2.3一元二次不等式的应用导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦一元二次不等式的应用，通过课前预习回顾解不等式四步、分式不等式转化及恒成立条件，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生掌握实际问题解决、分式不等式转化及参数范围求解。 资料以实际问题（利润、面积）为探究载体，结合变式训练和分层检测，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理与运算发展数学思维，注重化归思想的渗透，帮助学生形成系统知识网络，提升应用意识与理性精神。

2.3　一元二次不等式的应用 导学案　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　小组：＿＿＿＿＿ 一、学习目标 1．能用一元二次不等式解决简单的实际问题，并结合实际意义作答； 2．会把简单分式不等式转化为一元二次（或一次）不等式，注意分母不为0； 3．理解一元二次不等式恒成立与判别式的关系，能求参数范围。 二、课前预习 回顾并填空： 1．解一元二次不等式四步：＿＿、＿＿、＿＿、＿＿；口诀：大于取＿＿，小于取＿＿。 2．分式不等式：＞0 ⟺ ＿＿＿＿＿＿＿＿；带等号时还要求＿＿＿＿＿＿；若右边不是0，先＿＿＿＿使一侧为0。 3．ax²＋bx＋c＞0 对一切实数 x 恒成立（a0）的条件是：a＿＿0 且 Δ＿＿0；恒≥0 时 Δ＿＿0。 三、课堂探究 探究一　实际问题（利润） 流水线 y＝−20x²＋2200x，一周创收 60000 元以上，大约生产多少辆？把条件列成不等式并求解，注意最后要结合"x 为辆数"作答： 　 　 　 　 　 探究二　实际问题（面积） 8 m×6 m 的矩形空地四周留等宽花卉带，中间草坪面积不超过总面积的一半。设花卉带宽 x m，用 x 表示草坪的长、宽与面积，列出不等式并求 x 的范围（注意 0＜x＜3）： 　 　 　 　 　 探究三　分式不等式 （1）解 ＞0（提示：商＞0 ⟺ 分子分母同号）； （2）解 ≥1（提示：先移项通分，使一侧为0）： 　 　 　 　 　 探究四　恒成立 （1）x²－2x＋m＞0 对一切实数 x 恒成立，求 m；（2）x²＋ax＋1≥0 对一切实数 x 恒成立，求 a。比较两问判别式条件的不同： 　 　 　 　 　 探究五　根号有意义 x 取什么实数时， 有意义？（提示：被开方数≥0） 　 　 　 四、变式训练 1．把探究一的"60000 元以上"改成"不低于 60000 元"，答案有什么变化？ 　 2．解不等式 ≤0，注意分母不为0。 　 3．若 x²－2ax＋4＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 　 　 　 五、当堂检测 基础 1．x 取什么实数时， 有意义？ 2．解不等式 ＜0。 3．若 x²＋ax＋4＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 　 　 　 　 　 提高 4．已知 A＝{x | x²－16＜0}，B＝{x | x²－4x＋3＞0}，求 A∪B。 5．已知 M＝{x | 4x²－4x－15＞0}，N＝{x | x²－5x－6＞0}，求 M∩N。 　 　 　 六、知识网络 解一元二次不等式（会解）→ 三类应用：实际问题（设·列·解·答，回到实际取整/取正）｜分式不等式（移项使一侧为0 → 商化积 → 分母不为0）｜恒成立（开口方向 + 判别式：恒＞0 用 Δ＜0、恒≥0 用 Δ≤0）→ 与集合结合（先各自解，再求交集、并集）。三类都靠"化归"回到会解的一元二次不等式。 七、课堂小结 实际问题：设（含实际范围）、列、解、＿＿（结合实际取整或取正）；分式不等式：把商的符号化成＿＿的符号，带等号时分母＿＿0，右边不是0先＿＿＿＿；恒成立：a＞0 且 Δ＿＿0（恒＞0）、Δ＿＿0（恒≥0）。 参考答案 课前预习 1．化、判、求、写；两边、中间。2．(ax＋b)(cx＋d)＞0；cx＋d0（分母不为0）；移项通分。3．＞、＜；≤。 课堂探究 探究一：−20x²＋2200x＞60000 → x²－110x＋3000＜0 → (x－50)(x－60)＜0 → {x | 50＜x＜60}。x 为整数，故生产 51～59 辆。 探究二：草坪长 (8−2x)、宽 (6−2x)，面积 (8−2x)(6−2x)。由 (8−2x)(6−2x)≤24 得 x²－7x＋6≤0，(x−1)(x−6)≤0，1≤x≤6；结合 0＜x＜3 得 1≤x＜3。 探究三：(1)(x－1)(x＋2)＞0 → 两根 −2、1，取两边：{x | x＜−2 或 x＞1}。(2)移项通分得 ≥0，分子＞0，需 x－1＞0，{x | x＞1}。 探究四：(1)开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，4－4m＜0 → m＞1，{m | m＞1}。(2)恒≥0 需 Δ≤0，a²－4≤0 → −2≤a≤2，{a | −2≤a≤2}。 探究五：需 x²＋x－12≥0，(x＋4)(x－3)≥0，两根 −4、3，取两边（含端点）：{x | x≤−4 或 x≥3}。 变式训练 1．"不低于 60000"即 ≥60000，得 x²－110x＋3000≤0，{x | 50≤x≤60}，x 取整数为 50～60 辆。 2．(2x－1)(x＋3)≤0 且 x＋30，两根 −3、，取中间去掉 x＝−3：{x | −3＜x≤}。 3．开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，即 4a²－16＜0，a²－4＜0，得 −2＜a＜2。 当堂检测 1．需 x²－4x＋3≥0，即 (x－1)(x－3)≥0：{x | x≤1 或 x≥3}。 2．(x＋1)(x－2)＜0：{x | −1＜x＜2}（分母 x−20 已满足）。 3．开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，即 a²－16＜0：{a | −4＜a＜4}。 4．x²－16＜0 → A＝{x | −4＜x＜4}；x²－4x＋3＞0 → B＝{x | x＜1 或 x＞3}。两者合起来覆盖所有实数，A∪B＝R。 5．4x²－4x－15＝(2x－5)(2x＋3)＞0 → M＝{x | x＜− 或 x＞}；x²－5x－6＝(x－6)(x＋1)＞0 → N＝{x | x＜−1 或 x＞6}。M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}。 课堂小结 答；积；；移项通分；＜；≤。 易错提醒：应用题最后要回到实际（取整、取正）；分式带等号别忘分母不为0、右边不是0先移项通分；恒成立要"开口向上"和"判别式"两个条件一起看，Δ＜0 与 Δ≤0 别混用。 学科网（北京）股份有限公司 $