2.3一元二次不等式的应用·课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，课堂导入先复习解法步骤（化、判、求、写）及三种情形速记，再通过“本课导览”引出实际问题、分式不等式、恒成立等应用，搭建从解法到应用的学习支架。 其亮点在于以“问题链”驱动，结合利润、定价等生活实例培养数学眼光，通过分式不等式转化、恒成立判别式分析发展数学思维，用“四步走”“三步走”等套路强化数学语言表达。学生能提升实际应用与逻辑推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

ax² + bx + c > 0 2.3 一元二次不等式的应用 人教A版必修第一册　·　第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 ax² + bx + c > 0 本课导览 把解法用到三类问题 实际 实际问题：把文字里的数量关系列成不等式，再结合实际作答 分式 分式不等式：把"商的符号"化成"积的符号" 恒成立 恒成立：把"对一切 x 成立"化成对判别式的要求 综合 与集合结合：先各自解不等式，再求交集、并集 2 ax² + bx + c > 0 学习目标 能用一元二次不等式解决简单的实际问题，并结合实际意义作答； 会把简单分式不等式转化为一元二次（或一次）不等式求解，注意分母不为0； 理解一元二次不等式恒成立与判别式的关系，能求参数的取值范围。 3 ax² + bx + c > 0 复习回顾 解一元二次不等式 化 化成 ax²＋bx＋c＞0（或＜0），使 a＞0 判 算 Δ＝b²－4ac 求 求方程的根 写 结合开口向上的图象写解集 口诀：大于取两边，小于取中间。这节课都用它。 4 ax² + bx + c > 0 三种情形速记 a＞0 Δ＞0 ＞0 取两边 ＜0 取中间 Δ＝0 ＞0 去一点 ＜0 空集 Δ＜0 ＞0 取 R ＜0 空集 5 ax² + bx + c > 0 应用一 实际问题 生活里的"最多、最少、不低于、不超过"，常常落到一个一元二次不等式上。先把话翻译成不等式，解完再回到实际。 设（含实际范围）　→　列　→　解　→　答（取整 / 取正） 6 ax² + bx + c > 0 例1 利润问题 流水线生产摩托车 x 辆与创收 y 元满足 y＝−20x²＋2200x。一周想创收 60000 元以上，大约要生产多少辆？ 问 怎样把"创收 60000 元以上"写成不等式？解出来之后，答案能直接写成 50＜x＜60 吗？ 7 ax² + bx + c > 0 例1 · 解 设 · 列 1 设一周生产 x 辆（x 为正整数）。 2 由"创收 60000 元以上"列出：−20x²＋2200x＞60000。 整理 两边同除以 −20（不等号变向）并移项，得 x²－110x＋3000＜0。 8 ax² + bx + c > 0 例1 · 解 解 · 答 Δ＝110²－4×3000＝100＞0，根为 50、60。 50 60 结论 开口向上、＜0 取中间， 得 {x | 50＜x＜60}。 x 是辆数，只能取整数，所以生产 51～59 辆 时创收 60000 元以上。 9 ax² + bx + c > 0 例2 定价问题 某杂志提价销售，分析后归结为解 2x² － 13x ＋ 20 ≤ 0，x 是每本的定价（元）。求定价范围。 问 这道题不等式已经列好，直接解。能因式分解吗？ 10 ax² + bx + c > 0 例2 · 解 2x²－13x＋20＝(2x－5)(x－4)，方程的根为 、4。 结论 开口向上、≤0 取中间（含端点），解集为 {x | ≤x≤4}。 即当每本定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时符合要求。 11 ax² + bx + c > 0 例3 面积问题 长 8 m、宽 6 m 的矩形空地，四周留出等宽的花卉带，中间种草坪。若草坪面积不超过总面积的一半，花卉带的宽应满足什么条件？ 问 设花卉带宽 x m，中间草坪是多大的矩形？它的面积怎么表示？ 12 ax² + bx + c > 0 例3 · 解 设花卉带宽 x m（0＜x＜3）。草坪是 (8－2x)(6－2x) 的矩形，总面积 48。 解 由"草坪不超过总面积一半"：(8－2x)(6－2x)≤24。 展开整理：4x²－28x＋48≤24 → 4x²－28x＋24≤0 → x²－7x＋6≤0 → (x－1)(x－6)≤0， 得 1≤x≤6。结合实际 0＜x＜3，所以 1≤x＜3，即花卉带宽不小于 1 m。 13 ax² + bx + c > 0 例4 销售问题 某网店卖削笔器，最低售价 15 元时每天卖 30 个；售价每涨 1 元，日销量减少 2 个。要使每天销售收入超过 400 元，售价应定在什么范围？ 问 设售价为 x 元（x≥15），日销量和收入各怎么表示？ 14 ax² + bx + c > 0 例4 · 解 设售价 x 元（x≥15），日销量 30－2(x－15)＝60－2x 个，收入 x(60－2x)。 解 由收入超过 400：x(60－2x)＞400 → −2x²＋60x－400＞0 → x²－30x＋200＜0， (x－10)(x－20)＜0，得 10＜x＜20。 结合 x≥15 且销量 60－2x＞0（即 x＜30）， 所以售价范围是 15≤x＜20（元）。 15 ax² + bx + c > 0 实际问题 · 套路 四步走 ① 设：设未知数，写清它的实际范围（如 x≥15、0＜x＜3、x 为整数）； ② 列：按数量关系列出一元二次不等式； ③ 解：化标准形式，用四步解出解集； ④ 答：回到实际——取整数、取正值、结合定义域，再作答。 16 ax² + bx + c > 0 应用二 分式不等式 分式不等式不能直接去分母（会漏掉分母的符号）。用一条简单的道理转化： 两数商的符号 ＝ 两数积的符号 (cx＋d)分之(ax＋b)＞0　⟺　(ax＋b)(cx＋d)＞0 (cx＋d)分之(ax＋b)≥0　⟺　(ax＋b)(cx＋d)≥0 且 cx＋d≠0 17 ax² + bx + c > 0 为什么能这样转化 两个数相除，商为正说明它们同号；商为负说明它们异号。 "同号"就是它们的积为正，"异号"就是积为负。于是把"商的符号"换成"积的符号"。 带等号（≥、≤）时，分子可以为 0，但分母绝不能为 0，要把分母为 0 的点排除。 18 ax² + bx + c > 0 例5 分式不等式 解不等式 (x＋2)分之(x－1) ＞ 0。 问 商＞0 说明分子分母怎么样？能转成什么不等式？ 解 商＞0 ⟺ 分子分母同号 ⟺ (x－1)(x＋2)＞0。 两根 −2、1，开口向上取两根之外， 解集为 {x | x＜−2 或 x＞1}。 19 ax² + bx + c > 0 例6 分式 · 带等号 解不等式 ≤ 0。 问 带等号，除了转成积，还要额外注意什么？ 解 ≤0 ⟺ (2x－1)(x＋3)≤0 且 x＋3≠0。 (2x－1)(x＋3)≤0 得 −3≤x≤；再去掉 x＝−3（分母为 0）。 所以解集为 {x | −3＜x≤ }。左端开、右端闭。 20 ax² + bx + c > 0 例7 先移项再转化 解不等式 ≥ 1。 问 右边不是 0，不能直接转成积。第一步做什么？ 21 ax² + bx + c > 0 例7 · 解 解 先移项通分，使一侧为 0： －1≥0 → ≥0 → ≥0。 分子 3＞0，所以只需分母 x－1＞0（分母不能为 0，取不到等号），得 x＞1。 解集为 {x | x＞1}。移项通分是关键，别直接两边乘 (x－1)。 22 ax² + bx + c > 0 分式不等式 · 套路 三步走 ① 移：把一侧化为 0（右边不是 0 时先移项通分）； ② 转：商的符号换成积的符号，化为一元二次（或一次）不等式； ③ 排：带等号时分母不能为 0，把分母为 0 的点从解集里去掉。 23 ax² + bx + c > 0 辨一辨 带等号别忘分母 问 解 ≤0，只写成 (2x－1)(x＋3)≤0 就完了吗？ 明确 没完。带等号时分母不能为 0，要求 x＋3≠0。 解得 −3≤x≤ ，去掉x＝−3， 得到解集{x | −3＜x≤ }。 24 ax² + bx + c > 0 应用三 恒成立 "ax²＋bx＋c＞0 对一切实数 x 恒成立"，在图象上是什么样子？ 明确 开口向上、且整个图象在 x 轴上方，就是 a＞0 且 Δ＜0。恒≥0 则 Δ≤0。 25 ax² + bx + c > 0 恒成立 · 判别式 ax²＋bx＋c ＞ 0 对一切 x 恒成立 ⟺ a＞0 且 Δ＜0； ax²＋bx＋c ≥ 0 对一切 x 恒成立 ⟺ a＞0 且 Δ≤0； 若二次项系数含参数，先保证它＞0，并单独讨论系数为 0 的情形； "恒＜0""恒≤0"则开口向下：a＜0 且 Δ＜0（或 Δ≤0）。 26 ax² + bx + c > 0 例8 恒成立求参数 若 x² － 2x ＋ m ＞ 0 对一切实数 x 恒成立，求 m 的取值范围。 问 二次项系数是 1＞0，开口已经向上。还差一个什么条件？ 27 ax² + bx + c > 0 例8 · 解 二次项系数 1＞0，开口向上。要对一切 x 都＞0，需图象整个在 x 轴上方，即 Δ＜0。 结论 Δ＝(−2)²－4m＝4－4m＜0，解得 m＞1，即 {m | m＞1}。 28 ax² + bx + c > 0 例9 恒 ≥ 0 若 x² ＋ ax ＋ 1 ≥ 0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 问 这次是"≥0"，判别式的条件跟"＞0"有什么不同？ 29 ax² + bx + c > 0 例9 · 解 二次项系数 1＞0，开口向上。恒 ≥0 允许图象与 x 轴相切，所以要 Δ≤0。 结论 Δ＝a²－4≤0，解得 −2≤a≤2，即 {a | −2≤a≤2}。 恒＞0 用 Δ＜0，恒≥0 用 Δ≤0，差一个等号。 30 ax² + bx + c > 0 例10 综合求参数 若 x² － 2ax ＋ 4 ＞ 0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 问 参数 a 在一次项里。判别式会是关于 a 的什么不等式？ 31 ax² + bx + c > 0 例10 · 解 开口向上（系数 1＞0）。恒＞0 需 Δ＜0。 结论 Δ＝(−2a)²－4×4＝4a²－16＜0，即 a²－4＜0， 解这个关于 a 的一元二次不等式：(a－2)(a＋2)＜0，得 −2＜a＜2。 判别式常常把"求参数"又变回一个一元二次不等式。 32 ax² + bx + c > 0 恒成立 · 套路 两个条件一起看 · 恒＞0：开口向上（a＞0）且 Δ＜0； · 恒≥0：开口向上（a＞0）且 Δ≤0； · 系数含参数：先定开口方向，再列判别式，必要时讨论系数为 0； · 判别式往往又是一个关于参数的一元二次不等式，接着解它。 33 ax² + bx + c > 0 专题 根号有意义 问 x 取什么实数时， 有意义？ 答案 根号有意义 ⟺ 被开方数≥0，即 x²＋x－12≥0，(x＋4)(x－3)≥0。 两根 −4、3，取两根之外（含端点）：{x | x≤−4 或 x≥3}。 34 ax² + bx + c > 0 练一练 ① 根号 问 x 取什么实数时，有意义？ 答案 需 x²－4x＋3≥0，即 (x－1)(x－3)≥0，两根 1、3， 取两边（含端点）：{x | x≤1 或 x≥3}。 35 ax² + bx + c > 0 练一练 ② 分式 问 解不等式 ＜ 0。 答案 商＜0 ⟺ 分子分母异号 ⟺ (x＋1)(x－2)＜0，两根 −1、2， 取中间：{x | −1＜x＜2}（分母 x－2≠0 已满足）。 36 ax² + bx + c > 0 练一练 ③ 恒成立 问 若 x²＋ax＋4＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 答案 开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，即 a²－16＜0，解得 −4＜a＜4，即 {a | −4＜a＜4}。 37 ax² + bx + c > 0 综合一 与集合结合 已知 M＝{x | 4x²－4x－15＞0}，N＝{x | x²－5x－6＞0}，求 M∩N 与 M∪N。 解 4x²－4x－15＝(2x－5)(2x＋3)＞0 → M＝{x | x＜− 或 x＞ }； x²－5x－6＝(x－6)(x＋1)＞0 → N＝{x | x＜−1 或 x＞6}。 M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}； M∪N＝{x | x＜−1 或 x＞ }。 38 ax² + bx + c > 0 综合二 求并集 已知 A＝{x | x²－16＜0}，B＝{x | x²－4x＋3＞0}，求 A∪B。 解 x²－16＜0 → (x－4)(x＋4)＜0 → A＝{x | −4＜x＜4}； x²－4x＋3＞0 → (x－1)(x－3)＞0 → B＝{x | x＜1 或 x＞3}。 两个集合合起来覆盖了所有实数，所以 A∪B＝R。 39 ax² + bx + c > 0 三类应用 · 一览 实际问题 设·列·解·答； 最后回到实际，取整数、取正值。 分式不等式 移项使一侧为 0； 商的符号换成积的符号； 分母不为 0。 恒成立 开口方向 + 判别式； 恒＞0 用 Δ＜0， 恒≥0 用 Δ≤0。 40 ax² + bx + c > 0 本课小结 实际问题：设（含实际范围）、列、解、答；最后要回到实际，取整数或取正值； 分式不等式：把"商的符号"化成"积的符号"，带等号时分母不为 0，右边不是 0 先移项通分； 恒成立：ax²＋bx＋c＞0 对一切 x 恒成立 ⟺ a＞0 且 Δ＜0（恒≥0 则 Δ≤0）； 与集合结合：先各自解出不等式，再求交集、并集。三类问题都靠"化归"回到会解的一元二次不等式。 41 ax² + bx + c > 0 这节课到这里 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 把"解一元二次不等式"用到了实际问题、分式和恒成立三类问题里。 42 $