第1章 推理与证明 单元测试 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦初中数学“推理与证明”单元，通过选择、填空、解答题系统考查命题、平行线、三角形内角和等核心知识，适配单元复习，强化推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|命题判断（1题）、平行线判定（4题）、假命题反例（5题）|基础概念辨析，如第5题通过反例深化命题理解| |填空题|6/18|真命题识别（11题）、命题改写（12题）、反证法假设（15题）|结合生活情境，如13题用直角曲尺解释平行判定| |解答题|8/72|三角形内角和证明（23题）、角平分线与高综合（24题）、反证法应用（19题）|分层设计，23题“绿色环保”情境体现数学与现实联系，24题从探究到拓展培养创新意识|

第1章 推理与证明（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 2．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 3．下列命题中，为假命题的是（   ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【详解】解：A、对顶角相等，原命题为真命题，不符合题意； B、同旁内角不一定互补，原命题为假命题，符合题意； C、等角的补角相等，原命题为真命题，不符合题意； D、三角形两边之和大于第三边，原命题为真命题，不符合题意； 4．如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， A、，， ∴，不能判定，故不符合题意； B、，， ∴，不能判定，故不符合题意； C、，不能判定，故不符合题意； D、∵，， ∴ ∴，故符合题意； 5．对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 6．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 7．如图，一副三角板两直角底边相互重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在△ABC中，， 在中，， ∴， 8．如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 9、在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 10．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【答案】①④ 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 其中是真命题的有①④； 故答案为：①④． 12．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， ∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 13．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14．已知，在△ABC中，，是边上的高，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 15．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 16．如图，在△ABC中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与△ABC的边垂直时，的度数是 ． 【答案】或或 【详解】解：当点在线段上且时，如图， 由折叠可知：， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，当与△ABC的边垂直时，的度数是或或． 故答案为：或或． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 18、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【答案】(1)如果，那么和互余；题设是，结论是和互余 (2)如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角 (3)如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等 【解析】（1）解：如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 19、用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是△ABC的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在△ABC中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 【答案】；；；； 【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是△ABC的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 20、如图，在△ABC中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵ BD是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 且， ∵ BD是的平分线， ， ． 21、如图,已知∠1=∠BDE,∠2+∠FED=180°. (1)求证:AD∥EF. (2)若EF⊥BF于点F,且∠FED=140°,求∠BAC的度数. 【答案】(1)见详解 (2)50° 【详解】(1)证明:因为∠1=∠BDE, 所以AC∥DE,所以∠2=∠ADE. 因为∠2+∠FED=180°, 所以∠ADE+∠DEF=180°, 所以AD∥EF. (2)解:因为EF⊥BF, 所以∠F=90°. 因为AD∥EF, 所以∠BAD=∠F=90°. 因为∠2+∠FED=180°,∠FED=140°, 所以∠2=40°, 所以∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50°. 22、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)相等，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）相等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23、【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 24、综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动. 【初步探究】 在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°.作∠BAC的平分线AD交BC于点D.在图①中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度数; 【迁移探究】 在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.如图②,在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,求出∠DFE的度数; 【拓展应用】 如图③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上,FE⊥BC于E,求出∠DFE与∠C,∠B之间的数量关系. ①　 ②　 ③ 【答案】 （1）14° （2）14° （3）∠DFE=(∠C-∠B) 【详解】解:【初步探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-70°=68°. 因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAC=×68°=34°. 因为AE⊥BC,所以∠AEC=90°. 因为∠C=70°,所以∠CAE=90°-70°=20°, 所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=34°-20°=14°. 【迁移探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-70°=68°. 因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAC=×68°=34°. 在△ADC中,∠C=70°,所以∠ADC=180°-70°-34°=76°. 因为FE⊥BC,所以∠FED=90°, 所以∠DFE=90°-∠ADC=90°-76°=14°. 【拓展应用】在△ABC中,∠BAC=180°-(∠B+∠C). 因为AD平分∠BAC, 所以∠CAD=∠BAC=90°-(∠B+∠C). 在△ADC中,∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-∠C-90°+(∠B+∠C) =90°+∠B-∠C. 因为FE⊥BC,所以∠FED=90°, 所以∠DFE=90°-∠ADC=90°-90°-∠B+∠C=(∠C-∠B). —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 推理与证明（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 2．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 3．下列命题中，为假命题的是（   ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．三角形两边之和大于第三边 4．如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 7．如图，一副三角板两直角底边相互重合，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9、在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 12．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 13．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 14．已知，在△ABC中，，是边上的高，若，则 ． 15．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 16．如图，在△ABC中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与△ABC的边垂直时，的度数是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 18、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 19、用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是△ABC的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在△ABC中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 20、如图，在△ABC中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 21、如图,已知∠1=∠BDE,∠2+∠FED=180°. (1)求证:AD∥EF. (2)若EF⊥BF于点F,且∠FED=140°,求∠BAC的度数. 22、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 23、【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 24、综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动. 【初步探究】 在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°.作∠BAC的平分线AD交BC于点D.在图①中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度数; 【迁移探究】 在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.如图②,在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,求出∠DFE的度数; 【拓展应用】 如图③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上,FE⊥BC于E,求出∠DFE与∠C,∠B之间的数量关系. ①　 ②　 ③ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $