2.3一元二次方程的根与系数的关系知识梳理与题型突破（四大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程根与系数关系，通过“基础应用—进阶应用—综合拓展”三层设计，实现从公式直接应用到与判别式综合的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|韦达定理直接应用（求两根和/积、代数式值）|题型一（5题）以选择、填空为主，强化符号意识与运算能力| |进阶应用|已知一根求另一根、根的符号关系判断|题型二（3题）结合方程系数求根，题型三（3题）通过方程对比培养推理意识| |综合拓展|定理与判别式综合、实际问题解决|题型四（5题）及综合训练（9题）含证明与计算，发展模型意识和创新意识|

2.3一元二次方程的根与系数的关系知识梳理与题型突破2026-2027学年北师大版九年级上册（四大题型） 知识梳理： 若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 注意它的使用条件为，， . 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 题型突破： 题型一： 由根与系数的关系求代数式的值 1.方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【答案】C 2.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】B 3.若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】B 4.已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 5．已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 【答案】 题型二： 由根与系数的关系求另一根 1.若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 2.已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2．则另一个根是（　　） A．﹣ B． C．3 D．﹣3 【答案】A B．2 C．3 D．4 【答案】A 3.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　 　． 【答案】． 题型三：已知方程根的情况判断另一个方程 1.若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【答案】A 2.有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（    ） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 【答案】D 3.关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 题型四：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m≠0， 即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0， 解得：m＞﹣1且m≠0； （2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴x1+x2＝，x1x2＝﹣， ∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1， 即（x1+x2）2＝3x1x2+1， ∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0， 解得：m1＝4，m2＝﹣1， 经检验，m1，m2都是分式方程的解， ∵m＞﹣1且m≠0， ∴m的值为4． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 【答案】 (1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)＝0有实数根， ∴△＝(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0， 解得：m≤2． (2)∵方程x2﹣6x+(4m+1)＝0的两个实数根为x1.x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1， ∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16， 解得：m＝1． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 【答案】解：（1）由条件可知Δ≥0，即[﹣（2a﹣1）]2﹣4a2≥0， ∴； （2）由得，， ∴（2a﹣1）2﹣3a2＝6， 解得a1＝﹣1，a2＝5， ∵， ∴a＝﹣1． 4.已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2． （1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值； （2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2． 【答案】解：（1）a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴x1+x2+x1•x2＝7； （2）∵方程的一个根x1＝6， ∴36﹣6a+a﹣1＝0， ∴a＝7， ∴方程为x2﹣7a+6＝0， 解得x1＝6，x2＝1． ∴a＝7，另一个根为1． 5.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2＝0． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 【答案】(1)∵△＝(2m+1)2﹣4×1×(m﹣2) ＝4m2+4m+1﹣4m+8 ＝4m2+9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)由根与系数的关系得出， 由x1+x2+3x1x2＝1得﹣(2m+1)+3(m﹣2)＝1， 解得m＝8． 综合训练 1．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 2．若一元二次方程x2 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 3．已知 是一元二次方程 的两个根， ，则a，b的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 4．已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） A．-7 B．7 C．-2 D．2 【答案】A 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2 【答案】B 6．已知是方程的根，则的值是（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0 【答案】B 7．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　 　． 【答案】-2 8．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 【答案】（1） （2）4 【解答】（1）解： 由于方程有实数根，所以根的判别式，则 解得 （2）解：由一元二次方程根与系数关系得 而 解得 由于符合题意，所以k的值为4． 9．已知关于 的一元二次方程 （1）求证：不论 为何实数,方程总有实数根; （2）若方程的两实数根分别为 ,且满足 ,求 的值. 【答案】（1）略 （2）k=-1. 【解答】（1）证明： , ∴无论 取何值, 该方程总有实数根 （2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k， ∵=2， ∴， ∴整理，解得：k=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3一元二次方程的根与系数的关系知识梳理与题型突破2026-2027学年北师大版九年级上册（四大题型） 知识梳理： 若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 注意它的使用条件为，， . 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 题型突破： 题型一： 由根与系数的关系求代数式的值 1.方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 2.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 3.若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 4.已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 5．已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 题型二： 由根与系数的关系求另一根 1.若一元二次方程x2﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2．则另一个根是（　　） A．﹣ B． C．3 D．﹣3 B．2 C．3 D．4 3.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为　 　． 题型三：已知方程根的情况判断另一个方程 1.若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 2.有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（    ） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 3.关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（    ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 题型四：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1.已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 4.已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2． （1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值； （2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2． 5.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2＝0． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 综合训练 1．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　） A．2 B．1 C．-2 D．-1 2．若一元二次方程x2 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知 是一元二次方程 的两个根， ，则a，b的值分别是（　　） A． B． C． D． 4．已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） A．-7 B．7 C．-2 D．2 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2 6．已知是方程的根，则的值是（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0 7．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　 　． 8．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 9．已知关于 的一元二次方程 （1）求证：不论 为何实数,方程总有实数根; （2）若方程的两实数根分别为 ,且满足 ,求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $