四川省南充市高坪中学2025-2026学年下学期第二次月考高一数学

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合文化情境与创新题型，梯度覆盖基础巩固与能力提升，凸显数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量平行、线面平行|第4题线面平行判定，考查空间观念；第6题陀螺表面积结合文化传承，体现几何直观| |多选题|3/18|向量共线、线面平行判定|第10题正方体中点线面位置关系，强化推理能力| |填空题|3/15|纯虚数概念、空间四边形性质|第13题空间四边形中菱形条件，考查抽象能力| |解答题|5/77|三角函数性质、立体几何证明、解三角形、仿射坐标系|第19题仿射坐标系创新题型，融合符号意识与创新意识；第16题立体几何证明，培养逻辑推理|

南充市高坪中学高2025级高一第二学期第二次月考 数 学 试 题 （时间：120 分钟 总分：150 分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（    ） A． B． C． D． 2. 已知 z =1+ i ，则 =（ ） A. i B. i C. 1 D. 1 3.已知向量，若//.则( ) A. B. 0 C. 4 D. 6 4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线(　　) A．有且只有一条 B．至少有一条 C．至多有一条 D．没有 5. 在△ABC中，BC =2 ，AC =1+ ，AB = ，则A =（ ） A. B.  C.  D.  6.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（     ） A． B． C． D． 7．若角，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.下列说法错误的是（ ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使= C．若非零向量 相等，则 B，C 重合 D．若 ，则 10.如图，已知点为某正方体的顶点或者其所在棱的中点．则在下列各图中，满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 11.已知,则（ ） A.若 则 B. 使得的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称. C.当时，函数,恰有三个零点,且，则. D.若在上恰有2个最大值点和1个最小值点，则] 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若是纯虚数，则__________. 13如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________. 14. 如图正方形的边长为1, 分别为边AB,AD上的点， 若为AB的中点，且则__________； 若的周长为2，则的大小为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分）已知函数. (1).求的单调递减区间及对称轴. (2).当时，求函数的值域. 16.（15分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：BC∥l； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 17.（15 分）在中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c .已知 . (1)求角A的大小； (2)若a= 3，的面积为, 线段BC的中点为D，求AD的长． 18．（17分）如图1，在中，为直角，, 与相交于点，连接，记. (1)用表示向量； (2)设，求m,n的值； (3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设（均为非零实数），求的值. 19（17分）如图1所示，设是平面内相交成角的两条数轴 . 分别是与正方向同向的单位向量，则平面坐标系称为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为 (1)在仿射坐标系下，.若,则是否一定成立？请说明理由. (2)在仿射坐标系下,,且的夹角为，求. (3)如图2,在仿射坐标系中，点B,C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合）. .分别是的中点，求的最大值. 图一 图二 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二次月考数学参考答案 一、 填空题 2 3 5 6 7 8 9 10 11 B D C C B ABD ABC BCD 二、填空题 12,2 13,m边 14,,45°（前空2分，后空3分） 三、解答题 15.(1)Ax)=sin2x+v3(1+cos2x)=2sin(x)+v3.............................3 令于+2hr2+fs径+2ckeZ 解得吾+k≤r晋+ke2刀， 所以的单调递减区间为[昏+，径+]∈刀5分 令2+背=+c,解得=晋+（∈☑ 所以)的对称轴为=行+气化∈).7分 (2)因为x∈[，1所以2+∈5 8分 当且仅当2x+写=一背即X=时，)n0 10分 当且仅当2x+写5，即=晋时，9max=2+V3 12分 即函数x)的值域为[0,2+V3] 13分 16.(1)证明因为BC∥AD, ADC平面PAD,BCI平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又平面PAD∩平面PBC=I,BCC平面PBC, 所以BC∥17分 (2)解如图所示，取PD中点E.连接EN、AE. :N为PC中点，∴EN/AB,且EN=AB .ENW/AM且EN=AM, ∴.四边形ENMA为平行四边形， .AE∥N. ,AEC平面PAD,MN平面PAD, .MN/∥平面PAD. 15分 17.(1)由7/i,则2b-c=2ac0sC.… 2分 解法一：2sinB-SimC=2si7Ac0sC...... 3分 2sin(A+C)-sinC=2sinAcosC 4分 2coSAsinc-sinC-0 C0小A=行5分 所以在AABC中A= 6分 解法二：2b-c-2a2+2-c 2ab b2+c2-a2=bc所以co4=c= Γ2bc2 (a因为5 usebesinA-be- 4 bC=3… …8分 b2+c2-2bccosA-a .b2+c2=a2+bc=12. 10分 AD=(ABtA12分 aD-w-c-6cas4 15 AD厘 15分 (1直接使用中线长公式：b2+c2=24D+))不扣分。) 18(1)由题意，AD-0D-O号0B-04-7-石4分 (2)因为0元=0A,即04-4o元，因为0D号0B,即0正20D 由题OM=na+nb,所以OM=nOA+2nOD, 因为A.M、D三点共线，所以m+2n=1,7分 同理：O-4mOC+nOB, 因为M、C,B三点共线，所以4m+n=1… 10分 4mn得m=号a [m+2n=1 由 > 12分 (3)由(2)知o-+五，即oO4+O丽， 因为0A=oi,0元=1o 所以o-正+示 .15分 1+3=1 因为FME三点共线， 17分 19.(1)不-定成立.1分 若a1b,a:=0 a B-(xieitye)(x2eitye)-0 1ty1y3+(化1h+x2y1)C0s-03分 因为c+xy1)cos0不恒为零，因此x1x3+y1y2-0不一定成立。4分 (2)因为d-(1,2)=e+22,7=(2,1)=2e1+e lal-V5+4cos0, =V5+4c050,a:7-4+5c0s07分 π= 元：弓-4+5cos0=1 COS 3同同5+4eos9 .9分 2 所以cos&,则-号 10分 (3) 设O丽-(0m.0).0C-(0,月其中m心0≥0.则O历-(0，名01分 BC-(-,0 BC=1,则m2+m2-=1 12分 因为E,F是BD,BC的中点.则O(5,),O远-（行，袋》 13分 OE.0= 19m2+7n2+13mn 76 19m2+7m2+13(m2+n2-1) 合 =6(8m2+5m2)号 76 15分 其中rr-m1r3+婴-1 令tg=si0, 0. msmcos0 3COs0 f代入得：8m2+5n2-1simn0cos0+cos0+8 Esa2co20+曾 3 号兰n20+p 3 当26+。时，（此时能保证m0,n0)取最大值智 所以(O正.OF) 14013121 max19376228 17分