第三单元3.5花坛的周长（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本小学数学讲义聚焦圆的周长及相关规律，以“基础概念—方法探究—公式推导—应用拓展—逆向综合”为脉络，涵盖圆的周长公式、环形小路概念，通过假设法探究半径变化影响，字母推导周长增量规律，延伸至正方形周长变化对比及逆向计算与实际应用，构建递进式学习支架。 该资料特色在于注重数学思维与模型意识培养，如用假设法多组数据验证半径增量与周长关系，字母推导严谨证明规律，结合环形小路、跑道等生活实例强化几何直观。课中助力教师分层引导，课后练习覆盖不同题型，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.5花坛的周长(6个考点)（讲义） 考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解 【核心知识】 1.圆的周长公式：已知半径r,周长C=2πr:已知直径d,周长C=πd. 小学阶段计算时π通常取近似值3.14。 2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度=外圆半径- 内圆半径，即外半径=内半径+路宽。 3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽 的2倍。 【方法点拨】 1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。 2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为路宽×2。 3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外 侧大圆的半径和周长分别是多少？ 【对应练习】 1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是()米。 2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是()米。 3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。() 第1页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？ 5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少 米？ 6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？ 考点2：假设法探究半径变化对周长的影响 【核心知识】 1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原 始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。 2探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径 大小无关。 3数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。 【方法点拨】 1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。 2.每组都按“原周长→新半径新周长→求差值”的步骤计算。 第2页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。 【典型例题】 例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。 【对应练习】 1判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明 这个规律永远成立。() 2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增 量，写出你的发现。 3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的 说法是否正确。 4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过 程。 5.探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。 第3页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是 多少？你有什么发现？ 考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析 【核心知识】 1.标准推导过程： 设原半径为r,半径增加量为a 原周长C1=2r,新周长C2=2π(r+a) 周长增量△C=2π(r+a)-2πr=2Tr+2ra-2rr=2ra 2.结论：化简后原半径r被消去，严格证明周长增量只与半径增加量有关， 与原半径r无关。 3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开2π(r+1)=2πr+1, 忽略了1也要乘2T。 【方法点拨】 1推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。 2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。 3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。 第4页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并 改正错误的。 甲：2(r+1)-2r=2πr+2T-2r=2π（米） 乙：2(r+1)-2r=2r+1-2Tr=1(米) 【对应练习】 1.设圆的半径为r,半径增加3，周长增量用字母表示是()。 2判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。() 3.找出下面推导的错误并改正： 半径增加m,2rr+m-2r=m,所以周长增加m。 4.用字母证明：两个圆的半径差为k,它们的周长差就是2πk。 5.设内圆半径为r,环形路宽为w,外圆周长用字母表示是()。 6.用字母推导：圆的直径增加b,周长增加多少？ 第5页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 考点4：圆周长增量规律的直接应用 【核心知识】 1.核心结论：圆的半径增加a,周长就增加2ra。 2.拓展结论：圆的直径增加a,周长就增加πa。 3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式 计算，无需分别求总周长。 【方法点拨】 1.只问“周长增加多少”“内外周长差多少”，直接用“2π×半径增量”计算。 2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。 3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？ 【对应练习】 1.圆的半径增加5分米，周长增加()分米。 2.圆的直径增加6米，周长增加()米。 3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差()厘米。 4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。( 5.圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？ 第6页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？ 7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？ 考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展） 【核心知识】 1.正方形四周均匀加宽w(四周各向外延伸w),新正方形边长=原边长+ 2w。 2.周长增量：4×（原边长+2w)-4×原边长=8w。 3对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽 宽度决定：和圆形规律本质一致。 【方法点拨】 1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加2w,不要只加1个 W。 2对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只 和宽度有关。 【典型例题】 例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？ 第7页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.正方形广场四周加宽3米，周长增加()米。 2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多()分米。 3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。() 4.两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？ 5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？ 6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取3.14） 考点6：周长变化的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。 2.圆形逆向公式：半径增加量=周长增量÷(2π)，即△r=△C÷2π。 3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆 向应用。 【方法点拨】 1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。 2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。 第8页共9页 北师大版六年级数学上册讲义 3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周 长差就是半径差对应的圆周长差。 【典型例题】 例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？ 【对应练习】 1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加()厘米。 2.圆的周长增加31.4米，直径增加()米。 3.正方形周长增加24分米，边长增加()分米。 4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？ 5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆） 6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？ 7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？ 第9页共9页北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.5花坛的周长(6个考点)（讲义） 考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解 【核心知识】 1.圆的周长公式：已知半径r,周长C=2πr:已知直径d,周长C=πd. 小学阶段计算时π通常取近似值3.14。 2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度=外圆半径- 内圆半径，即外半径=内半径+路宽。 3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽 的2倍。 【方法点拨】 1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。 2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为路宽×2。 3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外 侧大圆的半径和周长分别是多少？ 【分析】 本题是环形小路的基础题。步道宽度就是外圆半径比内圆半径增加的长度。已 知内圆半径和路宽，直接相加得到外圆半径，再代入圆的周长公式计算即可。 注意周长公式选择C=2πr。 【详解】 外圆半径=内圆半径+路宽=6+1=7（米） 外圆周长=2×3.14×7=43.96（米） 【答案】 步道外侧大圆的半径是7米，周长是43.96米。 第1页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是()米。 【分析】 外圆半径等于内圆半径（花坛半径）加上小路宽度。 【详解】 4+1=5(米) 【答案】 2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是()米。 【分析】 路宽是半径的增加量，直径的增加量是路宽的2倍。己知内圆直径和路宽，外 圆直径=内圆直径+路宽×2。 【详解】 外圆直径=10+2×2=14（米） 【答案】 14 3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。() 【分析】 路宽是半径的增加量。直径增加量=路宽×2=3×2=6米，而不是3米。 【详解】 直径增加量=3×2=6（米），所以“直径增加3米”是错误的。 【答案】 十 4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？ 【分析】 第2页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 跑道宽度就是外圈半径比内圈半径增加的长度。直接用内圈半径加跑道宽度。 【详解】 外圈半径=25+2=27（米） 【答案】 27米 5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少 米？ 【分析】 己知内圆周长，先求出内圆半径；再计算外圆半径（内圆半径+路宽）；最后求 外圆周长。 【详解】 内圆半径=31.4÷3.14÷2=5（米） 外圆半径=5+1=6（米） 外圆周长=2×3.14×6=37.68（米） 【答案】 37.68米 6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？ 【分析】 直径=半径×2，半径增加a,直径增加2a。 【详解】 直径增加量=2×2=4（分米） 【答案】 4分米 考点2：假设法探究半径变化对周长的影响 【核心知识】 第3页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原 始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。 2探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径 大小无关。 3数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。 【方法点拨】 1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。 2每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。 3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。 【典型例题】 例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。 【分析】 本题需要用假设法，即选取两个不同的原始半径，分别计算周长增加了多少， 通过比较得出结论。假设的半径应简单易算。 【详解】 假设圆①半径为1米： 原周长=2×3.14×1=6.28（米） 新半径=1+2=3（米） 新周长=2×3.14×3=18.84（米） 周长增加=18.84-6.28=12.56（米） 假设圆②半径为5米： 原周长=2×3.14×5=31.4（米） 新半径=5+2=7（米) 新周长=2×3.14×7=43.96（米） 周长增加=43.96-31.4=12.56（米） 第4页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 两组数据中，半径增加2米，周长都增加12.56米，与原来半径的大小无关。 【答案】 半径增加2米，周长增加12.56米，与原来半径无关。 【对应练习】 1.判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明 这个规律永远成立。() 【分析】 2组数据只能作为归纳的初步证据，但不能证明“永远成立”。数学上的严格证 明需要用到字母推导（考点3）。题目问的是“能否说明永远成立”，答案是否 定的。 【详解】 两组数据只是特例，不能代表所有情况。 【答案】 2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增 量，写出你的发现。 【分析】 按要求用假设法分别计算两组数据的周长增量，再比较。 【详解】 半径2厘米时： 原周长=2×3.14×2=12.56（厘米） 新半径=3厘米，新周长=2×3.14×3=18.84（厘米） 增量=18.84-12.56=6.28（厘米） 半径5厘米时： 原周长=2×3.14×5=31.4（厘米) 新半径=6厘米，新周长=2×3.14×6=37.68（厘米） 第5页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 增量=37.68-31.4=6.28（厘米） 发现：半径都增加1厘米，周长增量相同，都是6.28厘米，与原来的半径大小 无关。 【答案】 发现：半径增加1厘米，周长都增加628厘米，与原来半径无关。 3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的 说法是否正确。 【分析】 用假设法选取一大一小两个圆，分别计算半径增加1米后的周长增量，进行比 较。 【详解】 假设小圆半径1米： 原周长=2×3.14×1=6.28（米） 新半径=2米，新周长=2×3.14×2=12.56（米) 增量=12.56-6.28=6.28（米） 假设大圆半径10米： 原周长=2×3.14×10=62.8（米） 新半径=11米，新周长=2×3.14×11=69.08（米） 增量=69.08-62.8=6.28（米） 两个圆半径增加1米，周长增加量一样，都是6.28米。 【答案】 小明的说法不正确。半径增加1米，周长增加量都是628米，与原半径大小无 关。 4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过 程。 【分析】 第6页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 假设两个不同的直径（或半径），分别增加3厘米直径，计算周长增量。 【详解】 验证组1：设原直径4厘米（半径2厘米） 原周长=3.14×4=12.56（厘米） 新直径=4+3=7厘米，新周长=3.14×7=21.98（厘米） 增量=21.98-12.56=9.42（厘米） 验证组2：设原直径10厘米（半径5厘米） 原周长=3.14×10=31.4（厘米） 新直径=10+3=13厘米，新周长=3.14×13=40.82（厘米） 增量=40.82-31.4=9.42（厘米） 【答案】 两组验证都表明直径增加3厘米，周长增加9.42厘米。 5探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。 【分析】 注意“扩大到原来的2倍”不同于“增加”。假设具体半径计算原周长和新周 长，再求倍数。 【详解】 假设原半径=3米： 原周长=2×3.14×3=18.84（米） 新半径=3×2=6（米） 新周长=2×3.14×6=37.68（米） 37.68÷18.84=2 假设原半径=5米： 原周长=2×3.14×5=31.4（米） 新半径=5×2=10（米） 新周长=2×3.14×10=62.8（米） 第7页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 62.8÷31.4=2 【答案】 圆的半径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。 6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是 多少？你有什么发现？ 【分析】 正方形周长=4×边长。用假设法计算两种情况的周长增量，再归纳。 【详解】 边长4厘米时： 原周长=4×4=16（厘米） 新边长=4+2=6（厘米），新周长=4×6=24（厘米） 增量=24-16=8（厘米） 边长9厘米时： 原周长=4×9=36（厘米） 新边长=9+2=11（厘米），新周长=4×11=44（厘米） 增量=44-36=8（厘米） 发现：正方形边长增加2厘米，周长增量都是8厘米，与原边长无关。 【答案】 增量都是8厘米。发现：正方形边长增加相同长度，周长增加量也固定，与原 边长无关。 考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析 【核心知识】 1.标准推导过程： 设原半径为r,半径增加量为a 原周长C1=2rr,新周长C2=2π(r+a) 第8页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 周长增量△C=2π(r+a)-2rr=2rr+2ra-2rr=2ra 2.结论：化简后原半径r被消去，严格证明周长增量只与半径增加量a有关， 与原半径r无关。 3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开2π(r+1)=2rr+1, 忽略了1也要乘2。 【方法点拨】 1推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。 2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。 3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。 【典型例题】 例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并 改正错误的。 甲：2(r+1)-2r=2πr+2-2r=2π（米） 乙：2(r+1)-2πr=2r+1-2πr=1(米) 【分析】 主要考察乘法分配律的运用。甲正确地将2π分别乘r和1；乙错误，漏乘了2 ,只加了1。 【详解】 甲的过程正确。 乙的错误在于：2(r+1)应展开为2π+2元×1=2+2T,而不是2r+1。 乙正确应为：2T(r+1)-2r=2π+2元-2r=2几（米） 【答案】 甲对；乙错，正确结果应为2π米。 【对应练习】 1.设圆的半径为r,半径增加3，周长增量用字母表示是()。 第9页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】 套用周长增量公式：△C=2元×半径增加量。 【详解】 △C=2m×3=6元 【答案】 6元 2判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。() 【分析】 字母推导具有一般性，r可以代表任意正数（整数、小数、分数均可）。 【详解】 字母推导的结论对任意半径都成立。 【答案】 3.找出下面推导的错误并改正： 半径增加m,2rr+m-2Tr=m,所以周长增加m。 【分析】 错误在于没有将m乘以前面的系数2几。2(r+m)展开应为2πr+2m。 【详解】 正确推导： 2π(r+m)-2r=2r+2m-2r=2um 【答案】 错误：漏乘2。改正：周长增加2m。 4.用字母证明：两个圆的半径差为k,它们的周长差就是2πk。 【分析】 设大圆半径为R,小圆半径为r,已知R-r=k,分别表示周长后相减。 第10页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【详解】 大圆周长=2元R,小圆周长=2π 周长差=2R-2π=2元(R-r)=2k 【答案】 证明如上，周长差为2πk。 5.设内圆半径为r,环形路宽为w,外圆周长用字母表示是()。 【分析】 外圆半径=r+w,再代入周长公式。 【详解】 外圆周长=2r+w) 【答案】 2元r+w) 6.用字母推导：圆的直径增加b,周长增加多少？ 【分析】 直径增加b,半径增加b/2。周长增量=2元×(b/2)=πb。也可直接从Cπd推 导。 【详解】 原直径d,新直径d+b 原周长=d,新周长=π(d+b) 增量=π(d+b)-πd=b 【答案】 周长增加πb。 考点4：圆周长增量规律的直接应用 【核心知识】 1.核心结论：圆的半径增加a,周长就增加2πa。 第11页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 2拓展结论：圆的直径增加a,周长就增加ra。 3应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式 计算，无需分别求总周长。 【方法点拨】 1.只问“周长增加多少”“内外周长差多少”，直接用“2元×半径增量”计算。 2注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。 3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？ 【分析】 直接使用周长增量公式：△C=2r×半径增加量。 【详解】 △C=2×3.14×4=25.12(厘米) 【答案】 25.12厘米 【对应练习】 1.圆的半径增加5分米，周长增加()分米。 【分析】 直接应用△C=2元×半径增量。 【详解】 2×3.14×5=31.4(分米) 【答案】 31.4 2.圆的直径增加6米，周长增加()米。 第12页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】 直径增加量对应周长增量公式：△C=元×直径增量。 【详解】 3.14×6=18.84(米) 【答案】 18.84 3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差()厘米。 【分析】 周长差=2π×半径差。 【详解】 2×3.14×3=18.84(厘米) 【答案】 18.84 4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。（ ) 【分析】 无论大圆还是小圆，半径增加2米，周长都增加2π×2=4米，增加量相同。 【详解】 大圆增量=2×3.14×2=12.56米；小圆增量同样为12.56米。 【答案】 5圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？ 【分析】 路宽即半径增加量，外侧周长与花坛周长的差=2元×路宽。 【详解】 第13页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 2×3.14×2-12.56(米) 【答案】 12.56米 6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？ 【分析】 周长差=2π×半径差。 【详解】 2×3.14×5=31.4(分米) 【答案】 31.4分米 7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？ 【分析】 半径增加了3厘米(8-5=3)，应用△C=2π×半径增量。 【详解】 半径增量=8-5=3（厘米） 周长增量=2×3.14×3=18.84（厘米） 【答案】 18.84厘米 考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展） 【核心知识】 1.正方形四周均匀加宽w(四周各向外延伸w)，新正方形边长=原边长+ 2w。 2.周长增量：4×（原边长+2w)-4×原边长=8w。 3对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽 宽度决定；和圆形规律本质一致。 第14页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【方法点拨】 1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加2w,不要只加1个 w。 2对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只 和宽度有关。 【典型例题】 例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？ 【分析】 正方形四周加宽w,边长增加2w,周长增加8w。这里w=2米。 【详解】 周长增量=8×2=16（米） 【答案】 16米 【对应练习】 1.正方形广场四周加宽3米，周长增加()米。 【分析】 正方形四周加宽w,周长增加8w。 【详解】 8×3=24(米) 【答案】 24 2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多()分米。 【分析】 边框宽度即加宽宽度，周长增量=8×宽度。 【详解】 第15页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 8×1=8(分米) 【答案】 8 3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。() 【分析】 边长增加a,周长增加4a(注意这里是“边长增加”，不是“四周加宽”)，4 ×5=20米，且与原来边长无关。 【详解】 增量=4×5=20米，与原来边长无关。 【答案】 4两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？ 【分析】 周长差=4×边长差。 【详解】 4×4=16(厘米) 【答案】 16厘米 5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？ 【分析】 先求原边长，再求扩展后的边长（原边长+2×1），最后求新周长。或直接用周 长增量法：原周长+8×扩展宽度。 【详解】 原边长=32÷4=8（米） 新边长=8+2×1=10（米） 第16页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 新周长=4×10=40（米） (或直接32+8×1=40米) 【答案】 40米 6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取3.14） 【分析】 圆形加宽1米，周长增量=2元×1=2元≈6.28米；正方形四周加宽1米，周长增 量=8×1=8米。比较两者。 【详解】 圆形增量=2×3.14×1=6.28（米） 正方形增量=8×1=8（米） 8-6.28=1.72(米) 【答案】 正方形增加得多，多1.72米。 考点6：周长变化的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。 2.圆形逆向公式：半径增加量=周长增量÷(2π)，即△r=△C÷2π。 3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆 向应用。 【方法点拨】 1先根据图形类型，对应选择逆向公式。 2计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。 3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周 长差就是半径差对应的圆周长差。 第17页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？ 【分析】 外圈比内圈周长长，即周长差=2元×跑道宽。已知周长差，反求跑道宽=周长 差÷(2)。 【详解】 跑道宽=18.84÷(2×3.14=18.84÷6.28=3（米) 【答案】 3米 【对应练习】 1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加()厘米。 【分析】 半径增量=周长增量÷(2)。 【详解】 12.56÷(2×3.14)=12.56÷6.28=2（厘米) 【答案】 2.圆的周长增加31.4米，直径增加()米。 【分析】 直径增量=周长增量÷兀。 【详解】 31.4÷3.14=10(米) 【答案】 10 3.正方形周长增加24分米，边长增加()分米。 第18页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】 正方形周长增量=4×边长增量，所以边长增量=周长增量÷4。 【详解】 24÷4=6(分米) 【答案】 6 4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？ 【分析】 环形小路宽度即半径增加量，宽度=周长差÷(2)。 【详解】 25.12÷(2×3.14)=25.12÷6.28=4(米) 【答案】 4米 5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆） 【分析】 跑道宽即半径差。相邻跑道周长差=2π×跑道宽。起跑线提前量就是这个周长 差。 【详解】 提前量=2×3.14×1.2=7.536（米） 【答案】 7.536米 6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？ 【分析】 先求周长增量，再反求半径增量。或分别求半径再作差。 【详解】 第19页共20页 北师大版六年级数学上册讲义 周长增量=50.24-25.12=25.12（厘米） 半径增量=25.12÷(2×3.14)=25.12÷6.28=4（厘米) 【答案】 4厘米 7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？ 【分析】 正方形四周加宽w,周长增加8w,所以加宽宽度=周长增量÷8。 【详解】 32÷8=4(米) 【答案】 4米 第20页共20页北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.5花坛的周长（6个考点）（讲义） 考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解 【核心知识】 1.圆的周长公式：已知半径，周长；已知直径，周长。小学阶段计算时通常取近似值3.14。 2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 - 内圆半径，即。 3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽的2倍。 【方法点拨】 1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。 2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为。 3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外侧大圆的半径和周长分别是多少？ 【对应练习】 1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是（ ）米。 2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是（ ）米。 3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。（ ） 4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？ 5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少米？ 6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？ 考点2：假设法探究半径变化对周长的影响 【核心知识】 1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。 2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径大小无关。 3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。 【方法点拨】 1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。 2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。 3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。 【典型例题】 例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。 【对应练习】 1.判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明这个规律永远成立。（ ） 2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增量，写出你的发现。 3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的说法是否正确。 4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过程。 5.探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。 6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是多少？你有什么发现？ 考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析 【核心知识】 1.标准推导过程： 设原半径为，半径增加量为 原周长，新周长 周长增量 2.结论：化简后原半径被消去，严格证明周长增量只与半径增加量有关，与原半径无关。 3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开，忽略了1也要乘。 【方法点拨】 1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。 2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。 3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。 【典型例题】 例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并改正错误的。 甲：（米） 乙：（米） 【对应练习】 1.设圆的半径为，半径增加3，周长增量用字母表示是（ ）。 2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ） 3.找出下面推导的错误并改正： 半径增加，，所以周长增加。 4.用字母证明：两个圆的半径差为，它们的周长差就是。 5.设内圆半径为，环形路宽为，外圆周长用字母表示是（ ）。 6.用字母推导：圆的直径增加，周长增加多少？ 考点4：圆周长增量规律的直接应用 【核心知识】 1.核心结论：圆的半径增加，周长就增加。 2.拓展结论：圆的直径增加，周长就增加。 3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式计算，无需分别求总周长。 【方法点拨】 1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“半径增量”计算。 2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。 3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？ 【对应练习】 1.圆的半径增加5分米，周长增加（ ）分米。 2.圆的直径增加6米，周长增加（ ）米。 3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。 4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。（ ） 5.圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？ 6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？ 7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？ 考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展） 【核心知识】 1.正方形四周均匀加宽（四周各向外延伸），新正方形边长 = 原边长 + 。 2.周长增量：。 3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽宽度决定；和圆形规律本质一致。 【方法点拨】 1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加，不要只加1个。 2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只和宽度有关。 【典型例题】 例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？ 【对应练习】 1.正方形广场四周加宽3米，周长增加（ ）米。 2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。 3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。（ ） 4.两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？ 5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？ 6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取） 考点6：周长变化的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。 2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ，即。 3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆向应用。 【方法点拨】 1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。 2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。 3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周长差就是半径差对应的圆周长差。 【典型例题】 例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？ 【对应练习】 1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加（ ）厘米。 2.圆的周长增加31.4米，直径增加（ ）米。 3.正方形周长增加24分米，边长增加（ ）分米。 4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？ 5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆） 6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？ 7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.5花坛的周长（6个考点）（讲义） 考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解 【核心知识】 1.圆的周长公式：已知半径，周长；已知直径，周长。小学阶段计算时通常取近似值3.14。 2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 - 内圆半径，即。 3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽的2倍。 【方法点拨】 1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。 2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为。 3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外侧大圆的半径和周长分别是多少？ 【分析】 本题是环形小路的基础题。步道宽度就是外圆半径比内圆半径增加的长度。已知内圆半径和路宽，直接相加得到外圆半径，再代入圆的周长公式计算即可。注意周长公式选择C = 2πr。 【详解】 外圆半径 = 内圆半径 + 路宽 = 6 + 1 = 7（米） 外圆周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米） 【答案】 步道外侧大圆的半径是7米，周长是43.96米。 【对应练习】 1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是（ ）米。 【分析】 外圆半径等于内圆半径（花坛半径）加上小路宽度。 【详解】 4 + 1 = 5（米） 【答案】 5 2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是（ ）米。 【分析】 路宽是半径的增加量，直径的增加量是路宽的2倍。已知内圆直径和路宽，外圆直径 = 内圆直径 + 路宽×2。 【详解】 外圆直径 = 10 + 2×2 = 14（米） 【答案】 14 3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。（ ） 【分析】 路宽是半径的增加量。直径增加量 = 路宽×2 = 3×2 = 6米，而不是3米。 【详解】 直径增加量 = 3×2 = 6（米），所以“直径增加3米”是错误的。 【答案】 × 4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？ 【分析】 跑道宽度就是外圈半径比内圈半径增加的长度。直接用内圈半径加跑道宽度。 【详解】 外圈半径 = 25 + 2 = 27（米） 【答案】 27米 5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少米？ 【分析】 已知内圆周长，先求出内圆半径；再计算外圆半径（内圆半径+路宽）；最后求外圆周长。 【详解】 内圆半径 = 31.4 ÷ 3.14 ÷ 2 = 5（米） 外圆半径 = 5 + 1 = 6（米） 外圆周长 = 2 × 3.14 × 6 = 37.68（米） 【答案】 37.68米 6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？ 【分析】 直径 = 半径×2，半径增加a，直径增加2a。 【详解】 直径增加量 = 2×2 = 4（分米） 【答案】 4分米 考点2：假设法探究半径变化对周长的影响 【核心知识】 1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。 2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径大小无关。 3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。 【方法点拨】 1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。 2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。 3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。 【典型例题】 例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。 【分析】 本题需要用假设法，即选取两个不同的原始半径，分别计算周长增加了多少，通过比较得出结论。假设的半径应简单易算。 【详解】 假设圆①半径为1米： 原周长 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米） 新半径 = 1 + 2 = 3（米） 新周长 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（米） 周长增加 = 18.84 - 6.28 = 12.56（米） 假设圆②半径为5米： 原周长 = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（米） 新半径 = 5 + 2 = 7（米） 新周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米） 周长增加 = 43.96 - 31.4 = 12.56（米） 两组数据中，半径增加2米，周长都增加12.56米，与原来半径的大小无关。 【答案】 半径增加2米，周长增加12.56米，与原来半径无关。 【对应练习】 1.判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明这个规律永远成立。（ ） 【分析】 2组数据只能作为归纳的初步证据，但不能证明“永远成立”。数学上的严格证明需要用到字母推导（考点3）。题目问的是“能否说明永远成立”，答案是否定的。 【详解】 两组数据只是特例，不能代表所有情况。 【答案】 × 2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增量，写出你的发现。 【分析】 按要求用假设法分别计算两组数据的周长增量，再比较。 【详解】 半径2厘米时： 原周长 = 2×3.14×2 = 12.56（厘米） 新半径 = 3厘米，新周长 = 2×3.14×3 = 18.84（厘米） 增量 = 18.84 - 12.56 = 6.28（厘米） 半径5厘米时： 原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（厘米） 新半径 = 6厘米，新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（厘米） 增量 = 37.68 - 31.4 = 6.28（厘米） 发现：半径都增加1厘米，周长增量相同，都是6.28厘米，与原来的半径大小无关。 【答案】 发现：半径增加1厘米，周长都增加6.28厘米，与原来半径无关。 3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的说法是否正确。 【分析】 用假设法选取一大一小两个圆，分别计算半径增加1米后的周长增量，进行比较。 【详解】 假设小圆半径1米： 原周长 = 2×3.14×1 = 6.28（米） 新半径 = 2米，新周长 = 2×3.14×2 = 12.56（米） 增量 = 12.56 - 6.28 = 6.28（米） 假设大圆半径10米： 原周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米） 新半径 = 11米，新周长 = 2×3.14×11 = 69.08（米） 增量 = 69.08 - 62.8 = 6.28（米） 两个圆半径增加1米，周长增加量一样，都是6.28米。 【答案】 小明的说法不正确。半径增加1米，周长增加量都是6.28米，与原半径大小无关。 4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过程。 【分析】 假设两个不同的直径（或半径），分别增加3厘米直径，计算周长增量。 【详解】 验证组1：设原直径4厘米（半径2厘米） 原周长 = 3.14×4 = 12.56（厘米） 新直径 = 4+3=7厘米，新周长 = 3.14×7 = 21.98（厘米） 增量 = 21.98 - 12.56 = 9.42（厘米） 验证组2：设原直径10厘米（半径5厘米） 原周长 = 3.14×10 = 31.4（厘米） 新直径 = 10+3=13厘米，新周长 = 3.14×13 = 40.82（厘米） 增量 = 40.82 - 31.4 = 9.42（厘米） 【答案】 两组验证都表明直径增加3厘米，周长增加9.42厘米。 5.探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。 【分析】 注意“扩大到原来的2倍”不同于“增加”。假设具体半径计算原周长和新周长，再求倍数。 【详解】 假设原半径 = 3米： 原周长 = 2×3.14×3 = 18.84（米） 新半径 = 3×2 = 6（米） 新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（米） 37.68 ÷ 18.84 = 2 假设原半径 = 5米： 原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（米） 新半径 = 5×2 = 10（米） 新周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米） 62.8 ÷ 31.4 = 2 【答案】 圆的半径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。 6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是多少？你有什么发现？ 【分析】 正方形周长=4×边长。用假设法计算两种情况的周长增量，再归纳。 【详解】 边长4厘米时： 原周长 = 4×4 = 16（厘米） 新边长 = 4+2=6（厘米），新周长 = 4×6=24（厘米） 增量 = 24-16=8（厘米） 边长9厘米时： 原周长 = 4×9 = 36（厘米） 新边长 = 9+2=11（厘米），新周长 = 4×11=44（厘米） 增量 = 44-36=8（厘米） 发现：正方形边长增加2厘米，周长增量都是8厘米，与原边长无关。 【答案】 增量都是8厘米。发现：正方形边长增加相同长度，周长增加量也固定，与原边长无关。 考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析 【核心知识】 1.标准推导过程： 设原半径为，半径增加量为 原周长，新周长 周长增量 2.结论：化简后原半径被消去，严格证明周长增量只与半径增加量有关，与原半径无关。 3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开，忽略了1也要乘。 【方法点拨】 1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。 2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。 3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。 【典型例题】 例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并改正错误的。 甲：（米） 乙：（米） 【分析】 主要考察乘法分配律的运用。甲正确地将2π分别乘r和1；乙错误，漏乘了2π，只加了1。 【详解】 甲的过程正确。 乙的错误在于：2π(r+1) 应展开为 2πr + 2π×1 = 2πr + 2π，而不是 2πr + 1。 乙正确应为：2π(r+1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（米） 【答案】 甲对；乙错，正确结果应为2π米。 【对应练习】 1.设圆的半径为，半径增加3，周长增量用字母表示是（ ）。 【分析】 套用周长增量公式：ΔC = 2π × 半径增加量。 【详解】 ΔC = 2π × 3 = 6π 【答案】 6π 2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ） 【分析】 字母推导具有一般性，r可以代表任意正数（整数、小数、分数均可）。 【详解】 字母推导的结论对任意半径都成立。 【答案】 × 3.找出下面推导的错误并改正： 半径增加，，所以周长增加。 【分析】 错误在于没有将m乘以前面的系数2π。2π(r+m)展开应为2πr + 2πm。 【详解】 正确推导： 2π(r + m) - 2πr = 2πr + 2πm - 2πr = 2πm 【答案】 错误：漏乘2π。改正：周长增加2πm。 4.用字母证明：两个圆的半径差为，它们的周长差就是。 【分析】 设大圆半径为R，小圆半径为r，已知R - r = k，分别表示周长后相减。 【详解】 大圆周长 = 2πR，小圆周长 = 2πr 周长差 = 2πR - 2πr = 2π(R - r) = 2πk 【答案】 证明如上，周长差为2πk。 5.设内圆半径为，环形路宽为，外圆周长用字母表示是（ ）。 【分析】 外圆半径 = r + w，再代入周长公式。 【详解】 外圆周长 = 2π(r + w) 【答案】 2π(r + w) 6.用字母推导：圆的直径增加，周长增加多少？ 【分析】 直径增加b，半径增加 b/2。周长增量 = 2π × (b/2) = πb。也可直接从C=πd推导。 【详解】 原直径d，新直径d+b 原周长 = πd，新周长 = π(d+b) 增量 = π(d+b) - πd = πb 【答案】 周长增加πb。 考点4：圆周长增量规律的直接应用 【核心知识】 1.核心结论：圆的半径增加，周长就增加。 2.拓展结论：圆的直径增加，周长就增加。 3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式计算，无需分别求总周长。 【方法点拨】 1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“半径增量”计算。 2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。 3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。 【典型例题】 例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？ 【分析】 直接使用周长增量公式：ΔC = 2π × 半径增加量。 【详解】 ΔC = 2 × 3.14 × 4 = 25.12（厘米） 【答案】 25.12厘米 【对应练习】 1.圆的半径增加5分米，周长增加（ ）分米。 【分析】 直接应用ΔC = 2π × 半径增量。 【详解】 2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米） 【答案】 31.4 2.圆的直径增加6米，周长增加（ ）米。 【分析】 直径增加量对应周长增量公式：ΔC = π × 直径增量。 【详解】 3.14 × 6 = 18.84（米） 【答案】 18.84 3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。 【分析】 周长差 = 2π × 半径差。 【详解】 2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米） 【答案】 18.84 4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。（ ） 【分析】 无论大圆还是小圆，半径增加2米，周长都增加2π×2=4π米，增加量相同。 【详解】 大圆增量 = 2×3.14×2 = 12.56米；小圆增量同样为12.56米。 【答案】 × 5.圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？ 【分析】 路宽即半径增加量，外侧周长与花坛周长的差 = 2π × 路宽。 【详解】 2 × 3.14 × 2 = 12.56（米） 【答案】 12.56米 6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？ 【分析】 周长差 = 2π × 半径差。 【详解】 2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米） 【答案】 31.4分米 7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？ 【分析】 半径增加了3厘米（8-5=3），应用ΔC = 2π × 半径增量。 【详解】 半径增量 = 8 - 5 = 3（厘米） 周长增量 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米） 【答案】 18.84厘米 考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展） 【核心知识】 1.正方形四周均匀加宽（四周各向外延伸），新正方形边长 = 原边长 + 。 2.周长增量：。 3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽宽度决定；和圆形规律本质一致。 【方法点拨】 1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加，不要只加1个。 2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只和宽度有关。 【典型例题】 例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？ 【分析】 正方形四周加宽w，边长增加2w，周长增加8w。这里w=2米。 【详解】 周长增量 = 8 × 2 = 16（米） 【答案】 16米 【对应练习】 1.正方形广场四周加宽3米，周长增加（ ）米。 【分析】 正方形四周加宽w，周长增加8w。 【详解】 8 × 3 = 24（米） 【答案】 24 2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。 【分析】 边框宽度即加宽宽度，周长增量 = 8 × 宽度。 【详解】 8 × 1 = 8（分米） 【答案】 8 3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。（ ） 【分析】 边长增加a，周长增加4a（注意这里是“边长增加”，不是“四周加宽”），4×5=20米，且与原来边长无关。 【详解】 增量 = 4×5 = 20米，与原来边长无关。 【答案】 √ 4.两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？ 【分析】 周长差 = 4 × 边长差。 【详解】 4 × 4 = 16（厘米） 【答案】 16厘米 5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？ 【分析】 先求原边长，再求扩展后的边长（原边长+2×1），最后求新周长。或直接用周长增量法：原周长+8×扩展宽度。 【详解】 原边长 = 32 ÷ 4 = 8（米） 新边长 = 8 + 2×1 = 10（米） 新周长 = 4 × 10 = 40（米） （或直接32 + 8×1 = 40米） 【答案】 40米 6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取） 【分析】 圆形加宽1米，周长增量 = 2π×1 = 2π ≈ 6.28米；正方形四周加宽1米，周长增量 = 8×1 = 8米。比较两者。 【详解】 圆形增量 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米） 正方形增量 = 8 × 1 = 8（米） 8 - 6.28 = 1.72（米） 【答案】 正方形增加得多，多1.72米。 考点6：周长变化的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。 2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ，即。 3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆向应用。 【方法点拨】 1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。 2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。 3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周长差就是半径差对应的圆周长差。 【典型例题】 例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？ 【分析】 外圈比内圈周长长，即周长差 = 2π × 跑道宽。已知周长差，反求跑道宽 = 周长差 ÷ (2π)。 【详解】 跑道宽 = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3（米） 【答案】 3米 【对应练习】 1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加（ ）厘米。 【分析】 半径增量 = 周长增量 ÷ (2π)。 【详解】 12.56 ÷ (2 × 3.14) = 12.56 ÷ 6.28 = 2（厘米） 【答案】 2 2.圆的周长增加31.4米，直径增加（ ）米。 【分析】 直径增量 = 周长增量 ÷ π。 【详解】 31.4 ÷ 3.14 = 10（米） 【答案】 10 3.正方形周长增加24分米，边长增加（ ）分米。 【分析】 正方形周长增量 = 4 × 边长增量，所以边长增量 = 周长增量 ÷ 4。 【详解】 24 ÷ 4 = 6（分米） 【答案】 6 4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？ 【分析】 环形小路宽度即半径增加量，宽度 = 周长差 ÷ (2π)。 【详解】 25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（米） 【答案】 4米 5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆） 【分析】 跑道宽即半径差。相邻跑道周长差 = 2π × 跑道宽。起跑线提前量就是这个周长差。 【详解】 提前量 = 2 × 3.14 × 1.2 = 7.536（米） 【答案】 7.536米 6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？ 【分析】 先求周长增量，再反求半径增量。或分别求半径再作差。 【详解】 周长增量 = 50.24 - 25.12 = 25.12（厘米） 半径增量 = 25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（厘米） 【答案】 4厘米 7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？ 【分析】 正方形四周加宽w，周长增加8w，所以加宽宽度 = 周长增量 ÷ 8。 【详解】 32 ÷ 8 = 4（米） 【答案】 4米 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $