四川2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟基础卷（1）

**基本信息** 聚焦高一核心知识，融合勒洛三角形等数学文化与频率分布直方图等实际应用，梯度设计适配开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数模、圆锥母线长、分层抽样、向量基底判断等|第8题以勒洛三角形为背景考查向量运算，体现几何直观| |多选题|3题|零向量、频率分布直方图、正方体线面关系|第10题结合学生支出调查，强化数据意识与统计应用| |填空题|3题|向量表示、复数虚部、平面向量分解|第14题通过平面四边形情境，考查向量线性运算| |解答题|6题|立体几何证明、概率计算、三角函数、解三角形|第19题立体几何综合题，融合平行证明、线线角及线面垂直判断，突出逻辑推理与空间想象|

高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（1） 一、单选题 1.=(　　) A. B. C. D. 2.|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 3.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 4.用分层随机抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研,则女居民比男居民多选取(　　) A.8人 B.6人 C.4人 D.2人 5.已知正方形ABCD的边长为2,则||=(　　) A. B.2 C.4 D.6 6.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是(　　) A.a=2e1+e2,b=e1+e2 B.a=4e1-2e2,b=e2-2e1 C.a=3e1+3e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1+4e2 7.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 8.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形;在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=4,P为弧AC(含端点)上的一点,则·()的取值范围为(　　) A.[0,8] B.[1,8] C.[0,4] D.[0,9] 二、多选题 9.下列各式中结果为零向量的是(　　) A. B. C. D. 10.某学校为调查学生在一周生活方面的支出情况,抽取了一个样本量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60]元的学生有60人,则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03 B.样本中支出不少于40元的人数为132 C.n的值为200 D.若该校有2 000名学生,则一定有600人的支出在[50,60]元 11.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,则(　　) A.AC1⊥CD1 B.平面BDE∥平面B1CD1 C.平面BDE⊥平面ACC1A1 D.平面B1CD1截该正方体外接球的截面面积为24π 三、填空题 12.如图,四边形ABCD是平行四边形,设向量a=,b=,用向量a,b表示向量=　　　　. 13.已知复数z=-i(i为虚数单位),则的虚部为　　　. 14.如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,点E在线段BC上满足,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=　　　　. 四、解答题 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)平面BEF⊥平面PCD. 16.一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到绿球的概率; (2)如果是n个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少? 17.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在上的最大值为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g,求sin 2α的值. 18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=,b=2,∠A=120°. (1)求sin B的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C)的值. 19.如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=. (1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE. (2)求直线PB与直线CD所成角的大小. (3)设平面PAD∩平面EBC=l,试判断l与平面ABCD能否垂直?并证明你的结论. 高二（上）数学开学考试模拟卷 基础卷（1） （答案） 一、单选题 1.=(　　) A. B. C. D. 解析：,故选B. 2.|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 解析：由题意|2-4i|==2故选C. 3.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 解析： 图① 图② 设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2. 由条件得,2πr1=2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2 故选B 4.用分层随机抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研,则女居民比男居民多选取(　　) A.8人 B.6人 C.4人 D.2人 解析：由题可知男女居民共有500+700=1 200人,则男居民选取12=5人,女居民选取12-5=7人,则女居民比男居民多选取2人. 5.已知正方形ABCD的边长为2,则||=(　　) A. B.2 C.4 D.6 解析：||=2||=2=4故选C. 6.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是(　　) A.a=2e1+e2,b=e1+e2 B.a=4e1-2e2,b=e2-2e1 C.a=3e1+3e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1+4e2 解析：A选项,因为a=4b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,A错误;B选项,因为a=-2b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,B错误;C选项,因为a=3b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,C错误;D选项,设a=mb,则e1-2e2=2me1+4me2,则无解,故a,b不共线,则a=e1-2e2,b=2e1+4e2可以作为基底,D正确.故选D. 7.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 解析：因为随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,所以P()=1-P(A)=1-0.5=0.5. 8.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形;在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=4,P为弧AC(含端点)上的一点,则·()的取值范围为(　　) A.[0,8] B.[1,8] C.[0,4] D.[0,9] 解析：取BC中点为O,连接PO,显然||∈[2,2], 所以()==()·()=()·()=-4∈[0,8].故选A. 二、多选题 9.下列各式中结果为零向量的是(　　) A. B. C. D. 解析：,A不正确;=0,B正确;,C不正确;=()-()==0,D正确. 10.某学校为调查学生在一周生活方面的支出情况,抽取了一个样本量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60]元的学生有60人,则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03 B.样本中支出不少于40元的人数为132 C.n的值为200 D.若该校有2 000名学生,则一定有600人的支出在[50,60]元 解析：在A中,样本中支出在[50,60]元的频率为1-(0.010+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;在C中,n==200,故n的值为200,故C正确;在B中,样本中支出不少于40元的人数为200×(0.030+0.036)×10=132,故B正确;在D中,若该校有2 000名学生,则可能有600人的支出在[50,60]元,故D错误. 11.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,则(　　) A.AC1⊥CD1 B.平面BDE∥平面B1CD1 C.平面BDE⊥平面ACC1A1 D.平面B1CD1截该正方体外接球的截面面积为24π 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,且AA1⊥平面A1B1C1D1, 又因为B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,因为AA1∩A1C1=A1,且AA1,A1C1⊂平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,因为AC1⊂平面ACC1A1,所以AC1⊥B1D1,同理可得B1C⊥BC1(正方形对角线垂直),B1C⊥AB(由AB⊥平面B1C1CB可得),又因为BC1∩AB=B,BC1,AB⊂平面ABC1,所以B1C⊥平面ABC1,又因为AC1⊂平面ABC1,所以AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,且B1D1,B1C⊂平面B1CD1,所以AC1⊥平面B1CD1,又因为CD1⊂平面B1CD1,所以AC1⊥CD1,故A正确; 因为BD∥B1D1,所以BD⊥平面ACC1A1,又因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ACC1A1,故C正确; 由A知AC1⊥平面B1CD1,AC1⊥CD1,若平面BDE∥平面B1CD1,则AC1⊥平面BDE,AC1⊥BE, 取DD1的中点F,连接CF,因为点E为棱AA1的中点,所以CF∥BE,又因为CD1∩CF=C,所以AC1不垂直CF,所以AC1不垂直BE,矛盾,所以平面BDE,平面B1CD1不平行,故B错误; 因为平面B1CD1三个点都是正方体ABCD-A1B1C1D1上的点,所以平面B1CD1截该正方体外接球的截面即为等边△B1CD1的外接圆,等边△B1CD1的边长为6,设△B1CD1的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得=2r,即r=2,所以截面面积为πr2=π×(2)2=24π,故D正确. 三、填空题 12.如图,四边形ABCD是平行四边形,设向量a=,b=,用向量a,b表示向量=　　　　. 解析：(a-b)　设AC与BD的交点为O点,则=--(-)=(a-b). 故答案为(a-b). 13.已知复数z=-i(i为虚数单位),则的虚部为　　　. 解析：　z=-i=-i=i,所以i,则的虚部为 14.如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,点E在线段BC上满足,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=　　　　. 解析：　以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=BC=2, 则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,),AC=2, AD=ACtan 30°=,过点D作DF⊥x轴于点F,∠DAF=45°,DF=sin 45°=, 所以D(-),=(2,2),=(-),=(2,), 因为=+, 所以(2,2)=λ(-)+μ(2,),所以 解得则λμ的值为 四、解答题 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)平面BEF⊥平面PCD. 证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD中点, ∴AB∥DE,AB=DE,则四边形ABED为平行四边形. ∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形,∴BE⊥CD,AD⊥CD. ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD. 又PA,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. ∵PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD. ∵E和F分别是CD和PC的中点, ∴PD∥EF,∴CD⊥EF. 又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,∴CD⊥平面BEF. ∵CD⊂平面PCD, ∴平面BEF⊥平面PCD. 16.一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到绿球的概率; (2)如果是n个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么n是多少? 解 (1)从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90种,即n(Ω)=90,设事件A=“两次取出的都是红球”,则n(A)=4×3=12,设事件B=“第一次取出红球,第二次取出绿球”,则n(B)=6×4=24,设事件C=“第一次取出绿球,第二次取出红球”,则n(C)=6×4=24,设事件D=“两次取出的都是绿球”,则n(D)=6×5=30,且事件A,B,C,D两两互斥.∴第二次取到绿球的概率为P(B∪D)= (2)由题意P(D)=,则n(Ω)=n(D)=72, 又n(Ω)=(n+6)(n+5)=72, ∴n=3或-14,n∈N*,即n=3. 17.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,0<ω<1),f=f,且f(x)在上的最大值为. (1)求f(x)的解析式; (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g,求sin 2α的值. 解 (1)因为函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,0<ω<1),f()=f(), 所以函数f(x)的图象的一条对称轴为x=所以=kπ+,k∈Z,即ω= 因为ω∈(0,1),所以ω=,所以T=3π,f(x)=Asin(x+).因为f(x)在(0,)上,所以x+(),又函数f(x)的最大值为A=,所以f(x)=sin(x+). (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)=sin(2x+)的图象, 若g()=sin(α+), 则sin(α+)=, 所以sin 2α=-cos=2sin2-1=2-1=- 18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=,b=2,∠A=120°. (1)求sin B的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C)的值. 解 (1)由已知及正弦定理,得,∵a=,b=2,∠A=120°, ∴sin B= (2)(方法一)由(1)及已知,得cos B=,sin C=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=cos B-sin B=由正弦定理,得c==5. (方法二)由余弦定理,得b2+c2-2bccos A=a2,即4+c2-2×2c=39,整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去). (3)∵C为锐角,∴cos C= ∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= 19.如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=. (1)若M为PA的中点,求证:AC∥平面MDE. (2)求直线PB与直线CD所成角的大小. (3)设平面PAD∩平面EBC=l,试判断l与平面ABCD能否垂直?并证明你的结论. 证明 (1)连接PC,交DE于点N,连接MN, ∵四边形PDCE为矩形, ∴N为PC的中点. 在△PAC中,M,N分别为PA,PC的中点,∴MN∥AC. ∵MN⊂平面MDE,AC⊄平面MDE,∴AC∥平面MDE. (2)解 ∵∠BAD=∠ADC=90°, ∴AB∥CD,∴∠PBA是直线PB与直线CD所成的角. ∵四边形PDCE为矩形, ∴PD⊥CD. ∵平面PDCE⊥平面ABCD, 又PD⊂平面PDCE,平面PDCE∩平面ABCD=CD, ∴PD⊥平面ABCD. ∵AD,AB⊂平面ABCD, ∴PD⊥AD,PD⊥AB. 在Rt△PDA中,∵AD=1,PD=,∴PA= ∵∠BAD=90°,∴AB⊥AD, 又∵PD⊥AB,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD. ∵PA⊂平面PAD,∴AB⊥PA. 在Rt△PAB中,∵AB=1, ∴tan∠PBA=, ∴∠PBA=,从而直线PB与直线CD所成的角为 (3)解 l与平面ABCD垂直.证明如下: ∵四边形PDCE为矩形, ∴EC∥PD. ∵PD⊂平面PAD,EC⊄平面PAD, ∴EC∥平面PAD,EC⊂平面EBC. ∵平面PAD∩平面EBC=l, ∴EC∥l,则l∥PD,由(2)可知PD⊥平面ABCD,∴l⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $