第4章 图形与坐标单元培优卷2026-2027学年浙教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦“图形与坐标”单元，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养空间观念、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位置确定、对称点坐标、象限判断|直接应用概念，如经纬度定位（第1题），夯实空间观念| |提升层|坐标变换、不等式与坐标结合、面积计算|多知识点综合，如对称平移与象限关系（第9题），发展推理能力| |拓展层|新定义问题、规律探究、实际应用|情境创新与跨学科，如“a级开心点”（第22题）、图案设计（第24题），强化模型意识|

第4章 图形与坐标 单元培优卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．根据下列表述，能确定位置的是（　　） A．北纬30°，东经120° B．距市中心5千米处 C．在南偏西45° D．在人民路上 2．如果用表示2街5巷的十字路口，那么表示（　　）的十字路口． A．3街3巷 B．6街3巷 C．3街6巷 D．6街6巷 3．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若点与点关于y轴对称，则等于（　　） A． B．0 C．1 D．11 5．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 7．在平面直角坐标系中，如果，那么点（a，|b|）在（　　） A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第一象限或第四象限 8．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点.若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A． B． C． D． 9．将通过下列变换得到的点在第一象限的是（ ） A．点关于轴作轴对称 B．点关于轴作轴对 C．点向左平移2个单位 D．点向上平移1个单位 10． 若点M(x，y)坐标满足 则点M所在的象限是(　　) A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．无法确定 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若点关于y轴的对称点是点，则　 　． 12．已知轴负半轴上的点到原点的距离为2，则　 　，　 　． 13． 已知点P(a，b)， ab>0，a+b<0，则点 P在第　 　象限. 14．如图，中，，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C，则点B的坐标为　 　 15．将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，小方格的边长为． （1）画出关于轴的对称图形，并写出，的坐标； （2）求出的面积． 18．如图是小红家附近的平面示意图． （1）火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处． （2）从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼． （3）小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来． 19．已知，，． （1）若点C在第二象限内，且，，求点C的坐标，并求的面积； （2）若点C在第四象限内，且的面积为8，，求点C的坐标． 20． 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(1，2)、(4，1). （1）线段A1B1是由线段AB经过平移得到的，则点A1的坐标是(　 　)； （2）线段A2B2是由线段A1B1经过怎样的变换得到的? （3）若点P(a，b)为线段AB上任意一点，经过上述两次变换后得到点写出点的坐标. 21．已知：点在第四象限． （1）求的取值范围． （2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请直接写出符合条件的“整数点” ． 22．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级开心点”为，即． （1）若点P的坐标为，则点P的“3级开心点”的坐标为　 　. （2）若点P的“2级开心点”是点，求点P的坐标　 　； （3）若点的“级开心点”位于坐标轴上，求点的坐标． 23．在平面直角坐标系中，点，，且，满足． （1）　 　，　 　． （2）连接，为内一点，． ①如图1，过点作，且，连接，并延长交于．求证：点为线段的中点； ②如图2，点在的延长线上，连接、．若，点，求：． 24．我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题. （1）【图案设计】 如图1，在平面直角坐标系中，，，. 作出关于轴的对称图形，并标注出点，，； （2）【拓展应用】 如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为　 　. （3）【实际应用】 如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米?（保留整数）（，） 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】用方向和距离确定物体的位置 【解析】【解答】A、北纬30°，东经120°，能确定位置，故A符合题意； B、距市中心5千米处，只有距离，没有方向，无法确定位置故B不符合题意： C、在南偏西45°，只有方向，没有距离，无法确定位置，故C不符合题意； D、在人民路上，不能确定位置，故D不符合题意； 故答案选：A. 【分析】 根据有序数对，坐标，可确定点的位置. 2．【答案】B 【知识点】有序数对 【解析】【解答】解：∵用表示2街5巷的十字路口， ∴表示6街3巷的十字路口， 故答案为：B． 【分析】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确坐标中的数字表示的意义，由表示的意义直接得到答案. 3．【答案】C 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：点关于轴的对称点为，在第三象限， 故答案为：C． 【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）可得对称点的坐标，再利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可. 4．【答案】A 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：点与点关于轴对称， ， ． 故答案为：A． 【分析】根据两坐标点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此可求出的值，最后代入数值进行计算即可求解. 5．【答案】C 【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是， 的取值范围在数轴上表示如图： 故答案为：C． 【分析】先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 6．【答案】A 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵在第二象限内的点的坐标为， ∴， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：A． 【分析】根据第二象限的点横坐标为负数，纵坐标为正数得出，根据点到x轴距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，并结合点到两坐标轴的距离相等列出含绝对值符号的方程，进而根据绝对值的代数意义化简，求解得出a的值，即可求出点P的坐标. 7．【答案】A 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵， ∴a和b同号， 当a和b都是正数时：a＞0，|b|＞0，则点在第一象限； 当a，b都是负数时a＜0，|b|＞0，则这个点在第二象限， ∴点（a，|b|）一定在第一象限或第二象限， 故答案为：A. 【分析】应根据mn的取值先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 8．【答案】D 【知识点】点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移 【解析】【解答】解： 将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 ，即m-1+3=m+2，n+2+2=n+4， 所以平移后的点 的坐标为（m+2，n+4）， 因为点位于第四象限 ， 所以m+2>0，m>-2， 所以n+4<0，n<-4. 故答案为：D. 【分析】（1）根据点在坐标系中平移的特点，向右平移，横坐标加上平移的长度，纵坐标不变；向上平移，纵坐标加上平移的长度，横坐标不变； （2）根据点的坐标与象限的关系可知，当点位于第四象限时，横坐标大于0，纵坐标小于0. 9．【答案】A 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移 【解析】【解答】解：A．点关于轴作轴对称点坐标为，在第一象限，符合题意； B．点关于轴作轴对称点坐标为，在第三象限，不符合题意； C．点向左平移2个单位后坐标为，在坐标轴上，不符合题意； D．点向上平移1个单位后坐标为，在坐标轴上，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】利用关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 10．【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解： xy=-1 当x>0时，y<0 当x<0时，y>0 点M所在的象限是第二象限或第四象限 故答案为：B 【分析】根据可得xy=-1，则当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，点M所在的象限是第二象限或第四象限。 11．【答案】0 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：点关于轴的对称点是点， ，， ，， ， 故答案为：0． 【分析】根据关于轴的两坐标点的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，最后代入进行计算即可. 12．【答案】1；-1 【知识点】点的坐标 【解析】【解答】解：点M在y轴上， 1-a=0，解得a=1， 又点M在y轴的负半轴上，且到原点的距离为2. b-1=-2，解得b=-1， 故答案为：1；-1. 【分析】根据点M在y轴负半轴上的点的坐标特征：横坐标是0，纵坐标的绝对值是到原点的距离，进行计算即可. 13．【答案】三 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解： ab>0，a+b<0， a<0，b<0 点P(a，b)在第三象限 故答案为：三 【分析】根据ab>0，a+b<0可得a<0，b<0，则点P(a，b)在第三象限。 14．【答案】（0，8） 【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴，如图， ∴ 又∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故答案为：（0，8）. 【分析】过点C作CD⊥x轴，利用"AAS"证明则最后结合点C的坐标即可求解. 15．【答案】 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移 【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为， 点向左平移2个单位即可落在轴上， 故答案为：． 【分析】根据轴对称点特征求出对称点，再根据点坐标的平移规律即可得到解答． 16．【答案】 【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移 【解析】【解答】解：设第n次跳动至点An，由图可以得出：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），A10（3，5），…， ∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）， ∵2023＝505×4+3， ∴A2023（505+1，505×2+2）， 即A2023的坐标是（506，1012）． 故答案为：（506，1012）. 【分析】设第n次跳动至点An，根据题意得出点运动的规律写出对应点的坐标，然后探究得出An坐标的变化规律：“A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，由2023＝505×4+3即可得出点A2023的坐标． 17．【答案】（1）解：关于轴的对称图形，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图所示， ∴即为所求图形， 根据点关于轴对称的特点，即横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴，的坐标分别是，． 故答案为：，的坐标分别是，. （2）解：根据图示得，． 故答案为：. 【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可. （2）利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可. （1）解：关于轴的对称图形，则各点到轴的距离等于各点到轴的距离，如图所示， ∴即为所求图形， 根据点关于轴对称的特点，即横坐标变为相反数，纵坐标不变， ∴，的坐标分别是，． （2）解：根据图示得，． 18．【答案】（1）正东，1200，男，西，45，750. （2）正东，900，南，西，45，750 （3）解：（厘米），小兵家如图： 【知识点】用方向和距离确定物体的位置 【解析】【解答】（1）火车站位于体育场的正东面1200m处，百货大楼位于少年宫的西偏南方向750m处． 故答案为：正东，1200，西，南，45，750； （2）从汽车站去百货大楼，要先往正东方向走900m到少年宫，再往西偏南方向走750m到百货大楼， 故答案为：正东，900，西，南，45，750； 【分析】（1）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可； （2）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可； （3）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可． 19．【答案】（1）解：∵点C在第二象限内， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵的面积为8，点C在第四象限内，∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． 【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标为，然后利用三角形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积可得，求出，即可得到，解题即可． 20．【答案】（1）(-4，2) （2）解：线段 A2B2 是由线段A1B1 关于x轴对称得到的 （3）解：由题可得， 点的坐标为(a-5，-b) 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征 【解析】【解答】解：（1）观察图象可知 A1 (-4，2)； 【分析】（1）观察图象即可解决问题； （2）属于轴对称变换； （3）先平移得到(a-5，b)，再翻折得到(a-5，-b). 21．【答案】解：（1）根据题意，得，解得； （2）∵， ∴m的整数解为：0，1，2， ∴符合条件的“整数点A”有、、． 【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】（1）根据点的位置可得2m+1>0，3m-9<0，求出m的取值范围即可； （2）然后取m的整数解，即可得到“整数点A”． 22．【答案】（1）​​​​​​​ （2） （3）解：点的“级开心点”的坐标为 ∵位于坐标轴上， ∴或 即，或 当时，的坐标为 当时，的坐标为 ∴的坐标为或 【知识点】解二元一次方程组；点的坐标 【解析】【解答】（1）解：由题意可知，点P的“3级开心点”的坐标为 即点P的“3级开心点”的坐标为 故答案为：（2，14）. （2）解：设，则点P的“2级开心点”是 即 解得∴点P的坐标为 故答案为：. （3） 【分析】（1）根据“a级开心点”的定义计算即可；（2）先设出，按照题意列出方程组，然后解方程组即可得解； （3）先根据题意用含的代数式表示出点的坐标，位于坐标轴上，分在纵坐标轴和横坐标轴两种情况讨论即可． （1）解：由题意可知，点P的坐标为 即点P的“3级开心点”的坐标为 （2）解：设 则点P的“2级开心点是 即 解得 ∴点P的坐标为 （3）解：点的“级开心点”的坐标为 ∵位于坐标轴上 ∴或 即，或 当时，的坐标为 当时，的坐标为 ∴的坐标为或 23．【答案】（1）3；-3 （2）证明：①连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点B作，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为线段的中点； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点P作y轴的平行线，分别过M，B作于E，于F，交x轴于G，交y轴于H，连接， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴点P，E关于x轴对称， ∴，， 同理，点M，E关于y轴对称， ∴， 解得，即点M的坐标为， ∴ 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：（1）由题意可知，a-3=0，b+3=0， 解得a=3，b=-3； 故答案为：3；-3； 【分析】（1）根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，列一元一次方程，即可求出a和b的值； （2）①根据等量代换原则，可得∠COA=∠POB；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得AC=BP，∠OCA=∠OPB；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得相应的底角为45°，相应的边相等；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得AD=DB； ②根据等腰直角三角形的判定和性质，可得相应的底角为45°，相应边相等；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BF=EP，PF=ME；根据两点见得距离公式和线段的计算，可列代数式表示点E和M的坐标；根据关于对称轴对称的点的坐标的特征，列一元一次方程，解方程即可求出点M的坐标；根据三角形的面积公式，列代数式求和即可. 24．【答案】（1）解：如图所示，即为所求 （2） （3）解：作点关于、的对称点、 连接交、于、即为所示 ，， ， 最小周长为 【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称 【解析】【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，则△DEF就是所求的图形； （2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，则PB＝PB'，所以PA+PB＝PA+PB'＝AB'，此时PA+PB的值最小，即可由A（3，4），B'（1，﹣2），求得AB'2，即可解答； （3）分别作点G关于直线AB、BC的对称点G1、G2，连接G1、G2分别交AB、BC于点M，N，连接GG1、GG2、BG1、BG2、BG，则GM+GN+MN＝G2M+G1N+MN＝G1G2，此时△GMN的周长最小，可求得∠G1BG2＝∠GBG2+∠GBG1＝2（∠ABG+∠CBG）＝90°，再根据勾股定理求得G1G22028（米），则△GMN的周长最少约28米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $