3.2《探索规律（一）》（4个考点） (讲义)-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本小学数学讲义聚焦探索规律，从拼接三角形、正方形的线性规律（如2n+1、3n+1）入手，通过字母式化简与代入求值巩固规律表达，再借助方程思想反求图形个数，最终延伸到生活（磁扣、栏杆）与点阵（平方点阵）的综合应用，构建完整学习支架。 该资料以“具体操作-规律抽象-符号表达-反向应用-生活迁移”为主线，通过枚举数据找增量、双重验算保准确等方法，强化推理意识与模型意识，如拼接正方形规律推导及磁扣n+1模型建立。课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.2《探索规律（一）》（4个考点） 考点1：拼接图形线性规律（小棒拼接） 【核心知识】 1. 常见模型：并排拼接三角形、正方形、梯形等，图形之间共用一条边，节省小棒。 2. 通用规律结构：总根数 = 基础根数 + 每增加1个图形的增量 × (个数－1) 3. 必考基础规律： 拼接三角形：3、5、7、9…… 规律最简式：2n＋1 拼接正方形：4、7、10、13…… 规律最简式：3n＋1 4. 关键特点：属于等差规律，每多一个图形，增加的小棒数量固定。 【方法点拨】 1. 先列举前3组数据，找出固定增量； 2. 先写展开式，再化简成最简字母式子； 3. 禁止直接用“单个图形根数×个数”，忽略共用边会出错。 【典型例题】 例：并排拼接三角形，写出n个三角形需要的小棒总数最简关系式。 分析： 1个三角形需要3根；2个并排拼时，共用1条边，少1根，需5根；3个拼时，再少1根，需7根。 每次多1个三角形，只增加2根，固定增量是2。 详解： 首项3，增量2 → 展开式：3 + 2(n−1) 化简：3 + 2n − 2 = 2n + 1 答案：2n + 1 【对应练习】 1. 并排拼接正方形，写出n个正方形的小棒最简规律式。 分析： 1个正方形4根；2个并排拼，共用1条边，需7根；3个拼，需10根。 每次多1个正方形，增加3根。 详解： 首项4，增量3 → 4 + 3(n−1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1 答案：3n + 1 2. 摆12个拼接三角形，一共需要多少根小棒？ 分析： 三角形规律已得最简式 2n + 1，直接代入求值。 详解： 2×12 + 1 = 24 + 1 = 25 答案：25根 3. 判断：拼接三角形可以用 3n 表示总小棒数（对/错并说明理由）。 分析： 3n 表示每个三角形单独用3根，完全不考虑共用边。 实际拼接时，相邻三角形共用1条边，每多1个只增加2根，不是3根。 详解： n=2时，3n=6，但实际是5根，等式不成立，所以错误。 答案：错，正确规律是 2n + 1，不是 3n。 4. 并排拼接梯形，1个梯形4根，每多1个加3根，求n个梯形的规律式。 分析： 首项直接给出4，增量直接给出3，属于已知等差规律。 详解： 4 + 3(n−1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1 答案：3n + 1 考点2：规律字母式化简与代入求值 【核心知识】 1. 所有拼接图形规律都是一次字母式子，可以化简： 例如：3＋2(n－1) = 2n＋1、4＋3(n－1) = 3n＋1 2. 代入求值方法：将图形个数n代入最简式，先乘后加减。 3. 考试必考两类：已知个数求总数、两种式子互相验证。 【方法点拨】 1. 做题优先化简式子，计算更简单、不易错； 2. 代入数字时，数字和字母之间必须补齐乘号； 3. 可以用原式、最简式双重验算结果。 【典型例题】 例：规律式 3n＋1，求摆30个正方形需要多少根小棒？ 分析： 这是直接代入求值题，n=30。 详解： 3×30 + 1 = 90 + 1 = 91 答案：91根 【对应练习】 1. 利用规律 2n＋1，计算n=40时小棒总数。 分析： 直接代入。 详解： 2×40 + 1 = 80 + 1 = 81 答案：81 2. 将式子 5＋4(n－1) 化简，并求n=20的值。 分析： 先展开化简，再代入。 详解： 化简：5 + 4n − 4 = 4n + 1 代入 n=20：4×20 + 1 = 80 + 1 = 81 答案：最简式 4n + 1，值为 81 3. 规律3n＋1，求n=28的结果。 分析： 直接代入。 详解： 3×28 + 1 = 84 + 1 = 85 答案：85 4. 分别用原式和最简式验证：n=15时，2＋3(n－1) 和 3n－1 结果相等。 分析： 先化简第二个式子为 3n−1，再分别代入验证。 详解： 原式：2 + 3×(15−1) = 2 + 42 = 44 最简式：3×15 − 1 = 45 − 1 = 44 两者相等。 答案：相等，均为44，验证正确 考点3：已知总数反求图形个数（方程思想） 【核心知识】 1. 题型反向考查：已知小棒总根数，求能摆多少个图形。 2. 解题核心：把规律式子当成方程，利用逆运算求n。 3. 重要限制：图形个数n必须是正整数，小数、分数都不符合实际。 4. 常用逆推公式： 三角形：n = (总根数－1) ÷ 2 正方形：n = (总根数－1) ÷ 3 【方法点拨】 1. 先列方程，再用逆运算一步步求解； 2. 算出结果必须检验：是否为整数、是否符合题意； 3. 不能整除说明不能刚好摆完。 【典型例题】 例：现有61根小棒，按规律3n＋1摆正方形，能摆多少个？ 分析： 将总数代入规律式，反解n，必须为整数。 详解： 3n + 1 = 61 3n = 60 n = 20 答案：20个 【对应练习】 1. 49根小棒摆拼接三角形，能摆多少个？ 分析： 三角形规律 2n + 1。 详解： 2n + 1 = 49 2n = 48 n = 24 答案：24个 2. 76根小棒按3n＋1摆正方形，求图形个数。 分析： 直接列方程。 详解： 3n + 1 = 76 3n = 75 n = 25 答案：25个 3. 81根小棒，规律4n＋1，能摆几个图形？ 分析： 列方程反解。 详解： 4n + 1 = 81 4n = 80 n = 20 答案：20个 4. 32根小棒摆三角形，能否刚好摆完？说明理由。 分析： 三角形规律 2n + 1，反解n看是否为整数。 详解： 2n + 1 = 32 2n = 31 n = 15.5 不是正整数，不符合实际图形个数。 答案：不能，因为n不是整数，31不能被2整除。 考点4：生活与点阵图形规律综合 【核心知识】 1. 生活线性规律（必考）：贴画磁扣、种树、摆房子、栏杆立柱，全部为等差规律。 通用式：总数 = 增量×n ＋ 固定数 2. 点阵规律两类： 等差点阵：2n、2n+3 等 平方点阵：第n个点阵点数 = n² 3. 小房子规律：5n＋1 4. 贴画磁扣规律：n幅作品需要 n＋1 个磁扣 【方法点拨】 1. 枚举前3组数据快速找规律； 2. 两端都有点的场景：数量总比段数多1； 3. 点阵优先判断是等差还是平方规律。 【典型例题】 例：一排粘贴n幅绘画作品，每两幅共用一个磁扣，两端都有磁扣，求磁扣总数。 分析： 两端都有磁扣，相当于“段数+1”模型，n幅画之间有n−1个间隔，每个间隔共用1个磁扣，两端各1个。 详解： 总数 = (n−1) + 2 = n + 1 答案：n + 1 【对应练习】 1. 摆放18幅画，需要多少个磁扣？ 分析： 利用上面规律 n + 1。 详解： 18 + 1 = 19 答案：19个 2. 小房子规律5n＋1，摆12个房子需要多少根小棒？ 分析： 直接代入。 详解： 5×12 + 1 = 60 + 1 = 61 答案：61根 3. 方形点阵第10个图形有多少个点？ 分析： 方形点阵规律是平方数：1², 2², 3², ... 详解： 第10个 = 10² = 100 答案：100个点 4. 一段栏杆有n段，两端都有立柱，立柱数量规律是什么？ 分析： 1段有2根立柱，2段有3根，3段有4根，即段数+1。 详解： n段 → n + 1 根 答案：n + 1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.2《探索规律（一)》(4个考点) 考点1：拼接图形线性规律（小棒拼接） 【核心知识】 1.常见模型：并排拼接三角形、正方形、梯形等，图形之间共用一条边，节省 小棒。 2.通用规律结构：总根数=基础根数+每增加1个图形的增量×（个数一1） 3.必考基础规律： 拼接三角形：3、5、7、9...规律最简式：2n+1 拼接正方形：4、7、10、13...规律最简式：3n+1 4.关键特点：属于等差规律，每多一个图形，增加的小棒数量固定。 【方法点拨】 1.先列举前3组数据，找出固定增量； 2.先写展开式，再化简成最简字母式子： 3.禁止直接用“单个图形根数×个数”，忽略共用边会出错。 【典型例题】 例：并排拼接三角形，写出n个三角形需要的小棒总数最简关系式。 分析： 1个三角形需要3根；2个并排拼时，共用1条边，少1根，需5根；3个拼 时，再少1根，需7根。 每次多1个三角形，只增加2根，固定增量是2。 详解 首项3，增量2→展开式：3+2(n-1) 化简：3+2n-2=2n+1 第1页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：2n+1 【对应练习】 1.并排拼接正方形，写出n个正方形的小棒最简规律式。 分析： 1个正方形4根；2个并排拼，共用1条边，需7根；3个拼，需10根。 每次多1个正方形，增加3根。 详解： 首项4，增量3→4+3(n-1) =4+3n-3=3n+1 答案：3n+1 2.摆12个拼接三角形，一共需要多少根小棒？ 分析： 三角形规律已得最简式2n+1,直接代入求值。 详解： 2×12+1=24+1=25 第2页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：25根 3.判断：拼接三角形可以用3n表示总小棒数（对/错并说明理由）。 分析： 3n表示每个三角形单独用3根，完全不考虑共用边。 实际拼接时，相邻三角形共用1条边，每多1个只增加2根，不是3根。 详解： n=2时，3n=6,但实际是5根，等式不成立，所以错误。 答案：错，正确规律是2n+1,不是3n。 4.并排拼接梯形，1个梯形4根，每多1个加3根，求n个梯形的规律式。 分析： 首项直接给出4，增量直接给出3，属于已知等差规律。 详解： 4+3(n-1)=4+3n-3=3n+1 答案：3n+1 考点2：规律字母式化简与代入求值 【核心知识】 1.所有拼接图形规律都是一次字母式子，可以化简： 例如：3+2n-1)=2n+1、4+3n-1)=3n+1 2.代入求值方法：将图形个数n代入最简式，先乘后加减。 3.考试必考两类：已知个数求总数、两种式子互相验证。 【方法点拨】 第3页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 1.做题优先化简式子，计算更简单、不易错： 2.代入数字时，数字和字母之间必须补齐乘号： 3.可以用原式、最简式双重验算结果。 【典型例题】 例：规律式3+1，求摆30个正方形需要多少根小棒？ 分析： 这是直接代入求值题，n=30。 详解： 3×30+1=90+1=91 答案：91根 【对应练习】 1.利用规律2n十1，计算n=40时小棒总数。 分析： 直接代入。 详解 2×40+1=80+1=81 答案：81 2.将式子5+4n-1)化简，并求n=20的值。 分析： 先展开化简，再代入。 详解 第4页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 化简：5+4n-4=4n+1 代入n=20:4×20+1=80+1=81 答案：最简式4知+1，值为81 3.规律3n+1,求n=28的结果。 分析： 直接代入。 详解： 3×28+1=84+1=85 答案：85 4.分别用原式和最简式验证：n=15时，2+3n一1)和3n-1结果相等。 分析： 先化简第二个式子为3n-1,再分别代入验证。 详解： 原式：2+3×(15-1)=2+42=44 最简式：3×15-1=45-1=44 两者相等。 答案：相等，均为44，验证正确 考点3：已知总数反求图形个数（方程思想） 【核心知识】 1.题型反向考查：已知小棒总根数，求能摆多少个图形。 第5页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 2.解题核心：把规律式子当成方程，利用逆运算求n。 3.重要限制：图形个数必须是正整数，小数、分数都不符合实际。 4.常用逆推公式： 三角形：n=(总根数一1)÷2 正方形：n=(总根数一1)÷3 【方法点拨】 1.先列方程，再用逆运算一步步求解： 2.算出结果必须检验：是否为整数、是否符合题意： 3.不能整除说明不能刚好摆完。 【典型例题】 例：现有61根小棒，按规律3n十1摆正方形，能摆多少个？ 分析： 将总数代入规律式，反解n,必须为整数。 详解： 3n+1=61 3n=60 n=20 答案：20个 【对应练习】 1.49根小棒摆拼接三角形，能摆多少个？ 分析： 三角形规律2n+1。 第6页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 详解： 2n+1=49 2n=48 n=24 答案：24个 2.76根小棒按3+1摆正方形，求图形个数。 分析： 直接列方程。 详解： 3n+1=76 3n=75 h=25 答案：25个 3.81根小棒，规律4n十1，能摆几个图形？ 分析： 列方程反解。 详解： 4n+1=81 4n=80 第7页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 n=20 答案：20个 4.32根小棒摆三角形，能否刚好摆完？说明理由。 分析： 三角形规律2n+1,反解n看是否为整数。 详解： 2n+1=32 2n=31 n=15.5 不是正整数，不符合实际图形个数。 答案：不能，因为n不是整数，31不能被2整除。 考点4：生活与点阵图形规律综合 【核心知识】 1.生活线性规律（必考）：贴画磁扣、种树、摆房子、栏杆立柱，全部为等差 规律。 通用式：总数=增量×n+固定数 2.点阵规律两类： 等差点阵：2n、2n+3等 平方点阵：第n个点阵点数=n2 3.小房子规律：5n+1 4.贴画磁扣规律：n幅作品需要n+1个磁扣 【方法点拨】 第8页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 1.枚举前3组数据快速找规律： 2.两端都有点的场景：数量总比段数多1： 3.点阵优先判断是等差还是平方规律。 【典型例题】 例：一排粘贴n幅绘画作品，每两幅共用一个磁扣，两端都有磁扣，求磁扣总 数。 分析： 两端都有磁扣，相当于“段数+1”模型，n幅画之间有n-1个间隔，每个间隔 共用1个磁扣，两端各1个。 详解： 总数=(n-1)+2=n+1 答案：n+1 【对应练习】 1.摆放18幅画，需要多少个磁扣？ 分析： 利用上面规律n+1。 详解： 18+1=19 答案：19个 2.小房子规律5n+1,摆12个房子需要多少根小棒？ 分析： 第9页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 直接代入。 详解： 5×12+1=60+1=61 答案：61根 3.方形点阵第10个图形有多少个点？ 分析： 方形点阵规律是平方数：12,22,32，·· 详解： 第10个=102=100 答案：100个点 4.一段栏杆有n段，两端都有立柱，立柱数量规律是什么？ 分析： 1段有2根立柱，2段有3根，3段有4根，即段数+1。 详解： n段→n+1根 答案：n+1 第10页共10页北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.2《探索规律（一）》（4个考点） 考点1：拼接图形线性规律（小棒拼接） 【核心知识】 1. 常见模型：并排拼接三角形、正方形、梯形等，图形之间共用一条边，节省小棒。 2. 通用规律结构：总根数 = 基础根数 + 每增加1个图形的增量 × (个数－1) 3. 必考基础规律： 拼接三角形：3、5、7、9…… 规律最简式：2n＋1 拼接正方形：4、7、10、13…… 规律最简式：3n＋1 4. 关键特点：属于等差规律，每多一个图形，增加的小棒数量固定。 【方法点拨】 1. 先列举前3组数据，找出固定增量； 2. 先写展开式，再化简成最简字母式子； 3. 禁止直接用“单个图形根数×个数”，忽略共用边会出错。 【典型例题】 例：并排拼接三角形，写出n个三角形需要的小棒总数最简关系式。 【对应练习】 1. 并排拼接正方形，写出n个正方形的小棒最简规律式。 2. 摆12个拼接三角形，一共需要多少根小棒？ 3. 判断：拼接三角形可以用 3n 表示总小棒数（对/错并说明理由）。 4. 并排拼接梯形，1个梯形4根，每多1个加3根，求n个梯形的规律式。 考点2：规律字母式化简与代入求值 【核心知识】 1. 所有拼接图形规律都是一次字母式子，可以化简： 例如：3＋2(n－1) = 2n＋1、4＋3(n－1) = 3n＋1 2. 代入求值方法：将图形个数n代入最简式，先乘后加减。 3. 考试必考两类：已知个数求总数、两种式子互相验证。 【方法点拨】 1. 做题优先化简式子，计算更简单、不易错； 2. 代入数字时，数字和字母之间必须补齐乘号； 3. 可以用原式、最简式双重验算结果。 【典型例题】 例：规律式 3n＋1，求摆30个正方形需要多少根小棒？ 【对应练习】 1. 利用规律 2n＋1，计算n=40时小棒总数。 2. 将式子 5＋4(n－1) 化简，并求n=20的值。 3. 规律3n＋1，求n=28的结果。 4. 分别用原式和最简式验证：n=15时，2＋3(n－1) 和 3n－1 结果相等。 考点3：已知总数反求图形个数（方程思想） 【核心知识】 1. 题型反向考查：已知小棒总根数，求能摆多少个图形。 2. 解题核心：把规律式子当成方程，利用逆运算求n。 3. 重要限制：图形个数n必须是正整数，小数、分数都不符合实际。 4. 常用逆推公式： 三角形：n = (总根数－1) ÷ 2 正方形：n = (总根数－1) ÷ 3 【方法点拨】 1. 先列方程，再用逆运算一步步求解； 2. 算出结果必须检验：是否为整数、是否符合题意； 3. 不能整除说明不能刚好摆完。 【典型例题】 例：现有61根小棒，按规律3n＋1摆正方形，能摆多少个？ 【对应练习】 1. 49根小棒摆拼接三角形，能摆多少个？ 2. 76根小棒按3n＋1摆正方形，求图形个数。 3. 81根小棒，规律4n＋1，能摆几个图形？ 4. 32根小棒摆三角形，能否刚好摆完？说明理由。 考点4：生活与点阵图形规律综合 【核心知识】 1. 生活线性规律（必考）：贴画磁扣、种树、摆房子、栏杆立柱，全部为等差规律。 通用式：总数 = 增量×n ＋ 固定数 2. 点阵规律两类： 等差点阵：2n、2n+3 等 平方点阵：第n个点阵点数 = n² 3. 小房子规律：5n＋1 4. 贴画磁扣规律：n幅作品需要 n＋1 个磁扣 【方法点拨】 1. 枚举前3组数据快速找规律； 2. 两端都有点的场景：数量总比段数多1； 3. 点阵优先判断是等差还是平方规律。 【典型例题】 例：一排粘贴n幅绘画作品，每两幅共用一个磁扣，两端都有磁扣，求磁扣总数。 【对应练习】 1. 摆放18幅画，需要多少个磁扣？ 2. 小房子规律5n＋1，摆12个房子需要多少根小棒？ 3. 方形点阵第10个图形有多少个点？ 4. 一段栏杆有n段，两端都有立柱，立柱数量规律是什么？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.2《探索规律（一)》(4个考点) 考点1：拼接图形线性规律（小棒拼接） 【核心知识】 1.常见模型：并排拼接三角形、正方形、梯形等，图形之间共用一条边，节省 小棒。 2.通用规律结构：总根数=基础根数+每增加1个图形的增量×（个数一1） 3.必考基础规律： 拼接三角形：3、5、7、9...规律最简式：2n+1 拼接正方形：4、7、10、13...规律最简式：3n+1 4.关键特点：属于等差规律，每多一个图形，增加的小棒数量固定。 【方法点拨】 1.先列举前3组数据，找出固定增量： 2.先写展开式，再化简成最简字母式子： 3.禁止直接用“单个图形根数×个数”，忽略共用边会出错。 【典型例题】 例：并排拼接三角形，写出n个三角形需要的小棒总数最简关系式。 【对应练习】 1.并排拼接正方形，写出门个正方形的小棒最简规律式。 第1页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 2.摆12个拼接三角形，一共需要多少根小棒？ 3.判断：拼接三角形可以用3表示总小棒数（对/错并说明理由）。 4.并排拼接梯形，1个梯形4根，每多1个加3根，求n个梯形的规律式。 考点2：规律字母式化简与代入求值 【核心知识】 1.所有拼接图形规律都是一次字母式子，可以化简： 例如：3+2n-1)=2n+1、4+3n-1)=3n+1 2.代入求值方法：将图形个数代入最简式，先乘后加减。 3.考试必考两类：已知个数求总数、两种式子互相验证。 【方法点拨】 1.做题优先化简式子，计算更简单、不易错： 2.代入数字时，数字和字母之间必须补齐乘号： 3.可以用原式、最简式双重验算结果。 【典型例题】 例：规律式3+1，求摆30个正方形需要多少根小棒？ 第2页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.利用规律2n+1,计算n=40时小棒总数。 2.将式子5+4n-1)化简，并求n=20的值。 3.规律3n+1,求n=28的结果。 4.分别用原式和最简式验证：n=15时，2+3(n一1)和3n-1结果相等。 考点3：已知总数反求图形个数（方程思想） 【核心知识】 1.题型反向考查：已知小棒总根数，求能摆多少个图形。 2.解题核心：把规律式子当成方程，利用逆运算求n。 3.重要限制：图形个数必须是正整数，小数、分数都不符合实际。 4.常用逆推公式： 三角形：n=(总根数一1)÷2 正方形：n=(总根数一1)÷3 【方法点拨】 1.先列方程，再用逆运算一步步求解： 2.算出结果必须检验：是否为整数、是否符合题意： 3.不能整除说明不能刚好摆完。 第3页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：现有61根小棒，按规律3+1摆正方形，能摆多少个？ 【对应练习】 1.49根小棒摆拼接三角形，能摆多少个？ 2.76根小棒按3n+1摆正方形，求图形个数。 3.81根小棒，规律4n+1,能摆几个图形？ 4.32根小棒摆三角形，能否刚好摆完？说明理由。 考点4：生活与点阵图形规律综合 【核心知识】 1.生活线性规律（必考）：贴画磁扣、种树、摆房子、栏杆立柱，全部为等差 规律。 通用式：总数=增量xn+固定数 2.点阵规律两类： 等差点阵：2n、2n+3等 平方点阵：第n个点阵点数=n2 第4页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 3.小房子规律：5n+1 4.贴画磁扣规律：n幅作品需要n十1个磁扣 【方法点拨】 1.枚举前3组数据快速找规律： 2.两端都有点的场景：数量总比段数多1： 3.点阵优先判断是等差还是平方规律。 【典型例题】 例：一排粘贴门幅绘画作品，每两幅共用一个磁扣，两端都有磁扣，求磁扣总 数。 【对应练习】 1.摆放18幅画，需要多少个磁扣？ 2.小房子规律5n+1,摆12个房子需要多少根小棒？ 3.方形点阵第10个图形有多少个点？ 4.一段栏杆有段，两端都有立柱，立柱数量规律是什么？ 第5页共5页