2.2 一元二次方程的解法同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，覆盖一元二次方程解法及几何应用，梯度合理，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|根的判别式、基本解法|直接考察公式应用，如选择1-4、填空12| |能力提升|换元法、参数问题|需转化思想，如选择7-8、填空14-15| |综合应用|几何应用、概念辨析|跨知识综合，如选择9-10、解答18-20|

2.2 一元二次方程的解法 一．选择题 1．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 2．用配方法解方程x2x﹣1＝0时，应将其变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2＝0 D．（x）2 3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 4．x是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 5．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．16 B．24 C．16或24 D．48 6．已知a，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定 7．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 8．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 9．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．2或4 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则； ⑤若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题 11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．一元二次方程x2＝2x的根是　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值等于　 　 ． 14．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　 　 ． 15．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　 　 ． 三．解答题 16．解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）3x（x﹣2）＝2x﹣4． 17．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 18．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 20．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　 法达到　 　 的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 答案 一．选择题 1．【解答】解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8， ∵（k+1）2≥0， ∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．【解答】解：∵x2x﹣1＝0， ∴x2x＝1， ∴x2x1， ∴（x）2． 故选：D． 3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m． 故选：A． 4．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x，不合题意； B.3x2﹣5x+1＝0中，x，不合题意； C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x，不合题意； D.3x2+5x﹣1＝0中，x，符合题意； 故选：D． 5．【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4或x＝6， 分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝6时，6+6＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24． 故选：B． 6．【解答】解：两边同乘以a，得到：a2+（2b）a﹣2＝0， 解这个关于a的方程得到：a＝2b或a， ∵a0， ∴a， ∴a＝2b，即2． 故选：C． 7．【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 8．【解答】解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程， ∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2， ∴x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2， ∴x1＝0，x2＝5， 即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5． 故选：B． 9．【解答】解：x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0 解得：x＝4或x＝2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2， 故选：A． 10．【解答】解：根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系逐项分析判断如下： ①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的根，方程有实根，因此判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确，符合题意； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则该方程判别式，即﹣4ac＞0； 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 因此方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，代入得ac2+bc+c＝0，整理得c（ac+b+1）＝0； 当c＝0时，等式成立，但ac+b+1＝b+1不一定等于0，故③错误，不符合题意； ④若x0是方程ax2+bx+c＝0的根，则，两边同乘4a得， 配方整理得，故④正确，符合题意； ⑤若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac＞0； 当c＝0时，方程cx2+bx+a＝0变为bx+a＝0，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的说法共3个． 故选：B． 二．填空题 11．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k且k≠1． 故答案为：k且k≠1． 12．【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0， 提公因式得，x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 13．【解答】解：根据题意得： Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0， 整理得：4ac﹣8a＝﹣4， 4a（c﹣2）＝﹣4， ∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程， ∴a≠0， 等式两边同时除以4a得：c﹣2， 则c＝2， 故答案为：2． 14．【解答】解：设a+b＝x，则由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8＝0， 整理，得16x2﹣8x﹣8＝0，即2x2﹣x﹣1＝0， 分解得：（2x+1）（x﹣1）＝0， 解得：x1，x2＝1． 则a+b的值是或1． 故答案为：或1． 15．【解答】解：设x2+y2＝t（t≥0）．则 t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0， 解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）； 故x2+y2＝6． 故答案为：6． 三．解答题 16．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13， ∴x﹣3＝±， ∴x1＝3，x2＝3； （2）3x（x﹣2）＝2x﹣4， 3x（x﹣2）＝2（x﹣2）， 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， ∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0， ∴x1，x2＝2． 17．【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， 无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 整理，得 2﹣k＝0． 解得 k＝2， 此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0． 解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 18．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形， （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0， 即：x2+x＝0， ∴x（x+1）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1， 即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1． 19．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0， 解得m＜6且m≠2； （2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8＝0， ∴（3x+4）（x+2）＝0， ∴x1，x2＝﹣2． 20．【解答】解：（1）换元，降次 （2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2． 由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2． 由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $