第5章 勾股定理与实数 单元测试 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理与实数，通过文化情境（如《九章算术》问题）、分层设问（基础到综合实践）及跨知识整合，适配初中数学单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、平方根、无理数识别|基础概念辨析，如第2题考查算术平方根定义| |填空题|6/18|立方根、方程应用、数轴与实数|文化情境应用，如第13题《九章算术》木棒问题| |解答题|8/72|分类讨论（等腰三角形）、阅读理解（面积关系）、综合实践（管道方案）|分层探究，如22题从正方形到半圆面积关系迁移，24题结合实际比较管道费用|

第5章 勾股定理与实数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； C. ∵，∴能构成直角三角形，故选项正确； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； 2、下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【答案】B 【详解】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 3、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 4、在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”），这些数中，无理数的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：， 则，，，，，都是有理数， ，（两个“”之间依次多一个“”），是无理数，共个． 5、的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是2， 6、已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， 7、实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 8、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为尺， 由题意得：， 9、若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 10、如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、-27的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 -3 4 【详解】解：-27的立方根是-3；的算术平方根是4；的平方根是， 故答案为：-3；4；． 12、若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 13、《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．则木棒长 ． 【答案】50.5尺 【详解】解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 故答案为：尺． 14、已知，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ，， ， 故答案为：． 15、如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【详解】解：∵，点，表示的数分别为和1， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 16、如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：在中，，，， ∴AB2=AC2+BC2=25， ∴AB=5 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数分别填入相应的集合里． ，21.3，，，0，，，，，，， 1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）． (1)无理数集合：{             …}； (2)负分数集合：{              …}； (3)整数集合：{              …}； (4)非负数集合：{              …}． 【答案】见详解 【详解】 （1）解：无理数集合：{，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）， …} 故答案为：，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） （2）解：负分数集合：{，，…}； 故答案为：， （3）解：整数集合：{，，，，…}； 故答案为：，，， （4）解：非负数集合：{，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1，…}． 故答案为：，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1） 18、求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：或． 19、已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 20、如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 21、如图，在△ABC中，，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC、AB于点E、D． (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴△ABC是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 22、阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2025年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为： 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 即 又，， ， 23、阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 24、综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 勾股定理与实数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2、下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 3、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4、在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”），这些数中，无理数的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 5、的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 6、已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7、实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 8、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 9、若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 10、如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、-27的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 12、若的平方根是它本身，则的值是 ． 13、《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．则木棒长 ． 14、已知，则 ． 15、如图，在数轴上，点，表示的数分别为和1，，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则数轴上点表示的实数是 ． 16、如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数分别填入相应的集合里． ，21.3，，，0，，，，，，， 1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数逐渐增加1）． (1)无理数集合：{             …}； (2)负分数集合：{              …}； (3)整数集合：{              …}； (4)非负数集合：{              …}． 18、求下列各式中的值： (1) (2) 19、已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 20、如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 21、如图，在△ABC中，，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC、AB于点E、D． (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求的长． 22、阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2025年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 23、阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 24、综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $