第二十六章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上二次函数单元卷，覆盖平移、顶点、图像性质及实际应用，题型层次分明，解答题融合商场利润、卢沟桥拱等生活与文化情境，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|二次函数平移（1-4题）、顶点坐标（2题）、图像与系数关系（6题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |填空题|5题|二次函数定义（13题）、对称轴（15题）、实际情境应用（16题）|能力提升，结合文化素材| |解答题|5题|利润问题（19题）、抛物线与几何综合（22题）、最值探究（21题）|创新应用，体现模型意识与推理能力|

人教版（2024）九年级上 第二十六章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．将抛物线y=x2-2向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（　　） A．y=x2-3 B．y=（x-1）2-2 C．y=x2-1 D．y=（x+1）2-2 2．抛物线y=（x-2）2-1的顶点坐标是（　　） A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（2，1） D．（2，-1） 3．将抛物线y=-4x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A．y=-（x-2）2+3 B．y=-4（x-3）2+2 C．y=-4（x+2）2+3 D．y=-4（x-2）2+3 4．将二次函数y=x2的图象向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y=x2+5 B．y=x2-5 C．y=（x+5）2 D．y=（x-5）2 5．一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+b的图象（　　） A． B． C． D． 6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论中错误的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b=0 C．4a+2b+c＞0 D．c+8a＞0 7．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（1-a,0）两点，且点C（2，y1），都在抛物线上，则下列说法正确的是（　　） A．当a＞-4时，y1＞y2 B．当a＜-4时，y1＜y2 C．无论a为何值，y1≥y2 D．无论a为何值，y1≤y2 9．抛物线的图象开口最大的是（　　） A． B．y=-2x2 C． D．无法确定 10．已知函数y=x2-2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m≤3 11．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＜0；②当x＜-1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④2a-b=0；⑤若方程ax2+bx+c=m没有实数根，则m＞2．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为，其中B（2，0），且．以下结论：①abc＞0；②无论a、b、c取何值，抛物线一定经过点；③方程ax2+bx+c-k2=0的两根和为1；④；⑤△ABD是钝角三角形．其中正确结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共5小题） 13．若y=（a+2）x|a|+3x-1是二次函数，则a的值为______． 14．抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______． 15．关于x的方程ax2+bx+8=0的解是x1=2，x2=4，则抛物线y=ax2+bx+8的对称轴是直线______． 16．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P′之间的距离为 ______米． 17．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，图象对称轴为直线x=1，与x轴的正半轴交点位于（2，0）与（3，0）之间，对于这个函数有下列四个结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③对任意实数t,不等式t（at+b）≤a+b恒成立；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则3＜|x1-x2|＜4；⑤关于x的方程a（x-2）2+b（x-2）+c=0的两根之和为6．则结论正确的有______（填写序号）． 三．解答题（共5小题） 18．已知二次函数y=-9x2-6ax-a2+2a. （1）若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； （2）若该二次函数的顶点在y=1-x的图象上，求实数a的值． 19．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元． （1）求出w与x之间的函数关系式； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 20．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x=1，并且经过点（-1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y=ax+c经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p-4，y1），B（p,y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y=kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC． （1）求a,b,k的值； （2）求PQ的最大值； （3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且，求m的值． 22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD=kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 人教版（2024）九年级上 第二十六章 二次函数 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、D 3、D 4、A 5、C 6、D 7、C 8、B 9、A 10、C 11、B 12、D  二．填空题（共5小题） 13、2； 14、m≤-2； 15、x=3； 16、26； 17、①②③⑤；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）当-9x2-6ax-a2+2a=0时， Δ=36a2-36（a2-2a）=72a, ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴72a＞0， ∴a＞0； （2）∵y=-9x2-6ax-a2+2a=-9（x+a）2+2a, ∴顶点为（-a,2a）， ∵顶点在y=1-x的图象上， ∴1+a=2a, 解得a=． 19、解：（1）由题意得w=（x-30）[600-10（x-40）]， 整理得w=-10x2+1300x-30000， 答：w与x之间的函数关系式为w=-10x2+1300x-30000； （2）由题意得， 解得44≤x≤50， ∵w=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250，-10＜0， ∴当x=50时，函数取得最大值，且最大值为-10×（50-65）2+12250=10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 20、解：（1）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是-1． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，-1）． 设抛物线对应的函数表达式为y=a（x-1）2-1， 把（-1，3）代入，可得3=4a-1 解得a=1， ∴抛物线对应的函数表达式为y=（x-1）2-1=x2-2x； （2）①根据y=ax2+bx+c, 可得二次函数的顶点为， 把代入y=ax+c, 得， 化简，得． ∵， ∴， ∴b=2a, ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）； ②设抛物线对应的函数表达式为y=a（x+1）2-1． ∴，． =a（p-3）2-a（p+1）2 =8a（1-p）． ∵y1＞y2， ∴8a（1-p）＞0， ∵a＞0， ∴1-p＞0， ∴p＜1． 21、解：（1）把A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得，， 解得， 把B（6，0）代入y=kx+3得，6k+3=0， 解得， ∴． （2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H， ∵点P的横坐标为m, ∴，， ∴． ∴当m=3时，PH有最大值为． ∵PQ⊥BC， ∴∠PQH=90°=∠BOC， ∴∠QPH+∠PHQ=90°， ∵PD⊥AB， ∴∠PDB=90°， ∴∠ABC+∠BHD=90°， ∵∠PHQ=∠BHD， ∴∠QPH=∠ABC， ∴△PQH∽△BOC， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， ∵B（6，0）， ∴OB=6， ∴， ∴，即， ∴当PH有最大值时，PQ取到最大值， ∴PQ的最大值为． （3）由得， ∴顶点为（2，4），即当x=2时，y有最大值4， ∵抛物线对称轴为x=2， ∴当x=1时或x=3时，y值相等，即， ①当m＜1时，则在m≤x≤3时，x=2取得最大值，x=m时取得最小值，即，t2=4， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当1≤m≤2时，则在m≤x≤3时，x=2取得最大值，x=3时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当2＜m≤3时，则在m≤x≤3时，x=m取得最大值，x=3时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵2＜m≤3， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 22、解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-x1）（x-x2）=a（x+3）（x-1）， 将点C的坐标代入上式得：3=a（0+3）（0-1），解得a=-1， 故抛物线的函数表达式为y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3； （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y=kx+n,把A（-3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y=x+3， 设P（t,-t2-2t+3），且-3＜t＜0，则F（t,t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE=4，PF=-t2-2t+3-（t+3）=-t2-3t, ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴===-（t+）2+， ∵-3＜t＜0， ∴当t=-时，取得最大值， ∵S△APD=kS△ABD， ∴k==， ∴k的最大值为， ∴0＜k≤； （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO=∠QTO=90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM=OQ，∠MOQ=90°， ∴∠MOK+∠QOK=90°， ∵∠QOT+∠QOK=90°， ∴∠MOK=∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK=OT，MK=QT， 设点M（x,x+3），则OK=-x,MK=-x-3， ∴OT=-x,QT=-x-3， ∴Q（x+3，-x）， ∵点Q在抛物线上， ∴-x=-（x+3）2-2（x+3）+3， 解得：x1=-3，x2=-4， ∴M（-3，0）或（-4，-1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（-x-3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x=-（-x-3）2-2（-x-3）+3， 解得：x1=-5，x2=0（舍去）， ∴M（-5，-2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（-3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（-3，0）或（-4，-1）或（0，3）或（-5，-2）． 学科网（北京）股份有限公司 $