定为平行； 4. 多个交点、动点问题漏解，未分类讨论； 5. 坐标与线段长度转化混乱，横纵坐标对应错误。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中． （1）画出函数的图象； （2）若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广西崇左·期中）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可． 解：当时，，当时，， 故直线与两坐标轴的交为，， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 故选：A． 【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与坐标轴围成的三角形面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由得，当时，；当时，，即坐标轴的交点为，，然后用三角形面积公式即可求解． 解：由得，当时，；当时，； ∴一次函数与坐标轴的交点为，， ∴坐标轴围成的三角形面积是， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． （1）求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； （2）若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【答案】（1），画图见分析；（2） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及画一次函数的图象是关键． （1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再经过，两点作直线即可； （2）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再计算三角形的面积即可． 解：（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，当时，，得，求出，当时，，得，求出，再根据三角形的面积公式列式求解即可．解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的确定方法． 解：∵一次函数与轴，轴分别交于点，点， 当时，得：；当时，得：， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，再根据三角形面积公式得到，然后解方程即可． 解：把代入得； 把代入得，解得， ∴直线与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， ∴， 解得． 故选C． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到、两点坐标，再由的面积被中线平分得到中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点且将的面积平分的直线的解析式． 解：直线与坐标轴分别交于、两点， 当时，，即；当时，，解得，即； 由三角形中线平分三角形面积可知，过原点且将的面积平分的直线过中点， 中点为，即， 设直线的解析式为，将代入得到，则， 故选：B． 【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【变式3】（2024·陕西西安·三模）如图，一次函数y＝x+6的图像与x轴，y轴分别交于点A、B．过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为（　　） A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝﹣x+6 【答案】D 【分析】由一次函数y=x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求得． 解：∵一次函数y=x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B， ∴令y=0，则求得x=-8，令x=0，求得y=6， ∴A（-8，0），B（0，6）， ∵过点B的直线平分△ABO的面积， ∴AC=OC， ∴C（-4，0）， 设直线的解析式为y=kx+6， 把C（-4，0）代入得-4k+6=0， 解得k=， ∴直线的解析式为y=x+6， ∴与直线关于y轴对称的直线表达式为y=-x+6， 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键． 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 【例题3】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点，过点作垂直于轴于点． （1）求的值与交点的坐标； （2）计算的面积与的长． 【答案】（1）；；（2）的面积为； 【分析】（1）把点代入即可求出的值，构建方程组求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式求解． 解：（1）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 由，解得， ； （2）解：，， ， 的面积． 【变式1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 解：（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点．求： （1）一次函数的解析式； （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设一次函数得解析式为，根据待定系数法即可解得一次函数的解析式. （2）根据两函数交于点，联立两函数的解析式即可解得点坐标，即可得出答案. 解：（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数与正比例函数的图象交于点， 联立两个函数解析式，解得， ∴点C的坐标为， ． 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 【例题4】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴的交点分别为点A和点B． （1）求的周长； （2）如果直线l经过线段的中点C，且与直线平行，求直线l、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要是考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，根据勾股定理求的长，问题可求解； （2）设，由题意易得，然后可得直线l的表达式为，进而问题可求解 解：（1）解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵点在直线上，可设． ∵点是中点， ∴． ∴， 解得，，， 经检验，均是原方程的根，但是， ∴符合题意，不符合题意（舍去）， 即， 依题意可设直线l的表达式为． 把代入中，得，∴． ∴直线l的表达式为， 设直线l与轴的交点为点D， ∴点D的坐标为， ∴． 过作轴，垂足为点， ∴． 那么直线l、直线与轴围成的三角形的面积为 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】一次函数图象平行的性质，两个一次函数图象平行时，一次项系数相等，据此列方程求解即可得到k的值． 解：∵ 一次函数与的图象平行， ∴ ， 解得， 又∵ 两函数中， ∴两图象不重合， 符合平行要求， ∴ k的值为1． 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则____． 【答案】或 【分析】首先根据两直线平行的条件求出的值，然后再根据三角形的面积是，由面积公式列出方程从而求出的值即可． 解：直线与直线平行， ， 直线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是， ， 解得：． 故答案为：或． 【点拨】本题考查一次函数的应用，一次函数与坐标轴的交点问题，两条直线平行问题，根据直线平行的性质求出的值是解题关键． 【变式3】（第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用））已知直线与直线平行，且直线与轴交点的横坐标、与轴交点的纵坐标两者之和为． （1）求直线的截距； （2）求直线与两坐标轴围成的直角三角形的面积 【答案】（1）直线的截距为或2；（2）4 【分析】（1）由直线与直线平行，可设直线，再根据直线与轴交点的横坐标、与轴交点的纵坐标两者之和为，可列出关于的方程，求解即可得出答案； （2）分别求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用面积公式即可求解． 解：（1）直线与直线平行， 可设直线， 令，得直线与轴交点为， 令，得直线与轴交点为，， 直线与轴交点的横坐标、与轴交点的纵坐标两者之和为， ， ， 直线 直线与轴交点的横坐标为2，与轴交点的纵坐标为， 直线的截距为或2； （2）由（1）知直线， 直线与轴交点为，直线与轴交点为， 直线与两坐标轴围成的直角三角形的面积为：． 【点拨】本题考查了一次函数综合，重点是应用数形结合思想，分类讨论并要掌握一次函数的相关性质． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 【例题5】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点B恰好落在x轴上的点处． （1）求A、B的坐标； （2）求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）令，则，即可求出B的坐标；令，则，解一元一次方程即可求出A的坐标； （2）根据A、B的坐标可求出、的长，利用勾股定理可求出的长，利用轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，，在中根据勾股定理可得，即，解方程即可得出答案． 解：（1）解：， 令，则； 令，则， 解得：； ，； （2）解：，， ∴， ， ， 将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处， ， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得， 解得：； 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质、勾股定理的应用等，解决问题的关键是根据折叠的性质得出，．先求得点A、B的坐标，进而求得，由题意得：，故点，设点D的坐标为：，根据，即可得到m的值． 解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴， 故点， 设点D的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， 故点． 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．    【答案】或 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性；由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，      ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，    ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 【例题6】（25-26八年级上·山西·期末）综合与实践 如图，直线分别交轴，轴于点，交直线于点，点关于轴的对称点为，连接． （1）直接写出点三点的坐标； （2）求的面积； （3）若点为第一象限内直线上的一点，求线段长度的最小值． 【答案】（1）；（2）30；（3） 【分析】（1）将x=0，y=0分别代入直线求出点A，E的坐标，将x=8代入直线求出点的坐标； （2）过作轴于C，根据点关于轴的对称点为可得，可求出和的面积，由即可求得的面积； （3）当时，长度最小，过作轴于于，根据勾股定理求出BE的长，然后由的面积即可求得线段长度的最小值． 解：（1）将x=0，y=0分别代入直线，得 y=-6，x=3， ∴， 将x=8代入直线，得y=10， ∴， ∴； （2）如答图1，过作轴于C， ∵， ∴， ∵点和点关于轴对称， ， ∴； （3）当时，长度最小， 如答图2，过作轴于于． ， ∴在中，， ，即， ． 【点拨】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，轴对称的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，利用三角形的面积求解． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴上一动点，若有最小值，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的应用，两点之间线段最短，如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小，再进一步求解即可. 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小， ∵点A坐标为， ∴点， 设为， 根据题意得， 解得， ， 当时，， 解得， ∴点P坐标为． 故选：D 【变式2】（2026·广东汕头·二模）如图，点A在直线上，点M的坐标为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】此题考查三角函数的灵活运用以及轴对称的应用，通过作点关于的对称点，把转化成，当，，三点共线且垂直于轴时值最小． 解：如图，在直线上找一点，连接，作点关于的对称点，连接，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为， 由性质可得，，， 由点，是关于的对称点可得，， 显然由图可知，当，，三点共线且垂直于轴时最短， 此时 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在坐标轴的正半轴上，，点在直线上 （1）求点的坐标； （2）若点是直线上的任意一点，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将代入直线解析式即可得到点的坐标； （2）先求出长，再根据垂线段最短解答出最小值即可． 解：（1）解：在函数中，当时，， ． （2）解：在中，由勾股定理得， 点是直线上的任意一点， 的最小值就是点到的垂线段长， 设点到的垂线段长为， ， ． 线段的最小值为． 【题型 7】一次函数与几何动点问题（预习进阶） 【例题7】（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． （1）求直线与的函数解析式． （2）求的面积． （3）如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 解：（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，    ， ， ； ②当时，如图2，    ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用及等腰三角形的性质，根据题意，为等腰三角形时有三种情况，分类讨论①当时，②当时，③当时分别求出三种情况下的P点坐标即可． 