3.4 日历与百数表中的数量关系（7个考点）（讲义）-2026-2027学年北师大版六年级数学上册

该小学数学讲义以“日历与百数表中的数量关系”为核心，通过7个考点系统构建知识体系。从横向纵向相邻数规律到2×2方框、十字形等模型，再到字母表示与逆向应用，用核心知识分点梳理和典型例题解析呈现知识脉络，突出数量关系的内在联系与重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，对应练习涵盖填空、判断、解决问题等题型，如“十字框5个数和是80求中间数”培养推理意识，用字母表示推导规律发展抽象能力与模型意识。基础题巩固知识，综合题提升应用，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.4日历与百数表中的数量关系(7个考点)（讲义） 考点1：日历横向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加1，相邻两个数 的差为1。 2.数量关系：右边的数=左边的数+1：左边的数=右边的数-1。 3.同一行连续个数，属于公差为1的等差数列，总和=（首项+末项）×项 数÷2：奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。 【方法点拨】 1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加1、减1计算。 2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。 3.日历每行最多7个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。 【典型例题】 例：日历某一行有连续3个日期，中间的数是12，求这三个数分别是多少。 【对应练习】 1.日历中，18号右边相邻的日期是()号，左边相邻的日期是()号。 2.日历同一行中，相邻两个数的差是（)。 3.日历某行连续四个数，第一个是5，后面三个数分别是()、()、 ()。 4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大2。() 5.日历一行连续5个数的和是35，这五个数中最大的是多少？ 第1页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 6.日历某行第一个数是9，这一行第6个数是多少？ 7.日历同一行的三个数，最大数是27，最小数是多少？ 8.有三个连续日期，和是24，这三天分别是几号？ 9.日历一行中，第3个数是14，第7个数是多少？ 考点2：日历纵向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加7，相邻两个数 的差为7。 2数量关系：下面的数=上面的数+7；上面的数=下面的数-7。 3原理：一周有7天，下一周的同一天，比上一周同一天多7天，因此同列数 的星期几完全一致。 【方法点拨】 1.已知日期，求下一周同一天直接加7，求上一周同一天直接减7。 2.同一列连续数属于公差为7的等差数列，可按等差数列求和计算总数。 3.可通过纵向差7，推算某个日期对应的星期几。 第2页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：日历中某月5号是星期三，下一个星期三是几号？ 【对应练习】 1.日历中，9号下面相邻的日期是()号，上面相邻的日期是()号。 2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是()。 3.日历某列第一个数是3，下面三个数分别是()、()、()。 4判断：日历同一列的两个数，相差7天，星期几相同。（) 5.日历某列连续3个数的和是42，中间的数是多少？ 6.16号是周一，上一个周一是几号？ 7.日历同一列四个数，最下面的数是30，最上面的数是多少？ 8.某月有5个周日，第一个周日是3号，最后一个周日是几号？ 9.日历某列第2个数是11，第5个数是多少？ 第3页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 考点3：日历中2×2方框的数量关系 【核心知识】 1.在日历中框出2行2列共4个数，设左上角的数为a,四个数可表示为： aa+1 a+7a+8 2.核心规律：对角两个数的和相等，即a+(a+8)=(a+1)+(a+7)= 2a+8。 3.四个数的总和=4a+16,也等于（左上角数+右下角数）×2。 【方法点拨】 1.已知左上角数，通过+1、+7、+8快速写出另外三个数。 2.已知四个数总和，先除以2得到一组对角的和，再通过“对角和-8”除以 2求出左上角数。 3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。 【典型例题】 例：日历的2×2方框中，四个数的和是60，求这四个数分别是多少。 【对应练习】 1.2×2方框左上角是7，另外三个数分别是()、()、()。 2.日历2×2方框中，对角两个数的和()。 3.2×2方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是()和()。 4.判断：2×2方框四个数的和，是左上角数的4倍。() 5.2×2方框四个数的和是44，求左上角的数。 第4页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 6.2×2方框右下角的数是21，求左上角的数。 7.2×2方框中，右上角是13，求四个数的和。 8.四个连续的日期排成2行2列，和是52，最大的数是多少？ 9.2×2方框中，左下角数比右上角数大多少？ 考点4：日历十字形(5个数)的数量规律 【核心知识】 1.日历中十字形框住5个数，设中间数为a,五个数分别为： ·上：a-7 ·左：a-1,中：a,右：a+1 ·下：a+7 2.核心规律：5个数的总和=中间数×5，中间数是这5个数的平均数。 3.补充规律：上下两数的和=中间数×2；左右两数的和=中间数×2。 【方法点拨】 1.已知中间数，直接乘5得到5个数的总和。 2.已知5个数的总和，直接除以5得到中间数，再通过±1、士7推出上下左右 四个数。 3.可通过“上下和、左右和是否相等”验证结果是否正确。 第5页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：日历十字框5个数的和是105，求中间的数，以及五个数分别是多少。 【对应练习】 1.十字框中间数是15，五个数的和是()。 2.十字框5个数的和是80，中间数是()。 3.十字框中间数是18，上面的数是()，下面的数是()。 4.判断：十字框5个数的和，是中间数的5倍。() 5.十字框5个数，上面是9，中间数是多少？五个数的和是多少？ 6.十字框5个数，右边是23，求五个数的和。 7.十字框5个数的和是75，最大的数是多少？ 8.十字框中间数是a,五个数的和用字母表示是()。 9.十字框5个数，最小的数是5，最大的数是多少？ 考点5：用字母表示日历中的数与规律推导 【核心知识】 1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据“横向差 第6页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 1、纵向差7”，用含字母的式子表示方框内所有数。 2通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和 与中间数的倍数关系。 3.3×3方框规律：设中间数为a,9个数的总和=9a,即总和是中间数的9倍。 a-8a-7a-6 a-1 aa+1 a+6a+7a+8 【方法点拨】 1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。 2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。 3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。 【典型例题】 例：用字母a表示日历2×2方框的左上角数，推导对角和相等的规律。 【对应练习】 1.日历中某数用x表示，它左边的数是()，右边的数是()。 2.日历中某数用y表示，它上面的数是()，下面的数是( 3.用a表示十字框中间数，上面的数是()，下面的数是( 4.用字母推导：十字框5个数的和是中间数的5倍。 5.3×3方框中间数是m,9个数的和是()。 6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。() 7.2×2方框，设右下角为b,左上角的数用b表示是()。 8.用字母推导：3×3方框9个数的和是中间数的9倍。 第7页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 9.日历中连续3个数，中间是n,三个数的和用字母表示是（)。 10.同一列3个数，最上面是a,三个数的和用字母表示是()。 考点6：百数表中的数量关系 【核心知识】 1.百数表每行有10个数，从左到右依次+1；每列有10个数，从上到下依次+ 10。 2.2×2方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为a,四个数为a,a+ 1,a+10,a+11,对角和均为2a+11。 3.十字形5个数规律：和=中间数×5，上下两数相差10，左右两数相差1。 4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差7，百数表纵向差1 0。 【方法点拨】 1.牢记百数表横向差1、纵向差10，推导方法和日历完全通用。 2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差1、差10推出其余数。 【典型例题】 例：百数表中，十字框中间数是46，求5个数的和。 【对应练习】 1.百数表中，35右边的数是()，下面的数是()。 2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是()。 3.百数表2×2方框左上角是23，另外三个数分别是()、()、( 第8页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 4.判断：百数表2×2方框对角和相等。() 5.百数表十字框5个数的和是310，中间数是多少？ 6.百数表中，58上面的数是多少？左边的数是多少？ 7.百数表2×2方框四个数的和是94，求左上角的数。 8.百数表3×3方框中间数是55,9个数的和是多少？ 考点7：日历规律的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角 数)。 2.实际日历存在边界：每月天数为28~31天，每行固定7天，框出的数不能超 出当月日期，也不能跨行错位。 3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。 【方法点拨】 1.逆向计算：总和÷对应倍数=基准数，再根据差1、差7推出其他数。 2判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。 3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以7看余数，再推算星期几。 第9页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：某月日历3×3方框9个数的和是189，求最中间的数，以及最大的数。 【对应练习】 1.某月日历十字框5个数和是120，中间数是（)。 2.2×2方框四个数和是68，最大的数是()。 3.连续3天日期和是27，这三天中最后一天是()号。 4.判断：某月日历中，2×2方框最小数是30，这四个数合理存在。() 5.3×3方框9个数和是135，最小的数是多少？ 6.10号是周四，24号是周几？ 7.某月有4个完整的星期，这个月最少有多少天？ 8.连续5个日期的和是45，这五天中第一天是几号？ 第10页共10页北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.4日历与百数表中的数量关系(7个考点)（讲义） 考点1：日历横向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加1，相邻两个数 的差为1。 2.数量关系：右边的数=左边的数+1：左边的数=右边的数-1。 3.同一行连续个数，属于公差为1的等差数列，总和=（首项+末项）×项 数÷2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。 【方法点拨】 1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加1、减1计算。 2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。 3.日历每行最多7个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。 【典型例题】 例：日历某一行有连续3个日期，中间的数是12，求这三个数分别是多少。 【分析】同一行连续三个数，从左到右依次加1。己知中间数，左边的数减 1,右边的数加1。 【详解】中间数是12，左边=12-1=11，右边=12+1=13。 【答案】11、12、13 【对应练习】 1.日历中，18号右边相邻的日期是()号，左边相邻的日期是()号。 【分析】右边相邻加1，左边相邻减1。 【详解】18+1=19,18-1=17。 【答案】19,17 2.日历同一行中，相邻两个数的差是( 【分析】同一行连续日期，后一个总比前一个大1天。 第1页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【详解】差为1。 【答案】1 3.日历某行连续四个数，第一个是5，后面三个数分别是()、( )。 【分析】连续四个数依次加1。 【详解】5+1=6,6+1=7,7+1=8。 【答案】6、7、8 4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大2。( 【分析】同一行连续三个数，如a、a+1、a+2,最大为a+2,最小为a,差为 【详解】(a+2)-a=2,说法正确。 【答案】√ 5.日历一行连续5个数的和是35，这五个数中最大的是多少？ 【分析】连续5个数的平均数是中间数，中间数=总和÷5。最大数=中间数 +2。 【详解】中间数=35÷5=7，最大数=7+2=9。 【答案】9 6.日历某行第一个数是9，这一行第6个数是多少？ 【分析】第6个数比第1个数多(6-1)=5个1，所以加5。 【详解】9+5=14。 【答案】14 7日历同一行的三个数，最大数是27，最小数是多少？ 【分析】同一行连续三个数，最小数=最大数-2。 【详解】27-2=25。 【答案】25 第2页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 8.有三个连续日期，和是24，这三天分别是几号？ 【分析】设中间数为x,则(-1)+×+(+1)=3x=24,求出×后，再得前后 两天。 【详解】3x=24,x=8。所以三天为7、8、9。 【答案】7号、8号、9号 9.日历一行中，第3个数是14，第7个数是多少？ 【分析】第7个数比第3个数多(7-3)=4个1，所以加4。 【详解】14+4=18。 【答案】18 考点2：日历纵向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加7，相邻两个数 的差为7。 2数量关系：下面的数=上面的数+7：上面的数=下面的数-7。 3.原理：一周有7天，下一周的同一天，比上一周同一天多7天，因此同列数 的星期几完全一致。 【方法点拨】 1.已知日期，求下一周同一天直接加7，求上一周同一天直接减7。 2.同一列连续数属于公差为7的等差数列，可按等差数列求和计算总数。 3.可通过纵向差7，推算某个日期对应的星期几。 【典型例题】 例：日历中某月5号是星期三，下一个星期三是几号？ 【分析】下一个星期三与5号相差一周，即7天。 【详解】5+7=12。 【答案】12号 第3页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.日历中，9号下面相邻的日期是()号，上面相邻的日期是()号。 【分析】下面加7，上面减7。 【详解】9+7=16,9-7=2。 【答案】16,2 2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是()。 【分析】同一列上下相差一周，即7天。 【答案】7 3.日历某列第一个数是3，下面三个数分别是()、()、( 【分析】依次加7。 【详解】3+7=10,10+7=17,17+7=24。 【答案】10、17、24 4判断：日历同一列的两个数，相差7天，星期几相同。( 【分析】相差7天就是整一周，星期几完全相同。 【答案】√ 5.日历某列连续3个数的和是42，中间的数是多少？ 【分析】连续3个同列数成等差数列，中间数是平均数。 【详解】42÷3=14。 【答案】14 6.16号是周一，上一个周一是几号？ 【分析】上一个周一比16号少7天。 【详解】16-7=9。 【答案】9号 7.日历同一列四个数，最下面的数是30，最上面的数是多少？ 第4页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】从上到下依次加7，最上面比最下面少3个7。 【详解】30-3×7=30-21=9。 【答案】9 8.某月有5个周日，第一个周日是3号，最后一个周日是几号？ 【分析】第5个周日比第1个周日多(5-1)=4周，即4×7=28天。 【详解】3+28=31。 【答案】31号 9.日历某列第2个数是11，第5个数是多少？ 【分析】第5个数比第2个数多(5-2)=3个7。 【详解】11+3×7=11+21=32。（注：按规律为32，但实际日历日期最多 31天，说明该列不存在第5个数，此为纯数列计第 【答案】32 考点3：日历中2×2方框的数量关系 【核心知识】 1.在日历中框出2行2列共4个数，设左上角的数为a,四个数可表示为： aa+1 a+7a+8 2.核心规律：对角两个数的和相等，即a+(a+8)=(a+1)+(a+7)= 2a+8: 3.四个数的总和=4a+16,也等于（左上角数+右下角数）×2。 【方法点拔】 1.已知左上角数，通过+1、+7、+8快速写出另外三个数。 2.已知四个数总和，先除以2得到一组对角的和，再通过“对角和-8”除以 2求出左上角数。 3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。 【典型例题】 第5页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 例：日历的2×2方框中，四个数的和是60，求这四个数分别是多少。 【分析】设左上角为a,则四数和=4a+16=60,解出a,再得其余数。 【详解】4a+16=60→4a=44→a=11。四个数：11、12、18、19。 【答案】11、12、18、19 【对应练习】 1.2×2方框左上角是7，另外三个数分别是()、()、( 【分析】右上=7+1，左下=7+7，右下=7+8。 【详解】7+1=8,7+7=14,7+8=15。 【答案】8、14、15 2.日历2×2方框中，对角两个数的和()。 【分析】根据规律，对角和相等。 【答案】相等 3.2×2方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是()和( 【分析】一组对角：8+16，另一组：9+15。 【详解】8+16=24,9+15=24。 【答案】24,24 4.判断：2×2方框四个数的和，是左上角数的4倍。( 【分析】四数和=4a+16,不是4a,所以错误。 【答案】× 5.2×2方框四个数的和是44，求左上角的数。 【分析】根据总和公式4a+16=44求解。 【详解】4a+16=44→4a=28>a=7。 【答案】7 6.2×2方框右下角的数是21，求左上角的数。 第6页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】右下角=左上角+8。 【详解】左上角=21-8=13。 【答案】13 7.2×2方框中，右上角是13，求四个数的和。 【分析】右上角=左上角+1，先求左上角，再用公式4a+16。 【详解】a=13-1=12,总和=4×12+16=48+16=64。 【答案】64 8.四个连续的日期排成2行2列，和是52，最大的数是多少？ 【分析】设左上角为a,总和=4a+16=52,求出a,最大数=a+8。 【详解】4a+16=52→4a=36→a=9,最大数=9+8=17。 【答案】17 9.2×2方框中，左下角数比右上角数大多少？ 【分析】左下角=a+7,右上角=a+1,求差。 【详解】(a+7)-(a+1)=6。 【答案】6 考点4：日历十字形(5个数)的数量规律 【核心知识】 1.日历中十字形框住5个数，设中间数为a,五个数分别为： ·上：a-7 ·左：a-1,中：a,右：a+1 ·下：a+7 2.核心规律：5个数的总和=中间数×5，中间数是这5个数的平均数。 3补充规律：上下两数的和=中间数×2；左右两数的和=中间数×2。 【方法点拨】 第7页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 1.已知中间数，直接乘5得到5个数的总和。 2.已知5个数的总和，直接除以5得到中间数，再通过±1、±7推出上下左右 四个数。 3.可通过“上下和、左右和是否相等”验证结果是否正确。 【典型例题】 例：日历十字框5个数的和是105，求中间的数，以及五个数分别是多少。 【分析】中间数=总和÷5，再通过±1、±7求上下左右。 【详解】中间数=105÷5=21。上=21-7=14，左=21-1=20，右=21+1=22， 下=21+7=28。 【答案】中间数21；五个数：14、20、21、22、28 【对应练习】 1.十字框中间数是15，五个数的和是()。 【分析】总和=中间数×5。 【详解】15×5=75。 【答案】75 2.十字框5个数的和是80，中间数是()。 【分析】中间数=总和÷5。 【详解】80÷5=16。 【答案】16 3.十字框中间数是18，上面的数是()，下面的数是()。 【分析】上面=中间-7，下面=中间+7。 【详解】18-7=11,18+7=25。 【答案】11,25 4.判断：十字框5个数的和，是中间数的5倍。() 第8页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】根据规律，5a=5×中间数，正确。 【答案】√ 5.十字框5个数，上面是9，中间数是多少？五个数的和是多少？ 【分析】上面=中间数-7，先求中间数，再求总和。 【详解】中间数=9+7=16，总和=16×5=80。 【答案】中间数16，总和80 6.十字框5个数，右边是23，求五个数的和。 【分析】右边=中间数+1，先求中间数，再求总和。 【详解】中间数=23-1=22，总和=22×5=110。 【答案】110 7.十字框5个数的和是75，最大的数是多少？ 【分析】中间数=总和÷5，最大数=中间数+7（即下面的数）。 【详解】中间数=75÷5=15，最大数=15+7=22。 【答案】22 8.十字框中间数是a,五个数的和用字母表示是（)。 【分析】根据规律，五个数和=中间数×5。 【答案】5a 9.十字框5个数，最小的数是5，最大的数是多少？ 【分析】最小数为上面的数(a-7),先求中间数a,再求最大数(a+7)。 【详解】a-7=5→a=12,最大数=12+7=19。 【答案】19 考点5：用字母表示日历中的数与规律推导 【核心知识】 1选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据“横向差 第9页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 1、纵向差7”，用含字母的式子表示方框内所有数。 2通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和 与中间数的倍数关系。 3.3×3方框规律：设中间数为a,9个数的总和=9a,即总和是中间数的9倍。 a-8a-7a-6 a-1 aa+1 a+6a+7a+8 【方法点拨】 1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。 2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。 3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。 【典型例题】 例：用字母a表示日历2×2方框的左上角数，推导对角和相等的规律。 【分析】先写出四个数的代数式，再计算两组对角和，比较是否相等。 【详解】四个数为a、a+1、a+7、a+8。 组对角和：a+(a+8)=2a+8: 另一组对角和：(a+1)+a+7)=2a+8。 两组对角和相等。 【答案】对角和均为2a+8,相等。 【对应练习】 1.日历中某数用x表示，它左边的数是()，右边的数是()。 【分析】同一行左边减1，右边加1。 【答案】X-1,+1 2.日历中某数用y表示，它上面的数是()，下面的数是()。 【分析】同一列上面减7，下面加7。 【答案】y-7,y+7 第10页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 3.用a表示十字框中间数，上面的数是()，下面的数是()。 【分析】上面=中间-7，下面=中间+7。 【答案】a-7,a+7 4.用字母推导：十字框5个数的和是中间数的5倍。 【分析】设中间数为a,写出其余四个数，求和化简。 【详解】五个数：(a-7)+(a-1)+a+a+1)+(a+7)=5a。 【答案】和为5a,是中间数的5倍 5.3×3方框中间数是m,9个数的和是()。 【分析】3x3方框9个数的和=中间数×9。 【答案】9m 6判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。( 【分析】可以选择任意位置的数作为基准（如左上角、右下角等），不是只能 选中间数。 【答案】× 7.2×2方框，设右下角为b,左上角的数用b表示是()。 【分析】右下角=左上角+8，所以左上角=右下角-8。 【答案】b-8 8.用字母推导：3×3方框9个数的和是中间数的9倍。 【分析】设中间数为a,写出3x3方框所有数的代数式，求和化简。 【详解】九个数为： a-8,a-7,a-6, a-1,a,a+1, a+6,a+7,a+8。 和=(a-8+a-7+a-6)+(a-1+a+a+1)+(a+6+a+7+a+8)=9a。 第11页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【答案】和为9a,是中间数的9倍 9.日历中连续3个数，中间是n,三个数的和用字母表示是（)。 【分析】连续三个数为n-1、n、n+1。 【详解】(n-1)+n+(n+1)=3n。 【答案】3n 10.同一列3个数，最上面是a,三个数的和用字母表示是( )o 【分析】同一列向下依次加7，三个数为a、a+7、a+14。 【详解】a+(a+7)+(a+14)=3a+21。 【答案】3a+21 考点6：百数表中的数量关系 【核心知识】 1.百数表每行有10个数，从左到右依次+1；每列有10个数，从上到下依次+ 10。 2.2×2方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为a,四个数为a,a+ 1,a+10,a+11,对角和均为2a+11。 3.十字形5个数规律：和=中间数×5，上下两数相差10，左右两数相差1。 4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差7，百数表纵向差1 0。 【方法点拨】 1.牢记百数表横向差1、纵向差10，推导方法和日历完全通用。 2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差1、差10推出其余数。 【典型例题】 例：百数表中，十字框中间数是46，求5个数的和。 【分析】百数表十字形规律与日历相同，总和=中间数×5。 第12页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【详解】46×5=230。 【答案】230 【对应练习】 1.百数表中，35右边的数是( ),下面的数是()。 【分析】右边加1，下面加10。 【详解】35+1=36,35+10=45。 【答案】36,45 2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是()。 【分析】百数表每行10个数，同一列上下差10。 【答案】10 3.百数表2×2方框左上角是23，另外三个数分别是（)、() ）。 【分析】右上=23+1，左下=23+10，右下=23+11。 【详解】24、33、34。 【答案】24、33、34 4.判断：百数表2×2方框对角和相等。() 【分析】设左上角为a,四数为a、a+1、a+10、a+11,对角和均为2a+11, 相等。 【答案】√ 5.百数表十字框5个数的和是310，中间数是多少？ 【分析】中间数=总和÷5。 【详解】310÷5=62。 【答案】62 6.百数表中，58上面的数是多少？左边的数是多少？ 第13页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】上面减10，左边减1。 【详解】58-10=48,58-1=57。 【答案】48,57 7.百数表2×2方框四个数的和是94，求左上角的数。 【分析】设左上角为a,四数和=4a+22=94,解出a。 【详解】4a+22=94→4a=72→a=18。 【答案】18 8.百数表3×3方框中间数是55,9个数的和是多少？ 【分析】3×3方框9个数的和=中间数×9。 【详解】55×9=495。 【答案】495 考点7：日历规律的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角 数)。 2.实际日历存在边界：每月天数为28~31天，每行固定7天，框出的数不能超 出当月日期，也不能跨行错位。 3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。 【方法点拨】 1.逆向计算：总和·对应倍数=基准数，再根据差1、差7推出其他数。 2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。 3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以7看余数，再推算星期几。 【典型例题】 例：某月日历3×3方框9个数的和是189，求最中间的数，以及最大的数。 第14页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 【分析】3x3方框9个数的和=中间数×9，先求中间数，最大数=中间数 +8。 【详解】中间数=189÷9=21，最大数=21+8=29。 【答案】中间数21，最大数29 【对应练习】 1.某月日历十字框5个数和是120，中间数是()。 【分析】中间数=总和÷5。 【详解】120÷5=24。 【答案】24 2.2×2方框四个数和是68，最大的数是( 【分析】设左上角为a,4a+16=68,求出a,最大数=a+8。 【详解】4a+16=68→4a=52→a=13,最大数=13+8=21。 【答案】21 3连续3天日期和是27，这三天中最后一天是()号。 【分析】设中间数为X,3x=27,X=9,最后一天=x+1。 【详解】X=9,最后一天=9+1=10。 【答案】10 4.判断：某月日历中，2×2方框最小数是30，这四个数合理存在。( 【分析】最小数为左上角a=30,则四个数为30、31、37、38.37、38超过 每月最大天数31，不合理。 【答案】× 5.3×3方框9个数和是135，最小的数是多少？ 【分析】中间数=135÷9=15，最小数=中间数-8。 【详解】15-8=7。 【答案】7 第15页共16页 北师大版六年级数学上册讲义 6.10号是周四，24号是周几？ 【分析】先算相差天数，再除以7看余数。 【详解】24-10=14天，14÷7=2周，余0，所以还是周四。 【答案】周四 7某月有4个完整的星期，这个月最少有多少天？ 【分析】4个完整星期=4×7=28天，平年2月有28天，所以最少为28天。 【答案】28天 8.连续5个日期的和是45，这五天中第一天是几号？ 【分析】设第一天为X,则5天和为x+(X+1)++2)+(X+3)+X+4)=5x+10=45, 解出X。 【详解】5x+10=45→5x=35→x=7。 【答案】7号 第16页共16页北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.4 日历与百数表中的数量关系（7个考点）（讲义） 考点 1：日历横向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数的差为 1。 2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。 3.同一行连续个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。 【方法点拨】 1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。 2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。 3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。 【典型例题】 例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。 【分析】 同一行连续三个数，从左到右依次加 1。已知中间数，左边的数减 1，右边的数加 1。 【详解】 中间数是 12，左边 = 12 - 1 = 11，右边 = 12 + 1 = 13。 【答案】 11、12、13 【对应练习】 1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。 【分析】 右边相邻加 1，左边相邻减 1。 【详解】 18 + 1 = 19，18 - 1 = 17。 【答案】 19，17 2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。 【分析】 同一行连续日期，后一个总比前一个大 1 天。 【详解】 差为 1。 【答案】 1 3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 连续四个数依次加 1。 【详解】 5 + 1 = 6，6 + 1 = 7，7 + 1 = 8。 【答案】 6、7、8 4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ） 【分析】 同一行连续三个数，如 a、a+1、a+2，最大为 a+2，最小为 a，差为 2。 【详解】 (a+2) - a = 2，说法正确。 【答案】 √ 5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？ 【分析】 连续 5 个数的平均数是中间数，中间数 = 总和 ÷ 5。最大数 = 中间数 + 2。 【详解】 中间数 = 35 ÷ 5 = 7，最大数 = 7 + 2 = 9。 【答案】 9 6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？ 【分析】 第 6 个数比第 1 个数多 (6-1)=5 个 1，所以加 5。 【详解】 9 + 5 = 14。 【答案】 14 7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？ 【分析】 同一行连续三个数，最小数 = 最大数 - 2。 【详解】 27 - 2 = 25。 【答案】 25 8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？ 【分析】 设中间数为 x，则 (x-1) + x + (x+1) = 3x = 24，求出 x 后，再得前后两天。 【详解】 3x = 24，x = 8。所以三天为 7、8、9。 【答案】 7号、8号、9号 9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？ 【分析】 第 7 个数比第 3 个数多 (7-3)=4 个 1，所以加 4。 【详解】 14 + 4 = 18。 【答案】 18 考点 2：日历纵向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数的差为 7。 2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。 3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数的星期几完全一致。 【方法点拨】 1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。 2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。 3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。 【典型例题】 例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？ 【分析】 下一个星期三与 5 号相差一周，即 7 天。 【详解】 5 + 7 = 12。 【答案】 12号 【对应练习】 1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。 【分析】 下面加 7，上面减 7。 【详解】 9 + 7 = 16，9 - 7 = 2。 【答案】 16，2 2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。 【分析】 同一列上下相差一周，即 7 天。 【答案】 7 3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 依次加 7。 【详解】 3 + 7 = 10，10 + 7 = 17，17 + 7 = 24。 【答案】 10、17、24 4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ） 【分析】 相差 7 天就是整一周，星期几完全相同。 【答案】 √ 5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？ 【分析】 连续 3 个同列数成等差数列，中间数是平均数。 【详解】 42 ÷ 3 = 14。 【答案】 14 6.16 号是周一，上一个周一是几号？ 【分析】 上一个周一比 16 号少 7 天。 【详解】 16 - 7 = 9。 【答案】 9号 7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？ 【分析】 从上到下依次加 7，最上面比最下面少 3 个 7。 【详解】 30 - 3×7 = 30 - 21 = 9。 【答案】 9 8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？ 【分析】 第 5 个周日比第 1 个周日多 (5-1)=4 周，即 4×7=28 天。 【详解】 3 + 28 = 31。 【答案】 31号 9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？ 【分析】 第 5 个数比第 2 个数多 (5-2)=3 个 7。 【详解】 11 + 3×7 = 11 + 21 = 32。(注：按规律为32，但实际日历日期最多31天，说明该列不存在第5个数，此为纯数列计算) 【答案】 32 考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系 【核心知识】 1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为，四个数可表示为： 2.核心规律：对角两个数的和相等，即 。 3.四个数的总和 = ，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。 【方法点拨】 1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。 2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以 2 求出左上角数。 3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。 【典型例题】 例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。 【分析】 设左上角为 a，则四数和 = 4a+16 = 60，解出 a，再得其余数。 【详解】 4a + 16 = 60 → 4a = 44 → a = 11。四个数：11、12、18、19。 【答案】 11、12、18、19 【对应练习】 1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 右上=7+1，左下=7+7，右下=7+8。 【详解】 7+1=8，7+7=14，7+8=15。 【答案】 8、14、15 2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。 【分析】 根据规律，对角和相等。 【答案】 相等 3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。 【分析】 一组对角：8+16，另一组：9+15。 【详解】 8+16=24，9+15=24。 【答案】 24，24 4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ） 【分析】 四数和 = 4a+16，不是 4a，所以错误。 【答案】 × 5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。 【分析】 根据总和公式 4a+16=44 求解。 【详解】 4a + 16 = 44 → 4a = 28 → a = 7。 【答案】 7 6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。 【分析】 右下角 = 左上角 + 8。 【详解】 左上角 = 21 - 8 = 13。 【答案】 13 7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。 【分析】 右上角 = 左上角 + 1，先求左上角，再用公式 4a+16。 【详解】 a = 13 - 1 = 12，总和 = 4×12 + 16 = 48 + 16 = 64。 【答案】 64 8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？ 【分析】 设左上角为 a，总和 = 4a+16 = 52，求出 a，最大数 = a+8。 【详解】 4a + 16 = 52 → 4a = 36 → a = 9，最大数 = 9+8=17。 【答案】 17 9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？ 【分析】 左下角 = a+7，右上角 = a+1，求差。 【详解】 (a+7) - (a+1) = 6。 【答案】 6 考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律 【核心知识】 1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为，五个数分别为： •上： •左：，中：，右： •下： 2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。 3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。 【方法点拨】 1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。 2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右四个数。 3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。 【典型例题】 例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。 【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5，再通过 ±1、±7 求上下左右。 【详解】 中间数 = 105 ÷ 5 = 21。上=21-7=14，左=21-1=20，右=21+1=22，下=21+7=28。 【答案】 中间数 21；五个数：14、20、21、22、28 【对应练习】 1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。 【分析】 总和 = 中间数 × 5。 【详解】 15 × 5 = 75。 【答案】 75 2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。 【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。 【详解】 80 ÷ 5 = 16。 【答案】 16 3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。 【详解】 18-7=11，18+7=25。 【答案】 11，25 4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ） 【分析】 根据规律，5a = 5×中间数，正确。 【答案】 √ 5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？ 【分析】 上面=中间数-7，先求中间数，再求总和。 【详解】 中间数 = 9+7=16，总和 = 16×5=80。 【答案】 中间数 16，总和 80 6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。 【分析】 右边=中间数+1，先求中间数，再求总和。 【详解】 中间数=23-1=22，总和=22×5=110。 【答案】 110 7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？ 【分析】 中间数=总和÷5，最大数=中间数+7（即下面的数）。 【详解】 中间数=75÷5=15，最大数=15+7=22。 【答案】 22 8.十字框中间数是，五个数的和用字母表示是（ ）。 【分析】 根据规律，五个数和 = 中间数×5。 【答案】 5a 9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？ 【分析】 最小数为上面的数（a-7），先求中间数 a，再求最大数（a+7）。 【详解】 a-7=5 → a=12，最大数=12+7=19。 【答案】 19 考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导 【核心知识】 1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差 1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。 2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和与中间数的倍数关系。 3.3×3 方框规律：设中间数为，9 个数的总和 = ，即总和是中间数的 9 倍。 【方法点拨】 1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。 2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。 3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。 【典型例题】 例：用字母表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。 【分析】 先写出四个数的代数式，再计算两组对角和，比较是否相等。 【详解】 四个数为 a、a+1、a+7、a+8。 一组对角和：a+(a+8)=2a+8； 另一组对角和：(a+1)+(a+7)=2a+8。 两组对角和相等。 【答案】 对角和均为 2a+8，相等。 【对应练习】 1.日历中某数用表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。 【分析】 同一行左边减 1，右边加 1。 【答案】 x-1，x+1 2.日历中某数用表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 【分析】 同一列上面减 7，下面加 7。 【答案】 y-7，y+7 3.用表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。 【答案】 a-7，a+7 4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。 【分析】 设中间数为 a，写出其余四个数，求和化简。 【详解】 五个数：(a-7)+(a-1)+a+(a+1)+(a+7) = 5a。 【答案】 和为 5a，是中间数的 5 倍 5.3×3 方框中间数是，9 个数的和是（ ）。 【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。 【答案】 9m 6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ） 【分析】 可以选择任意位置的数作为基准（如左上角、右下角等），不是只能选中间数。 【答案】 × 7.2×2 方框，设右下角为，左上角的数用表示是（ ）。 【分析】 右下角 = 左上角 + 8，所以左上角 = 右下角 - 8。 【答案】 b-8 8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。 【分析】 设中间数为 a，写出 3×3 方框所有数的代数式，求和化简。 【详解】 九个数为： a-8, a-7, a-6, a-1, a, a+1, a+6, a+7, a+8。 和 = (a-8+a-7+a-6)+(a-1+a+a+1)+(a+6+a+7+a+8) = 9a。 【答案】 和为 9a，是中间数的 9 倍 9.日历中连续 3 个数，中间是，三个数的和用字母表示是（ ）。 【分析】 连续三个数为 n-1、n、n+1。 【详解】 (n-1)+n+(n+1) = 3n。 【答案】 3n 10.同一列 3 个数，最上面是，三个数的和用字母表示是（ ）。 【分析】 同一列向下依次加 7，三个数为 a、a+7、a+14。 【详解】 a+(a+7)+(a+14) = 3a+21。 【答案】 3a+21 考点 6：百数表中的数量关系 【核心知识】 1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 + 10。 2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为，四个数为，对角和均为。 3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。 4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 10。 【方法点拨】 1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。 2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。 【典型例题】 例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。 【分析】 百数表十字形规律与日历相同，总和 = 中间数×5。 【详解】 46 × 5 = 230。 【答案】 230 【对应练习】 1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。 【分析】 右边加 1，下面加 10。 【详解】 35+1=36，35+10=45。 【答案】 36，45 2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。 【分析】 百数表每行 10 个数，同一列上下差 10。 【答案】 10 3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【分析】 右上=23+1，左下=23+10，右下=23+11。 【详解】 24、33、34。 【答案】 24、33、34 4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ） 【分析】 设左上角为 a，四数为 a、a+1、a+10、a+11，对角和均为 2a+11，相等。 【答案】 √ 5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？ 【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。 【详解】 310 ÷ 5 = 62。 【答案】 62 6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？ 【分析】 上面减 10，左边减 1。 【详解】 58-10=48，58-1=57。 【答案】 48，57 7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。 【分析】 设左上角为 a，四数和 = 4a+22 = 94，解出 a。 【详解】 4a + 22 = 94 → 4a = 72 → a = 18。 【答案】 18 8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？ 【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。 【详解】 55 × 9 = 495。 【答案】 495 考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角数）。 2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超出当月日期，也不能跨行错位。 3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。 【方法点拨】 1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。 2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。 3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。 【典型例题】 例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。 【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9，先求中间数，最大数 = 中间数+8。 【详解】 中间数 = 189 ÷ 9 = 21，最大数 = 21 + 8 = 29。 【答案】 中间数 21，最大数 29 【对应练习】 1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。 【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。 【详解】 120 ÷ 5 = 24。 【答案】 24 2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。 【分析】 设左上角为 a，4a+16=68，求出 a，最大数=a+8。 【详解】 4a+16=68 → 4a=52 → a=13，最大数=13+8=21。 【答案】 21 3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。 【分析】 设中间数为 x，3x=27，x=9，最后一天=x+1。 【详解】 x=9，最后一天=9+1=10。 【答案】 10 4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ） 【分析】 最小数为左上角 a=30，则四个数为 30、31、37、38。37、38 超过每月最大天数 31，不合理。 【答案】 × 5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？ 【分析】 中间数=135÷9=15，最小数=中间数-8。 【详解】 15-8=7。 【答案】 7 6.10 号是周四，24 号是周几？ 【分析】 先算相差天数，再除以 7 看余数。 【详解】 24-10=14 天，14÷7=2 周，余 0，所以还是周四。 【答案】 周四 7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？ 【分析】 4 个完整星期 = 4×7=28 天，平年 2 月有 28 天，所以最少为 28 天。 【答案】 28天 8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？ 【分析】 设第一天为 x，则 5 天和为 x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=45，解出 x。 【详解】 5x+10=45 → 5x=35 → x=7。 【答案】 7号 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.4 日历与百数表中的数量关系（7个考点）（讲义） 考点 1：日历横向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数的差为 1。 2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。 3.同一行连续个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。 【方法点拨】 1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。 2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。 3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。 【典型例题】 例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。 【对应练习】 1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。 2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。 3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ） 5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？ 6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？ 7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？ 8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？ 9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？ 考点 2：日历纵向相邻数的规律 【核心知识】 1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数的差为 7。 2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。 3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数的星期几完全一致。 【方法点拨】 1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。 2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。 3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。 【典型例题】 例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？ 【对应练习】 1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。 2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。 3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ） 5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？ 6.16 号是周一，上一个周一是几号？ 7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？ 8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？ 9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？ 考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系 【核心知识】 1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为，四个数可表示为： 2.核心规律：对角两个数的和相等，即 。 3.四个数的总和 = ，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。 【方法点拨】 1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。 2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以 2 求出左上角数。 3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。 【典型例题】 例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。 【对应练习】 1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。 3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。 4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ） 5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。 6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。 7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。 8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？ 9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？ 考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律 【核心知识】 1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为，五个数分别为： •上： •左：，中：，右： •下： 2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。 3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。 【方法点拨】 1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。 2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右四个数。 3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。 【典型例题】 例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。 【对应练习】 1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。 2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。 3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ） 5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？ 6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。 7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？ 8.十字框中间数是，五个数的和用字母表示是（ ）。 9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？ 考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导 【核心知识】 1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差 1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。 2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和与中间数的倍数关系。 3.3×3 方框规律：设中间数为，9 个数的总和 = ，即总和是中间数的 9 倍。 【方法点拨】 1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。 2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。 3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。 【典型例题】 例：用字母表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。 【对应练习】 1.日历中某数用表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。 2.日历中某数用表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 3.用表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。 5.3×3 方框中间数是，9 个数的和是（ ）。 6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ） 7.2×2 方框，设右下角为，左上角的数用表示是（ ）。 8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。 9.日历中连续 3 个数，中间是，三个数的和用字母表示是（ ）。 10.同一列 3 个数，最上面是，三个数的和用字母表示是（ ）。 考点 6：百数表中的数量关系 【核心知识】 1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 + 10。 2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为，四个数为，对角和均为。 3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。 4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 10。 【方法点拨】 1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。 2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。 【典型例题】 例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。 【对应练习】 1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。 2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。 3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ） 5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？ 6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？ 7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。 8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？ 考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用 【核心知识】 1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角数）。 2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超出当月日期，也不能跨行错位。 3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。 【方法点拨】 1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。 2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。 3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。 【典型例题】 例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。 【对应练习】 1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。 2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。 3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。 4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ） 5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？ 6.10 号是周四，24 号是周几？ 7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？ 8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $