1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正方形的性质，通过展示魔方、棋盘等生活实例导入，回顾矩形（四角直角、对角线相等）和菱形（四边相等、对角线垂直）的定义与性质，以正方形“邻边相等的矩形”“一角直角的菱形”双重定义为支架，衔接前后知识。 亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过折叠矩形、变形菱形框架的实践探究发展数学思维，引导学生归纳正方形边、角、对角线性质，典型例题与变式训练强化数学语言表达。助力学生理解性质生成，帮助教师构建特殊四边形知识体系，提升教学效率。

同步练习1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 夯实基础 1.正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是() A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对边平行且相等 D.对角线相等 2.如图，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点在对角线上 若 ,则 的度数是() A D E B A. B c D. 3.如图，面积为8的正方形 的对角线相交于点，过点的直线分别交边、于、 两 点，则阴影部分的面积是( D ⊙ F A.1 B.2 C.3 D.4 4.两个正方形按如图所示位置摆放，若 ，则 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 均在坐标轴上，则点的坐标是 第1页（共11页） A B 6.在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如 图1所示的菱形，接着又将该学具摆成如图2所示的正方形.在图形变化的前后，下列几何量没有发生变 化的是一·（边长、内角度数、面积、对角线长度） D D B B 图1 图2 7.己知正方形 的边长为2，是 的中点，是 的中点，则 8.如图，四边形 是正方形，是上任意一点， 于点， ,且交于点 求证： E F G C 能力提升 9.如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 的度数为() B A D 第2页（共11页） A. B D 10.如图，在正方形 中，与交于点，， 分别是， 的中点，若 ，则 的长为 F A E B 11.如图，在正方形 中，点在上，连结，过点作 于点，过点作 于点·延长 至点，使 ，连结，· (1)求证： (2)若 ,求 的长. D C 思维拓展 12.如图，正方形 中， 分别是边， 的中点，连接，，， 分别是 的中点，连接. (1) 的长为一： (2) 的长为一· 第3页（共11页） (迎IT并)迎b 0 d 0 答案详解 1.解：矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 故选：， 2.解：四边形 是正方形， 是对角线， △和△ 都是等腰三角形， 在等腰三角形△ 中， 又 同理： 故选： 3.解：正方形 的对角线相交于点， △ 与△ 关于点成中心对称， △ 正方形 的面积， 阴影部分的面积为2. 故选： 4.解：如图， 第5页（共11页） 5 由题意可知， 故答案为： 5.解：如图，正方形 的顶点 均在坐标轴上，过点作 轴，垂足为· D A B E 在△ 和△ 中， △ 点 故答案为： 6.解：由菱形到正方形，几何量没有发生变化的是边长， 故答案为：边长 第6页（共11页） 7.解：正方形边长为2，以为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立平面直角坐 标系， y A(O)E B x 是 的中点， 的坐标为 是 的中点， 的横坐标为 ,纵坐标为 ,即 故答案为： 8.证明：四边形 是正方形， 在△ 中， 在△和△ 中， 第7页（共11页） △ △ 9.解：△ 是等边三角形， 四边形 是正方形， 故选： 10.解：四边形 是正方形， 点，分别是， 的中点， 是△ 的中位线， 故答案为：4. 第8页（共11页） 11.(1)证明：四边形 是正方形， , △ △ (2)解： 在直角三角形中，由勾股定理得： ,即 12.解：(1)设 四边形 是正方形， 是的中点， 第9页（共11页） 由勾股定理可得， ,即 解得 (负值舍去)， (2)连接 并延长，交于点，连接 D 、、、Q P M B C F 四边形 是正方形， 分别是边， 的中点， 是 的中点， △ 4 第10页（共11页） 由勾股定理可得， ,分别是， 的中点， 第11页（共11页） 1.4　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 【课堂引入】 生活中随处可见规整优美的正方形：教室的方形吊顶、桌面瓷砖、魔方的面、书本方形书签、棋盘方格，这些规整的图形都是正方形。通过之前的学习，我们已经明确了正方形的定义：它是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，完美整合了矩形与菱形的所有特征。我们回顾已学知识：矩形的核心特征是四个角为直角、对角线相等；菱形的核心特征是四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角。正方形同时兼具矩形和菱形的双重属性，那它的边、角、对角线，会汇集出哪些更特殊、更完备的几何性质呢？今天我们就一起探究正方形的独有性质，解锁最完美的特殊四边形。 【教学目标】 课题 第1课时　正方形的性质 授课人 素养目标 1.理解并掌握正方形的性质定理． 2．经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，会用数学的语言表达正方形的性质及说理过程. 教学重点 探索正方形的性质定理. 教学难点 掌握正方形的性质的应用方法. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 媒体使用： 投影仪展示多幅生活中正方形的图片（魔方表面、围棋棋盘、方形地砖、折纸作品、中式方窗等）。 教师活动： 依次展示图片，引导学生观察图形的共同特征。 设置问题串，驱动学生思考： 问题1：观察这些图形，它们在边和角上有什么共同特点？ 问题2：我们已经学过矩形和菱形，这个图形是矩形吗？是菱形吗？请说明理由。 问题3：如果它既是矩形又是菱形，那么它应该具备哪些性质？ 学生活动： 观察图片，直观感知正方形的形状特征。 回顾矩形和菱形的定义，尝试从边、角两个维度对正方形进行分类判断。 同桌间简要交流，初步归纳正方形与矩形、菱形的关系。 通过生活中的正方形图片，激发学生兴趣，自然引入新课. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 教师拿出矩形按下图折叠，然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形． 在师生合作、交流的过程中，采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点. 续表 教学步骤 互动探究 设计意图 活动2：实践探究、交流新知 教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图： 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳如下： 正方形的性质： 1．边的性质：对边平行，四条边都相等． 2．角的性质：四个角都是直角． 3．对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第17页例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： 延长BE交DF于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°. ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF， ∴△BCE≌△DCF(SAS)． ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 教师点拨：本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，说明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法． 【变式训练】 1．正方形的一条对角线长为3，则这个正方形的面积是 ． 2．如图，在正方形中，点是边上一点，连接、交于点，若，则的度数为（　B　） A． B． C． D． 通过正方形性质的演练题，提高学生的应用能力. 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(C) A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2．如图，正方形的边长为6，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 ． 3．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 解：四边形，分别是菱形与正方形， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： 这节课我们学到了哪些知识？有哪些收获？ 2．布置作业： 教材第21页习题1.4第1，2，3题. 学生归纳、梳理，将知识形成体系，从而养成良好的学习习惯．布置作业体现分层教学，加深认识、深化提高，形成体系. 教学反思 　　本节课以生活实例导入，依托正方形的双重定义，引导学生类比矩形、菱形的性质自主探究正方形的性质，帮助学生在对比关联中完善特殊平行四边形的知识体系，整体教学思路清晰、知识衔接自然。 课堂教学中仍存在明显不足。性质整合环节节奏偏快，留给学生思考、归纳和辨析的时间不足，部分学生对正方形性质的由来、与矩形菱形的异同理解不够深入。课堂关注覆盖面不够均衡，对学困生的思维引导、个别指导欠缺。同时课堂练习梯度不够清晰，缺少分层训练，难以满足不同层次学生的发展需求。此外，学生几何推理步骤书写不够规范，课堂上对学生推理表达的细化指导仍需加强。 后续教学中，我将进一步优化探究流程，放慢知识整合节奏，强化矩形、菱形、正方形性质的对比辨析，让学生真正理解性质的生成过程。同时细化分层任务、落实分层指导，循序渐进设计梯度练习，持续规范学生的几何语言与推理书写，切实提升学生对正方形性质的理解与灵活运用能力。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $