第一章勾股定理单元测试基础卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元基础卷，以文化传承（赵爽弦图）、生活实践（风筝测量、梯子滑动）为情境，覆盖定理应用、逆定理验证等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、距离计算|基础概念辨析，如“赵爽弦图”面积计算| |填空题|5/15|直角三角形高、正方形面积|综合应用，如折叠后三等分点问题| |解答题（一）|3/21|尺规作图、旗杆高度|实践操作与简单应用结合| |解答题（二）|3/27|梯子滑动、面积计算|动态问题与空间观念，如圆柱最短路径| |解答题（三）|2/27|定理验证、逆定理证明|推理与创新，如用等积法验证勾股定理|

· 第一章 勾股定理 单元测试基础卷 · 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 2．小逸从家出发，向正东方向走了160m，接着向正北方向走了120m，此时小逸离家的距离为（   ） A．120m B．160m C．200m D．280m 3．如图，中，，于点，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．2 4．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（       ）． A．169 B．25 C．49 D．64 5．如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ）． A．18 B．20 C．22 D．24 6．如图，一棵高为的树被台风刮断．若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地面上，则折断后树顶端离树底部（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 9．如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高米的小宝（线段）走向感应门，当离门米时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于 （    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 10．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（    ）    A．小正方形的面积为4 B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在中，是高，且，若，，则________． 12．在△ABC中，∠C= 90° ，AC=6， BC=8．则高CD的长为_________． 13．三个正方形的面积如图所示，则S的值为________． 14．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆______． 15．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（1）实践与操作：如图，已知线段，，，用尺规作图求作：，使，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求边的长度． 17．洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 18．如图，在中，，，以为边向外作，为边上的高，，，求的度数． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 20．如图，在中，于．    (1)求的长． (2)求的面积． 21．风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．                (1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； (2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 23．综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】  如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． (1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 (2)由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B D B A C C 11．4 【分析】根据勾股定理先求出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键． 12．4.8 【分析】根据题意画出图形，先由勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB==10， ∴． 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13．9 【分析】直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，，，可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 16．（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）先作，在的一边上截取，在另一边上截取，连接即可； （2）用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，为所求；    （2）如图，在中，， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 17．米 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米， 根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2， 解得，x=． 答：旗杆的高度为米． 【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长． 18． 【分析】证明为直角三角形即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 由勾股定理的逆定理得． 19．(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 20．(1)4.8 (2)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形面积计算： （1）先利用勾股定理的逆定理证明，再利用等面积法求出的长即可； （2）根据直角三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是直角三角形， ， ， 的面积， ， ， ， 的长为4.8； （2）解：， 的面积， 的面积为24． 21．(1)37.7米 (2)14米 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，得，，． 在中，由勾股定理，得． （米）． 答：风筝的高度为37.7米． （2）如图，由题意，得． ． 在中，由勾股定理，得 ． （米）． 答：小辉同学应该往回收线14米． 22．(1)①；②， (2) 证明：用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【详解】（1）解：①由图和题意可知：大正方形的边长为； 故答案为：； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理得； 故答案为：，； （2）略 23．(1)解：如图，即为所求． (2)证明： 如图，作，使得，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 边长满足 的是直角三角形． 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明： （1）按照所给步骤作图即可； （2）构造，使得，，，利用证明，推出，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 答案第4页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $