第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式解法的应用，系统梳理分式不等式的同解变形法则、一元二次不等式恒成立的条件，以及从实际问题中抽象不等式模型并求解的方法，构建从基础变形到综合应用的学习支架。 资料以情境引入引发思考，通过例题与变式训练结合，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。如摩托车生产利润问题引导学生用数学语言表达现实关系，课中助力教师分层教学，课后通过自测与练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 1.会解简单的分式不等式 2．通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 3．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以求解 通过求方程组解集，提升数学运算、数学抽象和逻辑推理素养 [情境引入] 不等式>1与x<1等价吗？>1的解集应是什么？ 提示：不等价；{x|0<x<1}． [知识梳理] [知识点一]　一般的分式不等式的同解变形法则　 (1)>　0⇔f(x)·g(x)>0　； (2)≤0⇔ (3)≥a⇔≥0. [知识点二]　一元二次不等式恒成立的情况　 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔； (2)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔. [预习自测] 1．不等式<0的解集为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－2} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 答案：C 2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x<0}　　 B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 答案：B 3．(2025·上海卷)不等式<0的解集为　______　. 答案：(1,3) 　　　解简单的分式不等式 [例1] 解不等式： (1)>0；(2)>1. [思路点拨]　(1)>0⇔(x2－x－6)(x－1)>0. (2)>1⇔<0⇔(3x－2)(4x－3)<0. [解]　(1)原不等式等价于 ⇔，或. 解得x>3或－2<x<1. ∴原不等式的解集为{x|x>3，或－2<x<1}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0，等价于(3x－2)(4x－3)<0， ∴<x<. ∴原不等式的解集为. 解分式不等式的策略 (1)对于形如>0(<0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形如≥0(≤0)的不等式可等价转化为，来解决． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [变式训练] 1．(1)若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　　) A．{x|x＜－2或x＞1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜－1或x＞2} D．{x|－2＜x＜－1} (2)关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1，或x>4}，则实数a＝　________　. 解析：(1)因为关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，所以a＝b＞0，所以不等式＞0等价于＞0，即(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2.所以关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}． (2)>0⇔(x＋1)(x－a)>0， 又因为原不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}， 所以(x＋1)(x－4)>0，所以a＝4. 答案：(1)C　(2)4 　　一元二次不等式的实际应用 [例2] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价一投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [思路点拨]　年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．所以y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)解不等式． [解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)． (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0<x<， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. [变式训练] 2．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米． (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围？ (2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN＝x米(x＞0)，BM＝y米(y＞0)，则由△NDC与△NAM相似得＝，整理得y＝， 矩形AMPN的面积S＝AN·AM＝(x＋2)·，即S＝3x＋＋12， 当S＞32时，得3x＋＋12＞32， 整理得(3x－2)(x－6)＞0，解得x＞6或x＜， 又x＞0，所以DN的长的范围为. (2)x＞0时，3x＋≥2＝12， 当且仅当3x＝，即x＝2时等号成立， 所以S≥12＋12＝24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米． 　　　一元二次不等式的恒成立问题 [例3] 已知函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围． [思路点拨]　讨论m＝0和m≠0两种情况． [解]　函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x都成立，于是 ①当m＝0时，－1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立， 则有解得m<0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是； ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 ③一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 ④一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [提醒]　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为，或 (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. [变式训练] 3．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为　________　. 解析：∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤＝x－1＋. ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)， ∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 答案：{a|a≤4} 1．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 答案：C 2．2026年12月20日，将迎来澳门回归祖国27周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批澳门回归27周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10＜x＜20} B．{x|15≤x＜20} C．{x|16＜x＜20} D．{x|15≤x＜25} 答案：B 3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝　________　. 答案：2 4．若关于x的不等式是kx2－6kx＋k＋8≥0在R上恒成立，则实数k的取值范围是　________　. 答案：{k|0≤k≤1} 5.爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解：设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 1．不等式≥2的解集为(　　) A.　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 答案：A 3．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得一辆这种汽车的刹车距离大于40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　　) A．76 km/h B．77 km/h C．78 km/h D．80 km/h 答案：B 4．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 5．(多选)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，其中x1＜x2，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＋2＝0 B．－3＜x1＜x2＜1 C．|x1－x2|＞4 D．x1x2＋3＜0 解析：ACD　[由题设，不等式a(x－1)(x＋3)＋2＞0，即ax2＋2ax－3a＋2＞0的解为x1＜x＜x2，∴a＜0，则∴x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝＜0，则A，D正确；原不等式可化为a(x－1)(x＋3)＞－2，令y＝a(x－1)(x＋3)，由题意可知函数图象开口向下，与x轴两交点的横坐标分别为－3和1，与直线y＝－2两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，作出大致图象如图所示，∴由图知x1＜－3＜1＜x2，|x1－x2|＞4，故B错误，C正确． ] 6．(多选)在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a可以为(　　) A．－ B．－2 C. D. 解析：ACD　[由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤.解得－≤a≤，故选A、C、D.] 7．不等式≥0的解集为　________　. 解析：因为≥0， 所以 即 令(x＋1)2(x－5)(x＋2)3(x－1)5＝0，解得x1＝x2＝x3＝－2，x4＝x5＝－1，x6＝x7＝x8＝x9＝x10＝1，x11＝5， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为{x|x≤－2或x＝－1或1＜x≤5}． 答案：{x|x≤－2或x＝－1或1＜x≤5} 8．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为　________　. 解析：(1)若a2－1＝0，则a＝±1. 当a＝1时，原不等式为－1<0， 解集为R，满足题意； 当a＝－1时，原不等式为2x－1<0，解集为，与题意不符． (2)若a≠±1， 则当时，不等式的解集为R，解得－<a<1. 综上，实数a的取值范围是. 答案： 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其一边长x(单位：m)的取值范围是　________　. 解析：设矩形的另一边长为y，由三角形相似得＝，且0＜x＜40,0＜y＜40，所以40＝x＋y.又矩形的面积xy≥300，所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，所以其一边长x的取值范围是{x|10≤x≤30}． 答案：{x|10≤x≤30} 10．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围． (2)对于1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由已知条件得m＝0，或， 解得：－4＜m≤0.因此实数m的取值范围是(－4,0]． (2)当x∈[1,3]时，不等式等价于mx2－mx－1＜－m＋5，m＜，函数y＝在当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，则当x＝3时，函数取到最小值ymin＝，由已知条件m＜，因此实数m的取值范围是. 11．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2. ∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}． 12．(多选)已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当1＜a＜b时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|d≤x≤f}的形式 C．当a＜b＝1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{2} D．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b－a＝4 解析：ACD　[由x2－3x＋4≤b，得3x2－12x＋16－4b≤0，当b＜1时，Δ＝48(b－1)＜0， 从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示． 由图知，当1＜a＜b时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故B错误； 当a＜b＝1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{2}，C正确；由不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可得a≤ymin，即a≤1，且x＝a，x＝b时函数值均是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4，当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意； 当b＝4时，由a2－3a＋4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，只有a＝0满足a≤1，所以a＝0，此时b－a＝4－0＝4，故D正确．] 13．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.命题q：实数x满足≥0. (1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a. 当p为真命题时，a＜x＜3a. 由≥0，得即2＜x≤3.当q为真命题时，2＜x≤3.a＝1时，p：1＜x＜3. 由p，q均为真命题，得解得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为{x|2＜x＜3}． (2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}．由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围为{a|1＜a≤2}． 学科网（北京）股份有限公司 $