解：对于，当时，；当时，即，解得，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 当时，如图， 则， 又 ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴点的坐标为； 当时，此时点Q与点A重合，, ∴点的坐标为； 当时，则 ∵ ∴， 根据三角形外角性质得：， ∴此种情况不存在； 当时，则，即，设此时， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． （1）填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． （2）求的面积， （3）连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】（1），，；（2）；（3）所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 解：（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点拨】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东威海·期中）一次函数 与 的图象位置关系是（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 【答案】B 解：两个函数的一次项系数均为，即相等，常数项分别为和，常数项不相等， 两图象位置关系为平行． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等； 当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D； 解：A.当时，，所以，故不符合题意； B.当时，，的面积是，故符合题意； C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不符合题意； D.当时，，所以点不在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题先根据x轴上点的坐标特征求出点A的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点B的坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积. 解：∵ ∴当时，，解得， ∴，即， 联立，解得， ∴交点的坐标为， ∵为坐标原点，在x轴上， ∴. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 5．（2024·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折性质，勾股定理，由直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，可得，，由折叠的性质可得结合由勾股定理可求的长，设点M坐标为， ，，由勾股定理建立等式求解，即可解题． 解：令，则， ， 令，则，解得：， 点， ， ，， x轴y轴， ， ， 由折叠可知：，， ， 设点M坐标为， ， ，， ， ， ， ， ， 点M的坐标为， 故选：A． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 8．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 9．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含t的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，直线与 x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合点C、D分别为线段的中点，可得出点C，D的坐标，取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时取最小值，由点D的坐标可得出点E的坐标，由点C，E的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标． 解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段的中点， ∴点C的坐标为，点D的坐标为． 如图，取点D关于x轴对称的点E，连接交x轴于点P，此时取最小值， ∴点E的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为． 故选：C （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“左加右减”的法则解答即可． 解：将直线向右平移m个单位长度，平移后直线的解析式为，即， ∵平移后不过第三象限， ∴， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25八年级上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ____________． 【答案】或2 【分析】由可知点在直线上，当点在的左侧且的面积等于10时，求得的值，当点在的右侧且的面积等于10时，求得的值．本题考查了三角形的面积，正比例函数的图象性质，坐标与图形性质，数形结合是解题的关键． 解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 13．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）直线与坐标轴围成的的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，先求出的坐标，再利用面积公式进行计算即可． 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：8． 14．（2026·西藏拉萨·三模）将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 【答案】 【分析】先根据直线平移规律得到平移后的解析式，再分别求出直线与轴、轴交点、坐标，最后利用直角三角形面积公式计算面积． 解：直线上下平移规律：向下平移个单位，解析式变为 ， 原直线：，向下平移3个单位 ， 时，， ； 时，， ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 【答案】或 【分析】先算出的面积为，直线的解析式为．按面积比分两种情况：①，算出，得直线解析式为；②，算出，得直线解析式为． 解：由题意得，，，是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵直线过原点，将分成面积比为的两部分， ∴可分为两种情况，如下： （1）， 此时，， ∴， 解得， 将代入中，得， ∴点的坐标为， （2）， 此时，， 同理可得，， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵直线过原点，设解析式为， 当时，代入得 解得， ∴， 当时，代入得， 解得， ∴， 综上所述，直线l解析式为或． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用；分两种情况讨论：当点落在轴正半轴上处时，在中，，当点落在轴负半轴上处时，连结，在中， ，求出，即可求解． 解：∵的图象与轴交于点与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】作直线分别交轴、轴于点、，连接，利用一次函数的性质得到，，利用勾股定理得到，再证明点D在直线上，进而可得当时，线段有最小值，再利用等面积法求出此时的长，即可得出答案． 解：作直线分别交轴、轴于点、，连接， 当时，，解得； 当时，； ∴，， ∴，， ∴， 当时，， 又∵点D的坐标为， ∴点D在直线上， ∴当时，线段有最小值， ∵点C的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、三角形面积公式、垂线段最短，证明点D在直线上是解题的关键． 18．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为__________． 【答案】或4 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案即可． 解：∵直线与x轴和y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：4或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图象； （2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）见分析；（2）4；（3） 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 解：（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． （1）求的值； （2）将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了代数式求值、一次函数的图象与性质及一次函数的平移变换，运用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意求得，代入代数式即可求出答案； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设直线平移后与射线的交点为D，过D作轴于点E，根据题意可知，，即将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据函数平移的性质即可得出答案． 解：（1）解：∵点关于原点对称， ∴， ∴； （2）设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线为， 设直线平移后与射线的交点为D， 过D作轴于点E， ∵沿射线方向平移个单位， ∴， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度． ∴， 即． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，求： （1）点A、B的坐标； （2）的面积（O为原点）． 【答案】（1）， ；（2） 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数与两坐标轴的交点坐标是解题关键． （1）分别令，，解方程即可得出A、B的坐标； （2）利用三角形面积公式即可得答案． 解：（1）解：令，则， 解得， ∴； 令，则， ∴； （2）解：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点和点的坐标； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）先求得直线，再令即可求得点B的坐标；然后令可求解点C的坐标； （2）设点P的坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式可求得，进而求得p的值即可解答． 解：（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴点B的坐标为． ∵点C为直线，的交点， ∴令，解得， 此时， ∴点C的坐标为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求的长； （2）求点和点的坐标． 【答案】（1）5；（2）， 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理： （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理解即可； （2）由折叠知，可得点的坐标，设， 则，利用勾股定理解求出x的值可得点的坐标． 解：（1）解：中， 令，得：， ， ， 令，得：， 解得：， ． ． 在中，． （2）解：由折叠知：， ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得：， ． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与轴交于点，与轴交于点，，． （1）求直线的解析式； （2）连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标， （3）点为直线上一动点，点为轴上一动点，请问在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或或 【分析】（1）待定系数法求直线的解析式； （2）利用割补思想， 问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q在延长线上和点Q在延长线上； （3）利用分类讨论的思想，然后将正方形的存在性问题转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 解：（1）解：（1）当时，， ． 当时，，， ．     ， ， ． ， ， ． 设直线的解析式为， 则，解得：， ； （2）解：设 ， ∵， ∴，而 ①点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴上方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ； ②点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴下方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ， 综上所述，点Q的坐标为或． （3）存在，理由：设点，    ①当时， 如图，作于点，作于点． ． ∵正方形， ． ，， ， ， ． ， 解得或， 或． 当时，同理，， ∴，， ∴, ∴ 当时，同理可求 ②当时，如图过点作，作于点，作于点．    同理可证：， ，． 设 ，， 解得：或0或（舍） 或． 当时，同理：， ∴, ∴， 当，同理可求． 综上所述，点K的坐标为或或或． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——一次函数与几何综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 1 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 1 【知识点三】核心解题步骤 2 【知识点四】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 3 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 3 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 4 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 6 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 6 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 8 【题型 7】一次函数与几何动点问题（预习进阶） 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.教材知识梳理 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 一次函数与几何综合的本质：几何问题代数化，代数表达式几何化。 1. 函数图像上的点⇔对应坐标满足函数解析式； 2. 直线交点坐标⇔对应二元一次方程组的解； 3. 坐标差值⇔平面内线段长度； 4. 函数图像⇔平面内直线图形，可结合三角形、线段、平行关系分析。 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 1. 一次函数与坐标轴交点坐标 对于一次函数 ： （1）与 轴交点：令 ，得交点 ，纵截距为 ； （2）与 轴交点：令 ，得交点 ，横截距为 . 2. 坐标轴上线段长度公式 （1）横轴两点 ：； （2）纵轴两点 ：。 3. 一次函数与坐标轴围成三角形面积公式 （1）直线 与两坐标轴围成的直角三角形： （2）直角边长：、 （3）面积： 4. 两直线位置关系（北师大版重点） （1）平行：，无交点； （2）相交：，有唯一交点（联立方程组求解）。 【知识点三】核心解题步骤 1. 求点：根据函数解析式，求出直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标； 2. 定边：由坐标算出图形的底、高、线段长度； 3. 计算：代入面积、长度公式求解； 4. 检验：结合图像位置、绝对值性质，舍去不合理结果。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 求线段长度忘记加绝对值，出现负数边长； 2. 混淆横、纵截距，面积计算时代错底和高； 3. 两直线平行判定忽略 ，误将重合判定为平行； 4. 多个交点、动点问题漏解，未分类讨论； 5. 坐标与线段长度转化混乱，横纵坐标对应错误。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中． （1）画出函数的图象； （2）若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【变式1】（24-25八年级上·广西崇左·期中）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与坐标轴围成的三角形面积是______． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． （1）求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； （2）若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为______． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2024·陕西西安·三模）如图，一次函数y＝x+6的图像与x轴，y轴分别交于点A、B．过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为（　　） A．y＝x+6 B．y＝x+6 C．y＝x+6 D．y＝﹣x+6 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 【例题3】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点，过点作垂直于轴于点． （1）求的值与交点的坐标； （2）计算的面积与的长． 【变式1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【变式3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点．求： （1）一次函数的解析式； （2）的面积． 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 【例题4】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴的交点分别为点A和点B． （1）求的周长； （2）如果直线l经过线段的中点C，且与直线平行，求直线l、直线与轴围成的三角形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则____． 【变式3】（第三章函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用））已知直线与直线平行，且直线与轴交点的横坐标、与轴交点的纵坐标两者之和为． （1）求直线的截距； （2）求直线与两坐标轴围成的直角三角形的面积 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 【例题5】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点B恰好落在x轴上的点处． （1）求A、B的坐标； （2）求的长． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴的负半轴上有一点D，若将沿直线折叠得到，点C在x轴上，则点D的坐标为_________． 【变式3】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．    【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 【例题6】（25-26八年级上·山西·期末）综合与实践 如图，直线分别交轴，轴于点，交直线于点，点关于轴的对称点为，连接． （1）直接写出点三点的坐标； （2）求的面积； （3）若点为第一象限内直线上的一点，求线段长度的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴上一动点，若有最小值，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东汕头·二模）如图，点A在直线上，点M的坐标为，则的最小值为_____． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在坐标轴的正半轴上，，点在直线上 （1）求点的坐标； （2）若点是直线上的任意一点，求线段的最小值． 【题型 7】一次函数与几何动点问题（预习进阶） 【例题7】（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． （1）求直线与的函数解析式． （2）求的面积． （3）如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是______． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． （1）填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． （2）求的面积， （3）连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东威海·期中）一次函数 与 的图象位置关系是（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 2．（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（2024·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 9．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，直线与 x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式______． 12．（24-25八年级上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ____________． 13．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）直线与坐标轴围成的的面积是______． 14．（2026·西藏拉萨·三模）将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 16．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为_____． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 18．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图象； （2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． （1）求的值； （2）将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，求： （1）点A、B的坐标； （2）的面积（O为原点）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点和点的坐标； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）求的长； （2）求点和点的坐标． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与轴交于点，与轴交于点，，． （1）求直线的解析式； （2）连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标， （3）点为直线上一动点，点为轴上一动点，请问在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $