精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年下学期第二次月考高一数学

南充市高坪中学高2025级高一第二学期第二次月考 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题； 方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题； 本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述. 【详解】方法1： . 方法2： . 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由向量共线的坐标运算可得. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 4. 直线平面，平面内有条直线交于一点，那么这条直线中与直线平行的直线（ ） A. 至少有一条 B. 至多有一条 C. 有且只有一条 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【详解】，则直线 与平面的直线可能平行或异面．则直线 可能与平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面．故选B 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径cm，圆柱体部分的高cm，圆锥体部分的高cm，则这个陀螺的表面积是（ ）cm2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为； 圆柱的侧面积为； 圆柱的底面积为. 所以这个陀螺的表面积为. 7. 若角，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式和三角函数的性质得到的关系，然后由诱导公式和二倍角公式求得. 【详解】因为， 所以，则或， 即或， 又因为，， 因为，， ，， 所以，因为，所以 所以， 所以，因为，所以. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的性质确定几何基底，根据“六芒星”的性质计算，利用投影的性质计算的范围，进而利用计算求解． 【详解】已知正三角形边长为6，则中心点到顶点距离， 已知，是相邻顶点，故， 则， 动点在“六芒星”上，则在方向的投影范围为， 故， 故． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量，相等，则，重合 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算性质可判断A；根据向量共线定理可判断B；根据向量的减法可判断 C；根据垂直关系的向量表示可判断 D. 【详解】对于A，与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不一定成立，故A错误； 对于B，若，，则不存在实数使，故B错误； 对于C，因为，所以，即，所以重合，故C正确； 对于D，由，得，则可能，不一定有，故D 错误. 10. 如图，已知点为某正方体的顶点或者其所在棱的中点．则在下列各图中，满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题可以通过作图，利用正方体棱上中点得到线线平行，然后由线线平行判断线面平行或者由面面平行得到线面平行，逐一判断各个选项即可. 【详解】A选项，由图可知为正方体棱上的中点，所以平面与正方体的正面平行， 而线包含在正方体的正面，所以直线平面，A选项正确； B选项，如图，连接对角线，所以得到，所以， 且直线平面，所以直线平面，B选项正确； C选项，如图，取正方体中点，连接并延长与正方体棱的延长线交于点，连接， 因为为正方体棱上中点，所以，即平面， 在正方体中，由三角形全等可得，所以四边形为平行四边形， 所以，且直线平面， 所以直线平面，C选项正确； D选项，如图，取正方体棱上中点，连接， 由均为正方体棱上中点，可证明， 所以共面，则不满足直线平面，D选项错误. 11. 已知，则（ ） A. 若，，且，则 B. ，使得的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称． C. 当时，函数，恰有三个零点，，，且，则 D. 若在上恰有2个最大值点和1个最小值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简解析式，利用相邻最值的水平距离为半个周期构造方程求出，判断选项A；求出平移后解析式，利用奇函数的性质构造方程求出，进而判断选项B；代入后换元，把零点问题转化为指定区间内交点问题，再利用正弦函数的轴对称性，得出零点的对应相位关系，进而判断选项C；先求出相位在开区间内范围，再根据最大、最小值点的个数分别列出相位边界不等式，求出两个条件下的范围并取交集，判断选项D． 【详解】， 周期，值域为； 选项A：已知，，则相邻最值点的水平距离为半个周期， 故，解得，故A错误； 选项B：的图像向左平移个单位，得：， 图象关于原点对称，则为奇函数，即， ，则， 当时，，存在符合条件的，故B正确； 选项C：当时，，令， 即， 已知，令，则， 方程恰有3个解，时，由正弦函数的对称性， 关于对称，关于对称，则 ，故， 由，则， 故C正确； 选项D：已知，则， 最大值点：，恰有2个最大值点需满足， ， 最小值点：，恰有一个最小值点需满足： ， 综上，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】， 若是纯虚数，则，解得. 13. 如图，四边形是空间四边形，，，，分别是四边上的点，它们共面，且平面，平面，，，则当四边形是菱形时，_____. 【答案】 【解析】 【分析】 利用线面平行的性质定理、平行线成比例定理，结合菱形的性质进行求解即可. 【详解】解析平面平面平面平面，平面平面，平面平面， ，. 又四边形是菱形， . 故答案为： 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理，考查了平行线成比例定理，考查了菱形的性质. 14. 如图正方形的边长为，，分别为边，上的点，若为的中点，且，则__________；若的周长为，则的大小为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据题意，得到，结合两角和的正切公式即可求解； ②根据直角三角形得到角和边的关系，再结合的周长和两角和的正切公式即可求解. 【详解】①已知正方形的边长为，为的中点，所以，， 则， 在正方形中，，设，， 则在直角中，，在直角中，， 由图可知，， 由于， 那么； ②由①可知，则，， 因此，， ， 又因为的周长， 即， 化简得，即， 两边平方： 展开并化简得，所以， 因为 ，所以 ， 此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）单调递减区间为，对称轴为 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 正弦函数的单调递减区间为， 令，则， 解得， 所以的单调递减区间为； 正弦函数的对称轴为， 令，解得， 所以的对称轴为． 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以，即， 所以， 即函数的值域为． 16. 如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝. (1)求证：BC∥； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也平行．线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法． 试题解析：(1)证明 因为BC∥AD，AD⊂平面PAD， BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l. (2)解 MN∥平面PAD.证明如下： 如图所示，取PD中点E，连结AE，EN. 又∵N为PC的中点，∴ 又∵ ∴ 即四边形AMNE为平行四边形． ∴AE∥MN，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD .∴MN∥平面PAD. 考点：线面平行的性质定理及判断定理 17. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合余弦定理求解即可； （2）由的面积为，可得，从而可得，利用求解即可. 【小问1详解】 由， 则, 结合余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以， 所以， 又，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以． 18. 如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． （1）用，表示向量； （2）设，求，的值； （3）如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）直接由向量的线性运算可得； （2）根据、、三点共线及、、三点共线，并结合三点共线的结论可得； （3）由（2）的结论可得，再结合条件及、、三点共线可得. 【小问1详解】 因为，所以，因此. 【小问2详解】 因为，即，又因为，即. 由题，所以， 因为、、三点共线，所以.① 又因为，，所以， 因为、、三点共线，所以.② 联立①②得，解得，. 因此，. 【小问3详解】 由（2）知，，所以，即. 因为，（，均为非零实数），所以，. 所以，因为、、三点共线，所以. 因此. 19. 如图1所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系称为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）在仿射坐标系下，，．若，则是否一定成立？请说明理由． （2）在仿射坐标系下，，且与的夹角为，求． （3）如图2，在仿射坐标系中，点，分别在两条数轴正半轴上（均与点不重合）．，，，分别是，的中点，求的最大值． 【答案】（1）不一定成立，理由如下： 因为在仿射坐标系下，，，所以，. 若，则，即， ， 因为，是单位向量，所以. 因为不恒为零，因此不一定成立. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据仿射坐标系下向量的坐标的定义及向量垂直的充要条件计算判断可得； （2）由仿射坐标系下向量的坐标的定义及向量的模、数量积的运算可得，再结合向量的夹角计算可得； （3）由（1）知，再由得，同理可得，再通过三角换元令，，及辅助角公式得，从而可得所求值的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且. 所以， ， . 因为与的夹角为，所以，， 解得，因为，所以. 【小问3详解】 设，，其中，， 则，. 由（1）知，且， 所以，即. 因为，是，的中点，则，. 由（1）知， 所以 ， 其中. 令，，则，. 所以 ，其中. 当时，（此时能保证，）取最大值. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学高2025级高一第二学期第二次月考 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线平面，平面内有条直线交于一点，那么这条直线中与直线平行的直线（ ） A. 至少有一条 B. 至多有一条 C. 有且只有一条 D. 不存在 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径cm，圆柱体部分的高cm，圆锥体部分的高cm，则这个陀螺的表面积是（ ）cm2 A. B. C. D. 7. 若角，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量，相等，则，重合 D. 若，则 10. 如图，已知点为某正方体的顶点或者其所在棱的中点．则在下列各图中，满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 若，，且，则 B. ，使得的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称． C. 当时，函数，恰有三个零点，，，且，则 D. 若在上恰有2个最大值点和1个最小值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是纯虚数，则__________． 13. 如图，四边形是空间四边形，，，，分别是四边上的点，它们共面，且平面，平面，，，则当四边形是菱形时，_____. 14. 如图正方形的边长为，，分别为边，上的点，若为的中点，且，则__________；若的周长为，则的大小为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 16. 如图所示，为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点，平面PAD平面PBC＝. (1)求证：BC∥； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 17. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 18. 如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． （1）用，表示向量； （2）设，求，的值； （3）如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 19. 如图1所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系称为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）在仿射坐标系下，，．若，则是否一定成立？请说明理由． （2）在仿射坐标系下，，且与的夹角为，求． （3）如图2，在仿射坐标系中，点，分别在两条数轴正半轴上（均与点不重合）．，，，分别是，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $