四川2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟提升卷（1）

**基本信息** 四川高二（上）数学开学模拟卷，涵盖集合、函数、复数等模块，通过分层题型（单选8/多选3/填空3/解答5）考查数学抽象、逻辑推理及数据分析，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|集合运算、基本不等式、复数方程、统计图表|第5题结合商场平台销售数据，考查分层抽样应用，体现数据观念| |多选|3题|复数性质、互斥对立事件、向量线性表示|第10题辨析概率事件关系，强化逻辑推理能力| |填空|3题|极差计算、正方体体积、古典概型|第13题正方体容器水面问题，融合空间想象与应用意识| |解答|5题|三角恒等变换、函数零点证明、立体几何、统计|19题以理财调查为情境，通过频率分布直方图考查数据分析，落实数学语言表达现实世界|

四川高二（上）数学开学考试模拟卷 提升卷（1） 一、单项选择题 1.已知集合A={x|-2<x<2},B={x|y=ln x},则A∩B=(　　) A.(0,2) B.(-2,0) C.(-2,+∞) D.(-∞,2) 2.已知x>0,y>0,且x+y=2,则xy的最大值为(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 3.已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n=(　　) A.-13 B.-1 C.19 D.31 4.记样本x1,x2,…,xm的平均数为,样本y1,y2,…,yn的平均数为).若样本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均数为,则的值为(　　) A.3 B.4 C. D. 5.某商场开通三种平台销售商品,收集一月内的数据如图1;为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,该商场用分层随机抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查,得到的数据如图2.下列说法错误的是(　　) 图1 图2 A.样本容量为240 B.若样本中对平台三满意的人数为40,则m=40% C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300 D.样本中对平台一满意的人数为24 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),若m∥n,则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 7.已知向量a,b不共线,c=3a-tb,d=-2ta+6b,若c与d同向,则实数t的值为(　　) A.-3 B.-1 C.3 D.-3或3 8.如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.设z为复数(i为虚数单位),下列结论正确的是(　　) A.对任意复数z1,z2,有|z1z2|=|z1|·|z2| B.对任意复数z1,z2,若|z1-z2|=|z1+z2|,则z1·z2=0 C.设z∈C,若(3+4i)z=|3-4i|,则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D.设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合所构成区域的面积为2π 10.下列说法中正确的有(　　) A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0 B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1 C.某人打靶连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 11.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　) A.-6 B.1 C.5 D.9 三、填空题 12.已知数据12,14,18,23,27,32,b(b>32)的极差和平均数相等,则实数b的值为　　　　　. 13.如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是　　　　　. 14.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　　. 四、解答题 15.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. 16.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2B.求证: (1)a>0且-3<<-; (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 17.如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点O是BD的中点． (1)求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC； (2)求二面角C1 ­ BD ­ C的正切值． 18.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次． (1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率； (2)请你估计袋中红球的个数． 19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，把所有的钱都用来储蓄并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将受调查人员按年龄分成5组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]，并整理得到频率分布直方图(如图). (1)求图中的a值； (2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？ (3)由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄． 高二（上）数学开学考试模拟卷 提升卷（1） （答案） 一、单项选择题 1.已知集合A={x|-2<x<2},B={x|y=ln x},则A∩B=(　　) A.(0,2) B.(-2,0) C.(-2,+∞) D.(-∞,2) 解析：A　B={x|y=ln x}={x|x>0},则A∩B={x|0<x<2}.故选A. 2.已知x>0,y>0,且x+y=2,则xy的最大值为(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：B　因为x>0,y>0,则由基本不等式可得x+y≥2,所以有xy=1,当且仅当x=y=1时等号成立.故选B. 3.已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n=(　　) A.-13 B.-1 C.19 D.31 解析：C　由复数3+4i是方程x2+mx+n=0的根,得(3+4i)2+m(3+4i)+n=0,即(-7+3m+n)+(24+4m)i=0,而m,n∈R,则解得 所以m+n=19.故选C. 4.记样本x1,x2,…,xm的平均数为,样本y1,y2,…,yn的平均数为).若样本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均数为,则的值为(　　) A.3 B.4 C. D. 解析：D　由题意知x1+x2+…+xm=m,y1+y2+…+yn=n, 所以, 可得3m=n,所以 5.某商场开通三种平台销售商品,收集一月内的数据如图1;为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,该商场用分层随机抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查,得到的数据如图2.下列说法错误的是(　　) 图1 图2 A.样本容量为240 B.若样本中对平台三满意的人数为40,则m=40% C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300 D.样本中对平台一满意的人数为24 解析：选项A,样本容量为6 000×4%=240,该选项正确;选项B,根据题意得平台三的满意率为=40%,m=40,不是m=40%,该选项错误;选项C,样本可以估计总体,但会有一定的误差,总体中对平台二满意的人数约为1 500×20%=300,该选项正确;选项D,总体中对平台一满意的人数约为2 000×4%×30%=24,该选项正确.故选B. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),若m∥n,则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 解析：因为向量m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),且m∥n,所以acos B=(2c-b)cos A,由正弦定理可得sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,即sin(A+B)=2sin Ccos A,即sin C=2sin Ccos A,又因为C∈(0,π),sin C≠0,故cos A=,由A∈(0,π),解得A=故选C. 7.已知向量a,b不共线,c=3a-tb,d=-2ta+6b,若c与d同向,则实数t的值为(　　) A.-3 B.-1 C.3 D.-3或3 解析：A　由向量c=3a-tb与d=-2ta+6b同向,得3a-tb=λ(-2ta+6b),λ>0,即3a-tb=-2tλa+6λb,而向量a,b不共线,则又因为λ>0,解得所以实数t的值为-3.故选A. 8.如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 解析：A　设圆锥的顶点为O,可作出圆锥侧面展开图如下图所示, 因为小虫爬行的最短路程为4,则PP'=4,又OP=OP'=4,所以cos∠POP'==-,则∠POP'=, 设圆锥底面半径为r,高为h,则2πr=4,解得r=,则h=,所以圆锥体积V=r2h=故选A. 二、多项选择题 9.设z为复数(i为虚数单位),下列结论正确的是(　　) A.对任意复数z1,z2,有|z1z2|=|z1|·|z2| B.对任意复数z1,z2,若|z1-z2|=|z1+z2|,则z1·z2=0 C.设z∈C,若(3+4i)z=|3-4i|,则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D.设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合所构成区域的面积为2π 解析：对于A,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|=|ac-bd+(ad+bc)i|== , |z1|·|z2|= = =, 故|z1z2|=|z1|·|z2|,故A正确;对于B,令z1=3,z2=4i,则z1-z2=3-4i,z1+z2=3+4i,所以|z1-z2|==5,|z1+z2|==5,满足|z1-z2|=|z1+z2|,但是z1·z2=12i≠0,故B错误;对于C,因为|3-4i|==5,所以(3+4i)z=|3-4i|=5,则z=,所以i,所以复数在复平面内对应的点为(),位于第一象限,故C正确;对于D,设z=x+yi(x,y∈R),因为1≤|z|≤2,所以12,则1≤x2+y2≤4,表示以(0,0)为圆心,大圆的半径R=2,小圆的半径r=1的圆环(不包含小圆上的点),所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合所构成区域的面积为πR2-πr2=π×22-π×12=3π,故D错误.故选AC. 10.下列说法中正确的有(　　) A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0 B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1 C.某人打靶连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 解析：事件A与事件B互斥,则A,B不可能同时发生,所以P(AB)=0,故A正确;事件A与事件B是对立事件,则事件B即为事件,所以P(A+B)=1,故B正确;事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生,且二者必有一个发生,所以为对立事件,故C正确;事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生,即“丙分得的是红牌”,所以不是互斥事件,故D错误. 11.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　) A.-6 B.1 C.5 D.9 解析：　设=a,=b,求x+y的范围,只需考虑图中6个向量的情况即可,讨论如下:①若P在A点,=a,∴x+y=1+0=1;②若P在B点,=b,∴x+y=0+1=1;③若P在C点,=a+2b,∴x+y=1+2=3;④若P在D点,=a+b+(a+2b)=2a+3b,∴x+y=2+3=5;⑤若P在E点,=a+b,∴x+y=1+1=2;⑥若P在F点,=a+3b,∴x+y=1+3=4.∴x+y的最大值为5.根据对称性,可知x+y的最小值为-5.故选BC. 三、填空题 12.已知数据12,14,18,23,27,32,b(b>32)的极差和平均数相等,则实数b的值为　　　　　. 解析：35　依题意可得极差为b-12,平均数为,所以=b-12,解得b=35. 13.如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是　　　　　. 解析：. ()　将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则如图,水最少的临界情况为,水面为面A1BD,水最多的临界情况为多面体ABCDA1B1D1,水面为BC1D1, 因为1×1×1==1-1×1×1=, 所以<V<,即V∈(). 14.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　　. 解析：　从8张卡片中随机抽出3张,则样本空间中样本点的个数为=56.因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等,则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3种,所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点的个数为3,所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 四、解答题 15.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. 解 (1)因为α,,所以-<α-β<又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0,且sin(α-β)=-cos(α-β),又sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,解得cos(α-β)=,sin(α-β)=- (2)由(1)可得,cos(α-β)=, 因为α为锐角,且sin α=,所以cos α=所以cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= 16.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2B.求证: (1)a>0且-3<<-; (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 证明 (1)∵f(1)=a+b+c=-,∴c=-a-b.∵3a>2c=-3a-2b,∴3a>-b.∵2c>2b,∴-3a>4b. 若a>0,则-3<<-;若a=0,则0>-b,0>b,不成立;若a<0,则<-3,>-,不成立. 综上,a>0且-3<<- (2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=-,Δ=b2-4ac=b2+4ab+6a2=(b+2a)2+2a2>0. 当c>0时,f(0)>0,f(1)<0, ∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点; 当c=0时,f(0)=0,f(1)=a+b=-<0,f(2)=4a+2b=a>0, ∴f(x)在(0,2)内有一个零点; 当c<0时,f(0)<0,f(1)<0,b=-a-c,f(2)=4a-3a-2c+c=a-c>0,∴f(x)在(0,2)内有一个零点. 综上,f(x)在(0,2)内至少有一个零点. 17.如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点O是BD的中点． (1)求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC； (2)求二面角C1 ­ BD ­ C的正切值． 解：(1)证明：∵在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点O是BD的中点，又BC1＝DC1，BC＝DC， ∴ C1O⊥BD，CO⊥BD, ∵C1O∩CO＝O，C1O⊂平面C1OC，CO⊂平面C1OC，∴BD⊥平面C1OC， 又∵BD⊂平面BDD1B1， ∴平面BDD1B1⊥平面C1OC. (2)由(1)知， ∠C1OC是二面角C1 ­ BD ­ C的平面角， ∵在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中， C1C＝1，OC＝， ∴在Rt△C1OC中，tan ∠C1OC＝＝ . ∴二面角C1 ­ BD ­ C的正切值为. 18.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次． (1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率； (2)请你估计袋中红球的个数． 解：(1)因为20×400＝8 000， 所以摸到红球的频率为＝0.75， 因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75. (2)设袋中红球有x个，根据题意得 ＝0.75，解得x＝15， 经检验x＝15是原方程的解． 所以估计袋中红球有15个． 19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，把所有的钱都用来储蓄并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将受调查人员按年龄分成5组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]，并整理得到频率分布直方图(如图). (1)求图中的a值； (2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？ (3)由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄． 解：(1)由频率分布直方图的性质可得(0.040＋2a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020. (2)第二组、第三组、第四组的频率比为1∶2∶1，因为共抽取8人， 所以三个组依次抽取的人数为2，4，2. (3)根据频率分布直方图的性质， 每组的中间值乘以对应的频率再相加， 得到总体的平均值为 25×0.05＋35×0.2＋45×0.4＋55×0.2＋65×0.15＝47， ∴所有被调查人员的平均年龄为47岁． 学科网（北京）股份有限公司 $