第12讲 一次函数的图象（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第12讲 一次函数的图象（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+14个题型+课后作业】 模块二 一次函数的图象 在前一节学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！ 【知识点1 一次函数】 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 【题型1 正比例函数图像】 【例1】正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 故选：B． 【变式1-1】已知正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据正比例函数系数对图象位置的影响，直接判断的取值范围即可． 【详解】∵正比例函数的图象性质为：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限． 又∵题目中给出函数图象经过一、三象限， ∴． 故选：A． 【变式1-2】正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，需根据函数图象经过的象限确定k的取值范围，再从选项中选取符合条件的数值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限 ∴ 观察选项，只有3满足的条件． 故选：C． 【变式1-3】若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 【答案】3（即可） 【分析】由正比例函数图象经过第一、三象限，可得比例系数大于零，解不等式得到的取值范围，任取一个范围内的值即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得， 取符合条件的， 故答案为： （均可）. 【题型2 正比例函数的性质】 【例2】已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 【答案】(答案不唯一，任意均可) 【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，因此只需写出一个大于的即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴任意大于的都符合条件， 故答案为：(答案不唯一)． 【变式2-1】正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的增减性可知一次项系数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 【变式2-2】写出一个函数随自变量增大而增大的正比例函数解析式________． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】根据当时，随自变量增大而增大，取大于的值即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵随自变量增大而增大， ∴， ∴可以取， ∴符合条件的正比例函数解析式为． 【变式2-3】在正比例函数中，随的增大而增大，则点在第__________象限． 【答案】一 【分析】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数中系数的符号与函数增减性的关系是解题的关键． 先根据正比例函数的增减性确定的符号，再结合点的横、纵坐标符号，判断点所在的象限． 【详解】解：∵ 在正比例函数 中，随的增大而增大， ∴ ， ∴ 点的横坐标和纵坐标都为正数， ∴ 点在第一象限． 故答案为：一． 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 【例3】下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 【变式3-1】下列各点在正比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，计算得到的与点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之不在． 【详解】解：对正比例函数，依次代入检验： 选项A，当时，，计算结果与点的纵坐标相等，因此该点在函数图象上； 选项B，当时，，因此该点不在函数图象上； 选项C，当时，，因此该点不在函数图象上； 选项D，当时，，因此该点不在函数图象上． 【变式3-2】已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】/0.2 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将点的坐标代入解析式得：， 解得． 【变式3-3】若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的性质，将点代入正比例函数的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：1． 【题型4 根据正比例函数的性质比较大小】 【例4】已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 【变式4-1】已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正比例函数的解析式可判断该函数的增减性，根据增减性和已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵均在直线上，且， ∴． 【变式4-2】、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数解析式判断增减性，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 选项A、B未给出与的大小关系，无法判断与的大小，因此A、B错误； 当时，根据函数增减性可得，因此C正确，D错误． 【变式4-3】，，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 先根据得到正比例函数中，随的增大而减小，进而根据各点纵坐标判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴正比例函数中，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 【题型5 一次函数图象的判断】 【例5】正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的函数图象判断出，进而判断出，再根据，即可确定一次函数的图象经过的象限，问题得解． 【详解】解：根据正比例函数的图象可知：， ∴， ∴一次函数的图象必经过第二、四象限， ∵， ∴一次函数的图象与y轴的正半轴相交， 故C项的函数图象符合要求． 【变式5-1】正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 【变式5-2】直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 【变式5-3】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 【题型6 根据一次函数关系式，判断其经过的象限】 【例6】一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断图象经过的象限，即可求出不经过的象限． 【详解】解：∵ 一次函数中， ，， ∴ 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【变式6-1】函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵对于一次函数，，， 函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 【变式6-2】当 时，一次函数 的图象经过（     ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．一、二、四象限； D．二、三、四象限． 【答案】A 【分析】根据一次函数中系数和常数项的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵ 一次函数解析式为， ∴ ，函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴ ，即函数的常数项 ，说明函数图象与轴交于正半轴，因此还经过第二象限， ∴该一次函数图象经过一、二、三象限． 【变式6-3】已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】二、三 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 【题型7 根据函数图象经过的象限，求参数的取值范围】 【例7】已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象性质，利用一次项系数的符号确定直线必过的象限，再结合题目条件判断b的取值范围即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，一次项系数 ， ∴ 该函数图象一定经过第一，第三象限． ∵ 函数图象经过第四象限，说明直线与轴的交点在轴的负半轴， 又∵ 一次函数 中，b是直线与轴交点的纵坐标， ∴ ． 【变式7-1】已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 【变式7-2】若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限，则______0．（用“<”“>”“=”填空） 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定和的符号，即可判断与的大小关系． 【详解】解：一次函数（）的图象经过第二、三、四象限， ，， ． 【变式7-3】已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的k的值为________ ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据一次函数图象所在象限得到的取值范围，在范围内取一个值即可． 【详解】解：一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限， ， 故符合条件的为任意负数均可，例如（答案不唯一）． 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入一次函数解析式求出对应值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式8-1】一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的纵坐标为，令一次函数解析式中，求解即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上点的纵坐标为， ∴求一次函数与轴的交点，令，得 ， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式8-2】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 【详解】当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 【变式8-3】一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 令，得， 令，即，解得， 一次函数与轴、轴交点分别为，， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和， 面积为． 【题型9 画一次函数图象】 【例9】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． （1）； （2）； （3）； 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限． 【变式9-1】已知函数． （1）画出该函数图象； （2）若点在函数图象上，求点的坐标． 【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可； （2）把点代入，求出的值即可得点的坐标． 【详解】（1）解：列表如下： x ⋯ 0 1 ⋯ y ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得： （2）解：把点代入，得： ， 解得， ∴点． 【变式9-2】已知一次函数，并完成下列问题 （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为， 画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 【变式9-3】已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明． 【分析】（1）分别令，，求出对应的值，值，然后描点，连接两点即可画出函数的图象； （2）先求出当时的值，然后判断与其的大小即可得解． 【详解】（1）一次函数图象如图所示： （2）解：点在该函数图象的上方，理由如下： 在一次函数中，当时，， ， 点在该函数图象的上方． 【题型10 一次函数图象平移问题】 【例10】将直线向上平移个单位后得到直线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数平移的“上加下减”规则即可计算出结果． 【详解】∵一次函数图象上下平移时，遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位， ∴平移后直线的解析式为， 对比平移后解析式， 可得． 【变式10-1】直线是由直线向下平移________个单位得到的． 【答案】4 【分析】根据一次函数的平移规律，平移不改变直线斜率，平移单位长度等于平移前后解析式常数项差的绝对值，据此计算即可． 【详解】解：直线和的一次项系数相同，且直线是由向下平移得到， 平移的单位长度为． 【变式10-2】将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【答案】A 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：∵将直线平移后，得到直线， 设向上平移了a个单位， ∴， 解得：， 所以沿y轴向上平移了个单位，即向上平移8个单位. 【变式10-3】将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，最后选出符合范围的选项即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规则，向上平移个单位长度后，直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且， ∴， 解得， 四个选项中只有，符合要求． 【题型11 一次函数图象的平行问题】 【例11】一个正比例函数的图象与直线平行，则该正比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义与两直线平行的性质，解题的关键是利用两直线平行则一次项系数相等，结合正比例函数的形式即可求解． 【详解】解：设该正比例函数的表达式为 ∵正比例函数的图象与直线平行 ∴两直线的一次项系数相等，即 又∵正比例函数的常数项为0 ∴该正比例函数的表达式为 ∴故选A． 【变式11-1】若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】一次函数图象平行的性质，两个一次函数图象平行时，一次项系数相等，据此列方程求解即可得到k的值． 【详解】∵ 一次函数与的图象平行， ∴ ， 解得， 又∵ 两函数中， ∴两图象不重合， 符合平行要求， ∴ k的值为1． 【变式11-2】直线与平行，则的图象不经过的象限是___． 【答案】第二象限 【分析】本题考查两条直线平行问题，判断一次函数图象经过的象限，根据与平行，可得，进而判断的图象经过的象限． 【详解】解：直线与平行， ， 直线的解析式为， 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 【变式11-3】已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则_______． 【答案】25 【分析】利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可．此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：25． 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 【例12】若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性确定的符号，再由一次函数图象位置确定常数项的范围，综合即可得到的取值范围，验证各个选项即可． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而增大， ∴，排除为负数的A、B选项； ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴函数与轴的交点在原点或轴负半轴，即，解得； 综上所述，，选项中只有D选项的符合条件． 【变式12-1】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有B符合题意． 【变式12-2】一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】先根据一次函数增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，即可选出符合的选项． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 当时，， ∵， ∴， 即， 选项中只有，符合要求． 【变式12-3】若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，先由函数增减性得到的范围，再由图象不经过第一象限得到与y轴交于负半轴或原点，联立求出的取值范围，结合选项得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而减小， ∴，排除选项A， ∵函数图象不经过第一象限， ∴函数图象与y轴交于负半轴或原点， ∴， 解得， 结合选项可知，只有符合条件． 【题型13 根据一次函数的性质比较大小】 【例13】已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数系数判断随的变化趋势，再将转化为时的函数值，比较横坐标大小即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵是时的取值，三个横坐标满足， ∴对应函数值满足，即． 【变式13-1】若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数解析式判断随的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随 的增大而减小， ∵点，，的横坐标分别为，，，且， ∴对应的纵坐标满足． 【变式13-2】若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，即， ∴， 故选：． 【变式13-3】若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】> 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 【题型14 一次函数与规律问题】 【例14】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 ． 【变式14-1】如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 模块三 课后作业 1．已知正比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、正比例函数的图象是过原点的直线，不是射线，因此A错误； B、当时，随的增大而增大，因此B错误； C、当时，代入得，因此图象必经过点，因此C正确； D、当时，正比例函数图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，因此D错误． 2．对一次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象必过点 D．图象可由的图象平移得到 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及平移的性质，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：A、对于一次函数，，，函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误； B、由于，则随的增大而减小，故本选项错误； C、当时，，则图象不经过点，故本选项错误； D、由于和的值相等，两直线平行，因此的图象可由的图象平移得到，故本选项正确． 3．、是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：一次函数， 该函数y随x的增大而减小， 、是一次函数图象上的两点， 当时，，即，， 则， 当时，，即，， 则， 故选：C． 4．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 5．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 6．若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一次函数“上加下减，左加右减”的平移规律，先求出平移后的直线解析式，再将点的坐标代入计算即可得到的值． 【详解】解：直线向上平移个单位长度， 平移后的直线解析式为． 平移后直线经过点， 将代入解析式得 ． 7．已知一次函数的图象不经过第二象限，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】2（满足且即可） 【分析】根据题意可知，再由一次函数的定义得出，即可得出答案． 【详解】解∶函数的图象不经过第二象限， ， ， 函数是一次函数， ， ， 取（满足且即可）． 8．如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． ． 9．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 10．已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … （2）判断点，，是否在函数的图象上． （3）观察画出的图象可知，写出函数与自变量的关系． 【分析】（1）分别代入，，求出与之对应的，的值，再描点、连线，即可画出函数图象； （2）分别代入，，求出与之对应的值，进而判断即可； （3）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 函数图象如下图所示： （2）解：当时，； 当时，； 当时，， 点，在函数图象上，点不在函数图象上； （3）解：从函数的图象可以看出，直线从左到右下降，即当由小变大时，随之减小． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一次函数的图象（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+14个题型+课后作业】 模块二 一次函数的图象 在前一节学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！ 【知识点1 一次函数】 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 与坐标轴的交点 令，求对应的值，与轴的交点坐标为；令，求对应的值，与轴的交点坐标为 【题型1 正比例函数图像】 【例1】正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【变式1-1】已知正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-2】正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【变式1-3】若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 【题型2 正比例函数的性质】 【例2】已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 【变式2-1】正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为______． 【变式2-2】写出一个函数随自变量增大而增大的正比例函数解析式________． 【变式2-3】在正比例函数中，随的增大而增大，则点在第__________象限． 【题型3 正比例函数图象上点的坐标特征】 【例3】下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列各点在正比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 【变式3-3】若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 【题型4 根据正比例函数的性质比较大小】 【例4】已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【变式4-1】已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-2】、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【变式4-3】，，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型5 一次函数图象的判断】 【例5】正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型6 根据一次函数关系式，判断其经过的象限】 【例6】一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】当 时，一次函数 的图象经过（     ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．一、二、四象限； D．二、三、四象限． 【变式6-3】已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【题型7 根据函数图象经过的象限，求参数的取值范围】 【例7】已知一次函数（b为常数）的图象经过第四象限，则b的取值范围为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-1】已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【变式7-2】若关于的函数（）的图象经过第二、三、四象限，则______0．（用“<”“>”“=”填空） 【变式7-3】已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的k的值为________ ． 【题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】一次函数的图象与轴的交点坐标为________． 【变式8-1】一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【变式8-3】一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 【题型9 画一次函数图象】 【例9】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． （1）； （2）； （3）； 【变式9-1】已知函数． （1）画出该函数图象； （2）若点在函数图象上，求点的坐标． 【变式9-2】已知一次函数，并完成下列问题 （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【变式9-3】已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明． 【题型10 一次函数图象平移问题】 【例10】将直线向上平移个单位后得到直线，则（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】直线是由直线向下平移________个单位得到的． 【变式10-2】将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【变式10-3】将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型11 一次函数图象的平行问题】 【例11】一个正比例函数的图象与直线平行，则该正比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】若一次函数与的图象平行，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】直线与平行，则的图象不经过的象限是___． 【变式11-3】已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则_______． 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 【例12】若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【变式12-1】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B．1 C．0 D． 【变式12-2】一次函数（）的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式12-3】若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 【题型13 根据一次函数的性质比较大小】 【例13】已知点，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【题型14 一次函数与规律问题】 【例14】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图像分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 模块三 课后作业 1．已知正比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、四象限 2．对一次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象必过点 D．图象可由的图象平移得到 3．、是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 4．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 5．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 6．若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为________． 7．已知一次函数的图象不经过第二象限，请写出一个满足条件的m的值：______． 8．如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 9．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 10．已知一次函数． （1）补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … （2）判断点，，是否在函数的图象上． （3）观察画出的图象可知，写出函数与自变量的关系． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $