精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年下学期第二次月考高二数学

高坪中学高2024级高二下学期第二次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. （ ） A. 17 B. 22 C. 27 D. 34 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 4. 用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. 96 B. 72 C. 120 D. 24 5. 已知函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等．则展开式中含的系数为（ ） A. 480 B. C. 960 D. 7. 已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 10. 某批水稻种子有10%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过20% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于10% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于40% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于2% 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. ，，都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用4种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是________． 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在乙手中的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 16. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； （2）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． 17. 为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． （1）6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； （2）将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； （3）班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 18. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）令，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学高2024级高二下学期第二次月考 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求． 1. （ ） A. 17 B. 22 C. 27 D. 34 【答案】B 【解析】 【详解】易知，； 所以可得. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数，则， 所以. 4. 用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. 96 B. 72 C. 120 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先考虑四位数的最高位不是0，然后依次考虑其他位数的情况，利用乘法原理计算即可. 【详解】首先考虑四位数的最高位不是0， 故最高位有4种选法（从1到4四个数字中任选一个数字）， 百位有4种选法，十位有3种选法，个位有2种选法. 由乘法原理，用数字组成没有重复数字的四位数的个数为个. 5. 已知函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数解析式化为，转化为分析的最值，换元后使用导数求解. 【详解】， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 6. 已知二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等．则展开式中含的系数为（ ） A. 480 B. C. 960 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式计算指定项的系数即可. 【详解】由二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， 则，解得：，即二项式为， 又二项展开式的通项公式为：， 令，则展开式中含的系数为：. 7. 已知数列为等比数列，，公比.若是的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，根据等差数列求和公式即可求得，利用二次函数取最值即可. 【详解】根据题意，， 则， 又，所以或时，取得最大值. 故选：A. 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的极值点得到，令，则，进而得到；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】求导得. 由题意知，即，即，两式相除得. 设，则，因为，所以. 所以，即，两边取对数得，则， 所以，. 令，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增. 当时，；当时，， 所以当时，，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于， 令，可得，故A正确； 令，可得①，则，故B错误； 令，可得②， 由①+②，得，即，故D正确； 因的第2项为，即， 第9项为，即，所以，故C正确. 10. 某批水稻种子有10%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过20% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于10% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于40% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于2% 【答案】BC 【解析】 【分析】分析四种情况：变异种中长不大的占比，变异种中能长大的占比，正常种子中长不大的占比，正常种子中能长大的占比，再分析各个选项求解. 【详解】变异种中长不大的占比：， 变异种中能长大的占比：， 正常种子中长不大的占比：， 正常种子中能长大的占比：， 这批水稻长不大的占比：，选项A错误； 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率是，选项B正确； 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率即变异种长不大的数量占长不大的种子总数量的比例： ，选项C正确； 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率即变异种能长大的数量占能长大的种子总数量的比例： ，选项D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. ，，都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据零点的概念求解即可；对于B，求出导函数的取值范围，结合极值点的定义判断即可；对于C，由恒成立及函数的单调性得到，即，结合不等式求解即可；对于D，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对于A，当，时，， 由得或，解得， 故函数仅有一个零点，A正确. 对于B，， 当时，；当时，， 所以在上一定有变号零点，所以一定存在极值点，B正确. 对于C，由得与同号. 令，解得；令，解得. 因为与均单调递增，所以，即. 所以，当且仅当时，等号成立，C错误. 对于D，当时，，， 若在上单调递增，则在上恒成立， 所以. 因为在上单调递增， 所以，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用4种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是________． 【答案】 72 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步，种植区域，有种不同的花卉可选； 第二步，种植区域，由于区域与区域相邻， 故区域不能选与区域相同的花卉，有种选法； 第三步，种植区域，由于区域与区域、区域均相邻，且区域与区域的花卉不同， 故区域有种选法； 第四步，种植区域，由于区域只与区域相邻， 故区域只要不与区域相同即可，有种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的种植方法种数为. 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求函数导数，根据存在递减区间知导数有解，可转化为有解，即可求解. 【详解】由， ，即， 当时，，当时取等号，故， 当时，，递增，不成立， 所以． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数的导数，利用导数研究函数的单调区间，均值不等式，属于中档题. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在乙手中的概率为________． 【答案】##0.34375 【解析】 【分析】设次传球后球在甲、乙、丙手中的概率分别为，根据题意求出数列的递推公式，即可求得的值，最后利用传球对称性即可求出5次传球后球在乙手中的概率. 【详解】设次传球后球在甲、乙、丙手中的概率分别为， 由传球对称性可知乙、丙得球概率始终相等即，且， 所以， 当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则， 即， 所以，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以， 所以5次传球后球在甲手中的概率为， 所以5次传球后球在乙手中的概率为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 时满足上式，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 16. 已知函数． （1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； （2）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程求解； （2）函数存在两个极值点等价于导函数对应的二次方程有两个不同的正实根，结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 因为函数在处的切线垂直于轴， 所以， 解得. 【小问2详解】 令，因为， 所以，即， 因为函数存在两个极值点， 所以，解得或， 又，所以 所以实数的取值范围为， 经检验，当时满足题意，故实数的取值范围为. 17. 为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． （1）6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； （2）将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； （3）班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 【答案】（1） 72 （2） 1560 （3） 21 【解析】 【分析】 （1）相邻排列问题采用捆绑法，先对同奖项捆绑后的整体全排列，再计算各整体内部排列数，相乘得结果； （2）先将6人按人数分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分堆，平均分组需去重，再将分好的组分配到4个不同活动，分类求和得结果； （3）相同元素分配问题采用隔板法，先给每人分配满足最低要求的部分粽子，再对剩余粽子用隔板法分配得结果. 【小问1详解】 利用捆绑法求解：第一步，将同一奖项的学生分别捆绑为1个整体，共得到3个整体，对3个整体全排列，排列数为； 第二步，计算各整体内部的排列数：一等奖共1人，内部排列数为； 二等奖共2人，内部排列数为； 三等奖共3人，内部排列数为； 根据分步乘法计数原理，总站法数为. 【小问2详解】 6人分配到4个不同活动，每个活动至少1人，人数分堆分为两类： 第一类：分堆为3,1,1,1：从6人中选3人作为1组，剩余3人各为1组，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 第二类：分堆为2,2,1,1： 从6人中选2人、再从剩余4人中选2人，剩余2人各为1组， 由于两个2人组、两个1人组为平均分组，需除以重复的排列数去重，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 根据分类加法计数原理，总分配方法数为. 【小问3详解】 粽子完全相同，采用隔板法求解：6名同学中，1名一等奖同学至少分3个，2名二等奖同学每人至少分2个，3名三等奖同学每人至少分1个. 先给每人分配最低要求减1的粽子：一等奖先分2个，每名二等奖先分1个，每名三等奖先分0个，共分配个，剩余粽子数为个； 问题转化为将8个相同粽子分给6名同学，每人至少1个，根据隔板法公式，方法数为. 18. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】（1） 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. （2） 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【小问1详解】 因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）令，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）由（2）知，当时，，即对任意恒成立， 令，则， 又由， 因为，可得， 令，可得数列构成首项为，公比的等比数列， 可得，所以， 又因为在上为单调递增函数，可得， 所以对于任意，总有成立. 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，得出函数的单调性，结合极值的定义，即可求解； （2）根据题意，转化为对任意恒成立，令，求得，得出的单调性和最大值，结合，即可求解； （3）由（2）知，得到对任意恒成立，令，得到，进而得到，结合等比数列的求和公式和对数函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 且， 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，可得，所以对任意恒成立， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，且， 因为对任意恒成立， 可得，即，所以实数 的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $