1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（七大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，P分别为线段，，的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成角的正弦值为 C．在平面内的射影为的垂心 D．三棱锥的外接球的直径为 【答案】ACD 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据正方体棱长为及各点位置，写出所有相关点的坐标.异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值，所以用向量点积公式计算.直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，所以用向量点积公式计算.对于射影为垂心问题：设在平面内的射影为点，先求平面的法向量得到的坐标，再验证与顶点的连线和对边是否垂直，即对应向量点积是否为.对于三棱锥外接球直径问题：设外接球的球心坐标，根据球心到四个顶点距离相等列方程，求解得到球心坐标后计算直径。 【详解】建立空间直角坐标系，以为原点，为轴，为轴，为轴， 正方体棱长为，各点坐标为： , 由中点定义得：，，, 选项A： 设异面直线所成角，因为， , ， , 所以，A正确. 选项B：因为， , 设平面的法向量为， 则 ,令，得. , 因此与平面所成角的正弦值为，B错误. 选项C：设在平面的射影为，则与平面的法向量平行. 因为， , 设法向量，则 令， 得，因此， 即 又在平面上，平面方程为， 代入得： ,因此. 验证是的垂心（垂心为三条高的交点，需满足高垂直对边）： ，， ，， ，， 三条高都过，因此是的垂心，C正确. 选项D：设外接球球心为，球心到四个顶点 距离相等，因此： 解方程得： 由得 由，代入得 由，代入得 因此球心为，半径满足： , 直径为，D正确. 综上，正确选项为 3．如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 4．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 题型二 已知线线角求其他量 5．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 6．如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】以为原点，求得点位于上底面内，过点作，得到，结合抛物线的定义，可判定A正确；设，求得平面的法向量，结合，求得的值，可判定B不正确；设三棱锥的外接球的球心为，根据，列出方程求得球心的坐标，可判定C正确；求得点在以为圆心的圆弧上，结合对称性，求得，转化为，可判定D错误. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，可得点位于上底面上， 对于A，连接，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即点到距离即为， 过点作，可得点到的距离即为， 所以，即点到定点的距离等于到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线在上底面内的一部分，所以A正确； 对于B，设，其中，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 若平面，则，即，解得， 因为，所以不存在这样的点 使EP⊥平面，所以B不正确； 对于C，当点与点重合时，则三棱锥即为三棱锥， 因为点是的中点，所以,且， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 由，可得， 整理得，即， 由，可得， 整理得，所以， 由，可得， 代入，可得，即， 再将代入，可得，所以，所以， 所以外接球的半径为，所以C正确； 对于D，由，其中，且， 可得， 因为与的夹角为，可得， 所以，即，其中， 所以点在以为圆心，半径为的圆弧上， 连接，由对称性知，当点位于上时，取得最小值， 过点作于点，在直角中，， 所以，所以， 在平面中，过点作于点，则， 所以D错误. 7．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】 【分析】依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题设条件先证明平面SAD，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）由条件先证明平面ABCD，建系后利用空间向量法结合平面求出，再利用空间向量夹角的公式计算即得. 【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以， 又已知，所以， 又，所以， 因为平面SAD， 所以平面SAD，而平面SAB， 所以平面平面SAD. （2）因为，所以SD与BC所成角的大小等于， 又，所以， 取AD、BC的中点分别为O、N，连SO、ON， 则， 由（1）平面，又 平面ABCD，则得平面平面ABCD， 又平面为平面SAD和平面ABCD的交线， 所以平面ABCD， 故可以为原点，ON、OD、OS分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则， 因为可得， 故得，则，又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以，则，解得， 所以M是SD的中点，OM是的中位线，， 由（1）知，平面SDC，所以平面SDC， 故是平面SDC的一个法向量，且， 所以， 所以， 故二面角的正弦值为． 题型三 线面角的向量求法 9．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 10．在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 11．空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】/ 【分析】推导出与重合，求出平面的法向量，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，，故， 易知三棱锥的四个顶点也是长方体的顶点. 四面体中，， 设为的中点，则， 所以三棱锥，，，是4个全等的三棱锥， 由此可知到平面，平面，平面，平面的距离相等， 故与重合. 设平面的法向量， 由，得 ， 令，则，故平面的法向量. 又，所以与平面所成角的正弦值为. 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 题型四 已知线面角求其他量 13．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 14．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为9π B．若，则点P的轨迹长度为 C．的最小值为 D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 15．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 【答案】． 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离. 【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以， 设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为， 所以，即——① 再由与平面所成的角的大小均为，所以 ，即——②. 联立①②得，解得或. 当时，代入①得，，， 解得，令，得，， 则到平面的距离为； 当，代入①得，， ，即，因为，所以方程无解，舍去. 综上所述，点到平面的距离为. 故答案为： 16．如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 题型五 面面角的向量求法 17．已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18．如图，已知正方体， 为 的中点， 为的中点，点 在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（     ） A．无论点 在何处，总有 B．存在点 ，使得截面恰好过点 C．点 从 到运动时，点 到平面的距离越来越小 D．点 从 到运动时，平面与平面 所成的锐二面角越来越大 【答案】ACD 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，，利用空间向量判断的位置关系即可判断A；确定过的截面，根据截面是否与线段有交点即可判断B，求出平面的一个法向量，利用空间向量法表示出点 到平面的距离，再得到变化趋势即可判断C；利用空间向量法得到平面与平面 所成的锐二面角的余弦值，再得到变化趋势即可判断D． 【详解】选项A，以 为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 ，，则， 所以， 所以，即，故选项A正确； 对于B，取 的中点，连接， 则， ，， 所以，， 则四边形是平行四边形，即四点共面， 所以截面即为截面， 而截面与棱无交点， 所以不存在点 ，使得截面恰好过点，故B错误； 对于C，， 设平面的法向量为， ，取，则， 又，则点 到平面的距离， 当点 从 到运动时， 越来越大，越来越小， 即点 到平面的距离越来越小，故C正确； 对于D，平面的法向量为， 易知平面 的一个法向量为， 设平面与平面 所成的角为 ， 则， 当点 从 到运动时， 越来越大，越来越小， 越来越大， 即平面与平面 所成的锐二面角越来越大，故D正确. 19．已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，得到时， 四点共面，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，即为的中点时，四点共面， 可得，且， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，又因为平面，所以． 在正方形中，易知， 又因为，，平面， 因此平面． 又平面，故. (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）易知，，两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 由（1）可知，平面，故是平面的法向量． 设平面的法向量为，则有，即， 得，取，则，即，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 题型六 已知面面角求其他量 21．在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 22．如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（   ） A．当时，的最小值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D．当时，有且仅有一个点，使得 【答案】ABD 【分析】A选项，点在线段上，故当两点重合时，取得最小值，求出最小值；B选项，等体积法得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出，并得到两平面的法向量，根据面面角的夹角得到方程，方程无解，故C错误；D选项，表达出，令，解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 【详解】A选项，，，，故点在线段上， 故当两点重合时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，当时，，故，， 又，所以点在线段上，， 因为直三棱柱中，⊥平面，又平面，所以⊥， 又⊥，，所以⊥平面， 故点到平面的距离为1，故， 三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为时，，即， 所以，故，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 若平面与平面的夹角为，令，故， 方程无解，故不存在两个点使得平面与平面的夹角为，C错误； D选项，当时，，即， 故，，故， 又，令， 解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 故选：ABD 23．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，得到相关点及相关向量的坐标，设出点坐标，结合二面角的向量求法及已知条件求出点，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据三正弦定理求解即可. 【详解】方法一：因为，为的中点，所以，且. 连接，因为，，， 所以是等腰直角三角形，又为的中点，所以，且. 在中，，所以是直角三角形，且. 所以，，两两垂直， 以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设. 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以. 易知平面，所以平面的一个法向量为. 又二面角的大小为，所以， 整理得，解得或（舍去），所以. 又，设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：设与平面所成角为．由题意知，，二面角的大小是， 由三正弦定理得． 24．如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 题型七 共面直线夹角的向量求法 25．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，借助直线方向向量的夹角公式即可求解； 【详解】折起后的图形如下所示， 连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，，，，，， ；，. 故选：B 26．如图，若正方体的棱长为是的中点，在棱上，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．四面体的外接球半径最大值是 C．过作平面的垂面，且与交于点，则最大取 D．当点是中点时，平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】根据锥体的体积的计算，结合等体积法即可求解A，根据线面垂直可得，即可求解外接圆半径的最大值求解B，根据点，结合图形关系即可求解的最大值为直角，根据点面距的向量法，由勾股定理求解截面圆半径即可求解D. 【详解】对于A，三棱锥的高为2，底面积， 所以，故A正确； 对于B，四面体的侧棱垂直于底面，设三角形的外接圆的半径为,故外接球的半径,故当最大时，最大，当与点或点重合时，此时，当点为中点时，此时，根据对称性可知，当点从点移动到点时，先增大后减小，因此当点与点或点时最小，最小值为，此时最大，最大值为，故的最大值为，故B正确； 对于C，取的中点为，由于平面，故平面平面，如图显然在平面内，则平面平面.当点运动到点时，点和点重合，此时最大，由于是的中点，故为直角，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则为正方体的中心，则，则， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD 27．把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，，分别为，，的中点，则折纸后的大小为__________. 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理可得线面垂直，从而，，三直线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角. 【详解】折起后的图形如下所示，连接，， 由正方形的性质可知，，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， ，，三直线两两垂直， 分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，， ，，， ，， ，又， ，． 故答案为：. 28．已知斜棱柱中，，．设，，． (1)用基底，，表示向量，并求； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】用基底表示有关向量，用空间向量数量积的有关运算求向量的模和夹角. 【详解】（1）． ∴． （2）． ∴． ∴． ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 异面直线夹角的向量求法 1．如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，P分别为线段，，的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成角的正弦值为 C．在平面内的射影为的垂心 D．三棱锥的外接球的直径为 3．如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 4．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 题型二 已知线线角求其他量 5．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 7．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 题型三 线面角的向量求法 9．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 11．空间直角坐标系中，，，，为三棱锥的内切球的球心，与平面所成角的正弦值为_______. 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 题型四 已知线面角求其他量 13．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 14．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为9π B．若，则点P的轨迹长度为 C．的最小值为 D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为 15．棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 16．如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 题型五 面面角的向量求法 17．已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 18．如图，已知正方体， 为 的中点， 为的中点，点 在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（     ） A．无论点 在何处，总有 B．存在点 ，使得截面恰好过点 C．点 从 到运动时，点 到平面的距离越来越小 D．点 从 到运动时，平面与平面 所成的锐二面角越来越大 19．已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 20．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 题型六 已知面面角求其他量 21．在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（   ） A．当时，的最小值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D．当时，有且仅有一个点，使得 23．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 24．如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 题型七 共面直线夹角的向量求法 25．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 26．如图，若正方体的棱长为是的中点，在棱上，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．四面体的外接球半径最大值是 C．过作平面的垂面，且与交于点，则最大取 D．当点是中点时，平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 27．把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，，分别为，，的中点，则折纸后的大小为__________. 28．已知斜棱柱中，，．设，，． (1)用基底，，表示向量，并求； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $