第三单元第5课时 花坛的周长(分层作业)数学北师大版六年级上册（新教材）

**基本信息** 本练习以“花坛的周长”为主题，通过分层递进设计，从基础公式应用到跨情境综合探究，系统巩固圆与正方形周长变化规律，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|圆周长公式、半径/边长增加对周长的影响|以填空、选择为主，聚焦公式记忆与直接应用，如“圆半径增加n米周长增加量”| |进阶提升|多图形周长变化（含减少）、方法验证|通过判断、推导题，融合假设赋值与字母代数，如“半径减少2米用两种方法计算”| |拓展应用|跨情境综合（地球赤道、图形对比）|生活化挑战性问题，如“铁丝抬高1米加长量”，培养数学眼光与应用意识|

第三单元 第5课时 花坛的周长 分层作业 不管花坛半径是多少米，只要扩出1m宽的小路，扩建后圆的周长都比原来增加（ ）m。 1．填一填。 （1）圆的周长字母公式C=（ ）；若圆半径增加n米，周长会增加（ ）米。 （2）正方形四周向外拓宽1米，每条边长增加（ ）米，整个正方形周长一共增加（ ）米。 （3）圆形花坛外围修建宽2米环形步道，外圈圆与花坛内圆的周长相差（ ）米。 （4）探究无具体数值图形的周长变化规律，可以使用（ ）赋值法和字母代数推导法。 2．选择题。 （1）圆半径增加2米，周长增加（ ）。 A.2π B.4π C.6π （2）正方形草坪四周拓宽0.2米绿化带，周长增加（ ）。 A.0.8 B.1.6 C.0.4 （3）下列说法正确的是（ ）。 A.圆原始半径越大，半径增加1米后周长增加量越大 B.半径增加固定长度，周长增加数值固定不变，与原半径无关 C.周长增加量由原图大小决定 3．圆形花园外围修建1米宽环形小路，请先用两组不同半径假设计算内外圆周长差，再用字母r列式化简推导。 4.一块正方形空地，四周向外拓宽0.3米绿化带，只用字母代数法推导，求出周长增加的长度。 5.选择题。 （1）一个圆半径增加4米，周长增加（ ）。 A.4π B.8π C.10π （2）原正方形边长为b，四周向外拓宽3米，新正方形周长算式是（ ）。 A.4(b+3) B.4(b+6) C.4b+3 （3）关于假设赋值法，说法正确的是（ ）。 A.仅举一组数字就能证明规律适用于所有情况 B.多组数字举例可猜想规律，必须搭配字母推导才能普遍证明 C.假设法没有实际解题价值 （4）圆环环宽为2米，内外两个圆的周长之差是（ ）。 A.2π B.4π C.8π 6.判断题。 （1）圆半径增加3米，周长增加6π米，和原来半径大小无关。（ ） （2）正方形四周拓宽2米，周长一共增加8米。（ ） （3）只用假设法举例计算，就能直接证明结论适用于全部数字。（ ） （4）式子2π(r+5)-2πr化简后结果是10π。（ ） （5）圆原始半径越大，同样增加1米半径，周长增加量就越大。（ ） 7.圆形喷水池外围修建4米宽步道，先假设两组不同半径计算周长差，再用字母r完整推导验证。 8.正方形花坛原边长用字母m表示，四周向外拓宽1.5米，列式化简求周长增加量。 9.一个圆半径减少2米，周长会减少多少米？分别用假设法、字母代数法完成计算。 10.长方形长不变，宽增加3厘米。 ①假设长8cm，宽4cm，计算周长增加多少厘米； ②假设长15cm，宽7cm，计算周长增加多少厘米； ③设长为x，宽为y，用字母推导，写出你发现的规律。 11.用铁丝沿地球赤道箍一圈，若把铁丝整体向外抬高1米，铁丝需要加长多少米？用字母推导写出完整过程。 12.一个正方形和一个圆形，同时向外拓宽2米，分别算出两者周长增加量，对比结果说说有什么区别。 【夯实基础】 1．填一填 （1）2πr；2nπ 解析：圆周长公式C=2πr，新周长2π(r+n)=2πr+2nπ，差值为2nπ。 （2）2；8 解析：正方形左右各拓宽1米，边长增加1×2=2米；周长增加2×4=8米。 （3）4π 解析：设原半径r，外圆半径r+2，2π(r+2)-2πr=4π。 （4）数字 2．选择题。 （1）B 解析：2π(r+2)-2πr=4π。 （2）B 解析：边长增加0.2×2=0.4，周长增加0.4×4=1.6。 （3）B 解析：周长增加量只和半径增加长度有关，与原半径无关。 3．假设法示例： 假设r=2m，内圆4π，外圆2π(2+1)=6π，差2π； 假设r=6m，内圆12π，外圆14π，差2π； 字母推导：2π(r+1)-2πr=2πr+2π-2πr=2π 答：周长相差2π米。 4．（2）设原边长a，新边长a+0.3×2=a+0.6 周长增加：4(a+0.6)-4a=4a+2.4-4a=2.4 答：周长增加2.4米。 【进阶提升】 5．选择题 （1）B 解析：2π(r+4)-2πr=8π。 （2）B 解析：四边各拓宽3米，边长增加3×2=6，新边长b+6，周长4(b+6)。 （3）B 解析：举例只能猜想，字母推导才能通用证明。 （4）B 解析：环宽2米，半径差2米，周长差2π×2=4π。 6．判断题 （1）√ 解析：化简后结果不含r，和原半径无关。 （2）√ 解析：边长增加2×2=4，周长增加4×4=8。 （3）× 解析：举例存在偶然性，不能证明全部情况。 （4）√ 解析：2πr+10π-2πr=10π。 （5）× 解析：增加量恒为2π，不受原半径影响。 7.假设r=3m，内圆6π，外圆2π(3+4)=14π，差8π； 假设r=10m，内圆20π，外圆28π，差8π； 字母推导：2π(r+4)-2πr=8π 答：周长相差8π米。 8.新边长：m+1.5×2=m+3 增加量：4(m+3)-4m=12 答：周长增加12。 9.假设法：设r=5m，原周长10π，新半径3，周长6π，减少4π； 字母推导：2πr-2π(r-2)=2πr-(2πr-4π)=4π 答：周长减少4π米。 10.①原周长(8+4)×2=24，新宽7，新周长(8+7)×2=30，增加6cm； ②原周长(15+7)×2=44，新宽10，新周长(15+10)×2=50，增加6cm； ③原周长2(x+y)，新周长2(x+y+3)=2x+2y+6； 增加量：2x+2y+6-2x-2y=6 规律：长方形长不变，宽固定增加3厘米，周长永远增加6厘米，和长宽原始数值无关。 【拓展应用】 11．设地球赤道半径r，原铁丝长度2πr； 抬高1米后半径r+1，新铁丝长度2π(r+1)； 增加长度：2π(r+1)-2πr=2πr+2π-2πr=2π 答：铁丝需要加长2π米。 12．圆形拓宽2米：周长增加2π×2=4π米； 正方形拓宽2米：边长增加2×2=4，周长增加4×4=16米； 区别：圆周长增加量只和拓宽宽度有关，数值为2π×环宽；正方形周长增加量=拓宽宽度×8，二者计算公式、增加结果完全不同。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $