第二十六章 二次函数 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试卷，满分150分，全面覆盖二次函数概念、图像性质、变换及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，考查抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|开口方向、顶点坐标、平移、函数值比较|结合图像辨析，考查几何直观| |填空题|6/24|参数求解、方程解、最值、点坐标关系|设置开放探究，培养推理意识| |解答题|9/96|解析式求解、图像绘制、实际应用（足球射门、销售利润等）|创设真实情境，体现模型意识与应用意识|

第二十六章 二次函数单元测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若抛物线的开口向上，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.对于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 3.将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线解析式为(    ) A. B. C. D. 4.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.如果关于二次函数与轴有公共点，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(    ) A. B. C. 且 D. 或 7.如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是(    ) A. B. C. D. 8.如表是函数的部分自变量与对应的函数值： 根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.二次函数，当时，随的增大而减小，则取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为，，，，若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若二次函数的图象过点，则的值是          ． 12.已知抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，，则方程的解是          ． 13.二次函数的最大值是          ． 14.已知、是抛物线上的两点，则        ． 15.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为若抛物线、为常数与线段交于、两点，且，则的值为      ． 16.已知点，在函数图象上，且，，，请探究下列问题： 若，则与的大小关系为           填“”，“”或“”； 若方程有个不同的实数根时，则实数的取值范围为          ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数，且经过点． 求二次函数的表达式． 将该二次函数图象向下平移个单位，求平移后图象与轴的交点坐标． 18.本小题分 已知抛物线经过点，． 求抛物线的解析式；  求抛物线的顶点坐标． 19.本小题分 已知二次函数． 对称轴是______； 在平面直角坐标系里画出它的图象． 当时，观察图象直接写出函数的取值范围． 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的 交点分别为和． 求此二次函数的表达式； 结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 21.本小题分 一次足球课上，体育老师让学生进行射门训练小华在球门正前方的处正对球门射门，足球射向球门的路线可以近似看作一条抛物线的一部分，当足球飞行的水平距离为时，球在处达到最高，此时球的竖直高度已知球门的高度热爱学习的小明对小华本次射门展开了研究，建立了如图所示的平面直角坐标系． 求抛物线的解析式． 通过计算判断足球能否射进球门， 若射门路线的形状、最大高度均保持不变，且射门点距球门正前方大于，为使足球能在点正上方处进球门，则射门点距球门的水平距离应该是多少 22.本小题分 “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间分的函数关系描述如图，分钟函数图象为抛物线，且在第分钟达到该函数最大值此时为抛物线的顶点；分钟之后为函数的图象的一部分． 求二次函数和反比例函数的表达式需明确的取值范围； 若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 23.本小题分 某玩具批发商销售每只进价为元的玩具，市场调查发现，若以每只元的价格销售，则平均每天销售只；若销售价每提高元只，则平均每天就少销售只．设销售价为元只，平均每天的销售量为只． 求与之间的函数关系式． 求该批发商平均每天的销售毛利润元与销售价元只之间的函数关系式． 物价部门规定每只售价不得高于元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？注：每只毛利润每只销售价每只进价 24.本小题分 如图，二次函数的图象经过点，点． 求此二次函数的解析式； 当时，求二次函数的最值； 点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，。 求与之间关系 已知二次函数的最小值为． 求该二次函数的表达式 若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数单元测试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若抛物线y=(m+1)xm2-2的开口向上，则m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.1 2.对于抛物线y=2(x-1)2+3,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(1,3) C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.当x>-3时，y随x的增大而增大 3.将抛物线y=-4x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为() A.y=-(x-2)2+3 B.y=-4(x-3)2+2 C.y=-4(x+2)2+3 D.y=-4(x-2)2+3 4.若二次函数y=ax2-3ax+c(a>0)的图象经过点A(0,y1),B(-1,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小 关系是() A.y3<y1<y2 B.y1<y3<y2 C.y3<y<y1 D.y2<y3<y1 5.如果关于二次函数y=x2-x+m-1与x轴有公共点，那么m的取值范围是() A.m>5 B.m≥5 C.m≤5 D.m<5 6.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是() A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5 7.如图是二次函数y=x2一4x+c的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件 是() A.c>0 B.c<0 第1页，共6页 C.c>4 D.0<c≤4 8.如表是函数y=2x2-3x-6的部分自变量与对应的函数值： 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2 -1 -0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程2x2一3x一6=0的一个解x可能的取值范围是() A.2.5<x<2.6 B.2.6<x<2.7 C.2.7<x<2.8 D.2.8<x<2.9 9.二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3时，y随x的增大而减小，则m取值范围是() A.m=3 B.m>3 C.m>3 D.m≤3 10.在平面直角坐标系x0y中，五个点的坐标分别为A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线 y=a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为() A君 B号 c D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若二次函数y=ax2的图象过点(1，-2)，则a的值是 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(-3,0)，(2,0)，则方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的解是_. 13.二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是一 14.己知A(-2,m)、B(6,m是抛物线y=x2-bx+c上的两点，则b=· 15如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,2)，点B的坐标为(42).若抛物线y=-c-)2+k(、k 为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=AB,则k的值为一 D B -x,(x<0) 16已知点A(x)B(为)在函数y={+2≥0)图象上，且x1>0,2>0,x1*,请探究 下列问题： (1)若x1-1|>x2-1,则y1与y2的大小关系为y1y2(填“>”，“<”或“=”)： (2)若方程y=t有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为一· 第2页，共6页 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 己知二次函数y=a(x+1)2+9,且经过点(2,0) (1)求二次函数的表达式. (2)将该二次函数图象向下平移5个单位，求平移后图象与x轴的交点坐标。 18.(本小题10分) 已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A3,0),B(-1,0). (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标. 19.(本小题10分) 已知二次函数y=x2+2x-3. (1)对称轴是 (2)在平面直角坐标系里画出它的图象 (③)当-2<x<3时，观察图象直接写出函数y的取值范围. y 4 3 5=4-3=头-49 ..45x 2 3 4 第3页，共6页 20.(本小题10分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴，y轴的 交点分别为(1,0)和(0，-3) (1)求此二次函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出当y>-3时，x的取值范围. 3日 2 3-2-10 12345 -2 21.(本小题10分) 一次足球课上，体育老师让学生进行射门训练.小华在球门正前方10的A处正对球门射门，足球射向球门 的路线可以近似看作一条抛物线的一部分，当足球飞行的水平距离为7m时，球在C处达到最高，此时球的 竖直高度BC=m.已知球门的高度0D=2.44.热爱学习的小明对小华本次射门展开了研究，建立了如图 16 所示的平面直角坐标系， D (1)求抛物线的解析式， (2)通过计算判断足球能否射进球门， (3)若射门路线的形状、最大高度均保持不变，且射门点距球门正前方大于7m,为使足球能在点0正上方 1.5m处进球门，则射门点距球门的水平距离应该是多少？ 第4页，共6页 22.(本小题10分) “人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题某校对本校下午 放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用 “拥挤指数”y(%)与放学后时间x(分)的函数关系描述如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分 钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）：13分钟之后为函数y=(x>0)的图象的一部分. (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）： (2)若“拥挤指数”y≥75，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通请依据图象计算每天 至少需要执勤的时间. ◆y/% 100 03 13 x/分 23.(本小题12分) 某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售 60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只.设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y 只 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售毛利润W(元)与销售价x(元/只)之间的函数关系式 (3)物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大 毛利润是多少元？注：每只毛利润=每只销售价-每只进价) 第5页，共6页 24.(本小题12分) 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1,0),点B(2,3) 图1 备用图 (①)求此二次函数的解析式： (2)当-5≤x≤3时，求二次函数y=ax2+bx+3的最值： (3)点M为此函数图象上任意一点，其横坐标为m,过点M作MN//x轴，点N的横坐标为-m+3.已知点M 与点N不重合，且线段MN的长度随m的增大而减小，求m的取值范围. 25.(本小题12分) 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象过点A(2,t),B(3,t)。 (1)求a与b之间关系； (②已知二次函数的y=ar2+bx+4最小值为a2-多 ①求该二次函数的表达式； ②若M(x1,mN2,m为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：112=24 m 4-X1 第6页，共6页 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由的开口向上， 得：，且， 解得． 2.【答案】  【解析】解：由题知， 因为抛物线的解析式为， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项不符合题意，选项符合题意； 因为当时，随的增大而减小， 所以选项不符合题意． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：原抛物线为， 向右平移个单位，得， 再向上平移个单位，得， 新抛物线解析式为． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由题意得，抛物线对称轴为直线， 由条件可知抛物线开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， 点，，，， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：函数的图象与轴有公共点， 方程有两个的实数解，即， 解得：， 故选：． 6.【答案】  解：由题图知抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标为， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 利用图象可知的解集即是时对应的的取值范围， 不等式的解集是或． 故选D． 7.【答案】  【解析】解：， 由条件可知， 即． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：由表格可知，当时，，当，， 二次函数与轴一个交点在直线和直线之间， 方程的一个解的范围是． 故选：． 9.【答案】  解：二次函数的解析式的二次项系数是，  该二次函数的开口方向是向上； 又该二次函数的图象的顶点坐标是， 该二次函数图象在上随的增大而减小； 而已知中当时，随的增大而减小， ． 故选C． 10.【答案】  【解析】解：抛物线  抛物线开口向上，对称轴为直线  ，，且，  点、同时在抛物线上或同时不在抛物线上．  当抛物线过、、时，  把，代入得，  解得；  当抛物线过、、时，  把，代入得，  解得，  当抛物线过、、时，  把，代入得，  解得，  当抛物线过、、时，  把代入解析式求得，  ，  把代入得，解得，  把代入得，解得，  、、三点不能同时在抛物线上，  综上，的值可能为，，，不可能为，  故选：． 11.【答案】  解：二次函数的图象过点， ， 解得． 故答案为． 12.【答案】，  解：抛物线与轴的两个交点的坐标分别是，， 当或时，，即方程的解为，． 故答案为，． 13.【答案】  解：因为，且， 所以当时，取最大值，且最大值为． 14.【答案】  【解析】解：、是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 16.【答案】【小题】       【小题】   【解析】  根据题意可得点，在函数图象上，再由二次函数的性质解答即可； 【详解】解：，，， 点，在函数图象上， ， 该函数图象的对称轴为直线， ， 该函数图象开口向下， 该函数图象上距离对称轴越远，函数值越小， ， 点横坐标离对称轴的距离大于点横坐标离对称轴的距离， ；   画出函数图象，利用数形结合思想解答即可． 由得：函数的顶点坐标为， 如图， 方程有个不同的实数根， 直线与函数图象有个交点， 观察图象得：此时实数的取值范围为． 17.【答案】解：把代入表达式， ， ． 平移后的函数表达式为， 令， 解得，， 交点坐标分别为，．  18.【答案】解：抛物线经过点，， 抛物线的解析式为， 即； 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为：．  【解析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式． 根据抛物线经过点，，直接得出抛物线的解析式为，再整理即可， 根据抛物线的解析式为，即可得出答案． 19.【答案】直线     【解析】解：由题知， 因为二次函数的解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线； 如图所示， ； 由函数图象可知， 因为， 则当时，； 当时，， 所以的取值范围是． 20.【答案】解：抛物线与轴、轴的交点分别为和， ， 解得：． 抛物线的表达式为：． 抛物线的对称轴是直线， 根据抛物线的对称性得到点关于直线的对称点的坐标为， 由图像可知当时，的取值范围是或．  21.【答案】解：由题意可知，，， ， 又 ， 抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的表达式为 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 对于， 令，则， ， 足球不能射进球门． 由， 可设当足球能在点正上方处进球门时抛物线的表达式为． 射门路线的最大高度保持不变， ， 或． 当时，， 令，解得，不合题意，舍去． 当时，， 令，解得不合题意，舍去，不合题意，舍去． 答：射门点距球门的水平距离应该是．  22.【答案】， 每天至少需要执勤的时间为分钟  【解析】解：设该二次函数的解析式为，把点代入，得，解得：，所求二次函数的解析式为，把点代入 得：，所求反比例函数的解析式为；由，解得：，不合题意，舍去，由 ，解得：，，故每天至少需要执勤的时间为分钟． 23.【答案】【小题】 解：由题意得：； 【小题】 解：由题意得：； 【小题】 解：， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 规定每件售价不得高于元， 当时，取得最大值为元，即当每只玩具的销售价为元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是元．   24.【答案】【小题】 解：将点，点代入， 得，解得，                      二次函数的解析式为． 【小题】 解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值为           ， 当时，         当时，        当时，二次函数的最大值为，最小值为． 【小题】 解：，         当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．        当时，即，，的长度随的增大而减小， 的取值范围为．   25.【答案】解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点，在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以； 由可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最小值为，， 所以，且， 解得，或舍去． 所以该二次函数的表达式为； 因为点函数的图象上， 所以． 由知，点，关于直线对称，不妨设， 则，即， 所以左边 又， 所以， 右边， 左边右边．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $