专题01 推理与证明（专项训练）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 聚焦推理与证明核心素养，以“概念辨析-逻辑推理-几何应用”为逻辑主线，系统覆盖定义命题、证明依据、几何性质等中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与命题|4题型（含命题判断、题设结论改写等）|侧重概念辨析，结合实际情境考查命题定义与真假判断|从命题定义（基础）到真假判断（深化），构建逻辑起点| |证明|2题型（含证明依据填写、定理理解）|突出推理严谨性，训练逻辑依据表述与定理应用|承接命题概念，培养数学推理意识与规范表达| |几何证明举例|4题型（含逆命题、三角形外角等）|结合图形性质，强化几何直观与性质应用能力|实现从逻辑推理到几何实践的迁移，体现数学眼光与模型意识|

专题01 推理与证明 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 题型1判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假（重） 题型4举例说明假(真)命题（重） 考点二 证明 题型5已知证明过程填写理论依据（高频） 题型6定理与证明（高频） 考点三 几何证明举例 题型7写出命题的逆命题（重） 题型8三角形的外角的定义及性质（高频） 题型9直角三角形的两个锐角互余（高频） 题型10用反证法证明命题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 ◆题型1判断是否是命题 1．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 2．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 3．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． ◆题型2写出命题的题设与结论 4．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 5．命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【答案】 两个角是对顶角 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. 6．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 7．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 8．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． ◆题型3判断命题真假 9．下列命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．两直线平行，内错角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意； B、只有两直线平行时，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的前提，故本选项的命题是假命题，不符合题意； C、根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，不是互补，故本选项的命题是假命题，不符合题意； D、只有过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，不存在这样的平行线，命题表述错误，是假命题，本选项不符合题意． 10．有以下命题：①对顶角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③内错角相等．其中是真命题的是（     ） A．①② B．② C．③ D．②③ 【答案】A 【详解】解：∵对顶角相等，符合对顶角的性质，∴①是真命题； ∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴②是真命题； ∵只有两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少前提条件，∴③是假命题； 综上，真命题为①②． 11．下列命题中，真命题的个数是（     ） （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （4）同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，原命题缺少“长度”描述，是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该命题是真命题； （4）只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，是假命题； 综上所述，真命题共有2个． 12．下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 【答案】B 【详解】A、 互余的两个角和为，既可以是和（不相等），也可以是和（相等），因此互余的两个角不一定相等，是真命题，不符合题意； B、 只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题未给出两直线平行的前提，内错角不一定相等，是假命题，符合题意； C 、两点之间，线段最短是几何基本事实，是真命题，不符合题意； D 、对顶角相等是定理，是真命题，不符合题意． ◆题型4举例说明假(真)命题 13．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 14．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【详解】略 15．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 16．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 考点二 证明 ◆题型5已知证明过程填写理论依据 17．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 18．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 19．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． ◆题型6定理与证明 20．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 21．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 22．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 23．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 考点三 几何证明举例 ◆题型7写出命题的逆命题 24．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 25．请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 26．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 27．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 28．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”． ◆题型8三角形的外角的定义及性质 29．如图，已知，，，，则的度数为________． 【答案】50°/50度 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 30．如图，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 31．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 32．如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余 33．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 34．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 35．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵, ∴， 又∵， ∴， ∴． 36．一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角板可知：，，， ， ． ◆题型10用反证法证明命题 37．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（     ） A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角 C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角 【答案】A 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设结论不成立． ∵“至少有两个锐角”表示三角形中锐角的个数大于或等于2，它的否定是锐角的个数小于2，即最多有一个锐角． ∴应假设这个三角形中最多有一个锐角． 38．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 39．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 40．用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【详解】略 41．在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【答案】B 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 2．举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：选项A：，和为钝角，不符合要求； 选项B：，，均为锐角，，和为锐角，不是钝角，满足反例要求； 选项C：，和为钝角，不符合要求； 选项D：是直角，不是锐角，不满足“两个锐角”的前提，不符合要求； 选B． 3．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 4．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：，，．其中得出的依据是（     ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【详解】解：∵是的补角，是的补角，即，， （同角的补角相等）， 则依据是同角的补角相等． 5．一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 二、填空题 6．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 7．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 8．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 9．写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【答案】如果或，那么 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 10．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 三、解答题 11．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 12．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【答案】证明过程见解析 【详解】证明：假设三角形三个内角都大于，则，，， ，与三角形内角和为矛盾，故假设不成立，原命题成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 推理与证明 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 题型1判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假（重） 题型4举例说明假(真)命题（重） 考点二 证明 题型5已知证明过程填写理论依据（高频） 题型6定理与证明（高频） 考点三 几何证明举例 题型7写出命题的逆命题（重） 题型8三角形的外角的定义及性质（高频） 题型9直角三角形的两个锐角互余（高频） 题型10用反证法证明命题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 ◆题型1判断是否是命题 1．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 2．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 3．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 ◆题型2写出命题的题设与结论 4．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 5．命题“对顶角相等”的题设是：___________． 6．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 7．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 8．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． ◆题型3判断命题真假 9．下列命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．两直线平行，内错角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10．有以下命题：①对顶角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③内错角相等．其中是真命题的是（     ） A．①② B．② C．③ D．②③ 11．下列命题中，真命题的个数是（     ） （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （4）同旁内角互补 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 ◆题型4举例说明假(真)命题 13．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 14．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 15．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 16．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 考点二 证明 ◆题型5已知证明过程填写理论依据 17．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 18．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 19．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． ◆题型6定理与证明 20．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 22．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 23．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 考点三 几何证明举例 ◆题型7写出命题的逆命题 24．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 25．请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 26．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 27．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 28．请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． ◆题型8三角形的外角的定义及性质 29．如图，已知，，，，则的度数为________． 30．如图，，则__________． 31．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余33．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 34．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 35．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 36．一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． ◆题型10用反证法证明命题 37．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（     ） A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角 C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角 38．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 39．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 40．用反证法证明命题：“若，且，则”． 41．在中，，，求证：．（用反证法证明） 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 2．举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 4．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：，，．其中得出的依据是（     ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 5．一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 7．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 8．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 9．写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 10．如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 三、解答题 11．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 12．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 推理与证明 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 题型1判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假（重） 题型4举例说明假(真)命题（重） 考点二 证明 题型5已知证明过程填写理论依据（高频） 题型6定理与证明（高频） 考点三 几何证明举例 题型7写出命题的逆命题（重） 题型8三角形的外角的定义及性质（高频） 题型9直角三角形的两个锐角互余（高频） 题型10用反证法证明命题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 定义与命题 ◆题型1判断是否是命题 1．【答案】A 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 2．【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 3．【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． ◆题型2写出命题的题设与结论 4．【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 5．【答案】 两个角是对顶角 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. 6．【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 7．【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 8．【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． ◆题型3判断命题真假 9．【答案】A 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意； B、只有两直线平行时，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的前提，故本选项的命题是假命题，不符合题意； C、根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，不是互补，故本选项的命题是假命题，不符合题意； D、只有过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，不存在这样的平行线，命题表述错误，是假命题，本选项不符合题意． 10．【答案】A 【详解】解：∵对顶角相等，符合对顶角的性质，∴①是真命题； ∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴②是真命题； ∵只有两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少前提条件，∴③是假命题； 综上，真命题为①②． 11．【答案】B 【详解】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题； （2）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，原命题缺少“长度”描述，是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该命题是真命题； （4）只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，是假命题； 综上所述，真命题共有2个． 12．【答案】B 【详解】A、 互余的两个角和为，既可以是和（不相等），也可以是和（相等），因此互余的两个角不一定相等，是真命题，不符合题意； B、 只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题未给出两直线平行的前提，内错角不一定相等，是假命题，符合题意； C 、两点之间，线段最短是几何基本事实，是真命题，不符合题意； D 、对顶角相等是定理，是真命题，不符合题意． ◆题型4举例说明假(真)命题 13．【答案】D 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 14．【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【详解】略 15．【答案】A 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 16．【答案】A 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 考点二 证明 ◆题型5已知证明过程填写理论依据 17．【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 18．【答案】答案见详解； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 19．【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． ◆题型6定理与证明 20．【答案】B 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 21．【答案】C 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 22．【答案】C 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 23．【答案】D 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 考点三 几何证明举例 ◆题型7写出命题的逆命题 24．【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 25．【答案】 若，则 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 26．【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 27．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 28．【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”． ◆题型8三角形的外角的定义及性质 29．【答案】50°/50度 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 30．【答案】 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 31．【答案】D 【详解】解：． 32．【答案】C 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余 33．【答案】C 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 34．【答案】B 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 35．【答案】A 【详解】解：∵, ∴， 又∵， ∴， ∴． 36．【答案】D 【详解】由三角板可知：，，， ， ． ◆题型10用反证法证明命题 37．【答案】A 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设结论不成立． ∵“至少有两个锐角”表示三角形中锐角的个数大于或等于2，它的否定是锐角的个数小于2，即最多有一个锐角． ∴应假设这个三角形中最多有一个锐角． 38．【答案】B 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 39．【答案】①④②③ 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 40．【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【详解】略 41．【答案】见解析． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 一、填空题 6．如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 7．真 8．C，A，D，B 9．如果或，那么 10．/度 11．(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 12．证明过程见解析 【详解】证明：假设三角形三个内角都大于，则，，， ，与三角形内角和为矛盾，故假设不成立，原命题成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $