上海市光明中学2025-2026学年第一学期学业质量调研高三数学试卷

光明中学2025学年第一学期学业质量调研 高三数学 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】 1.若集合A={-2,0,1},B={xx<-1或x>0},则A∩B= 2.不等式x(x-1)<0的解为 3.己知向量a=(2,元，-1)，b=(2,1-4),若ā⊥b,则2= 4.己知圆锥的底面半径为√2，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 5.随机变量X服从正态分布N2,σ2)，若P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)= 6.己知ax∈[0，元]，且2cos2a-3cosa=5,则= 7.已知一个三角形的三边长分别为2,3,4，则这个三角形外接圆的直径为 8.已知等比数列{a}是严格减数列，其前n项和为S,a=2,若41,2a2,343成等差数列，则 limS,= 200 9.已知平面向量a,3满足a=3,=4,a.万=4，若平面向量c满足E-=1,则E-a的最 大值为 10已湖双击线号。-16>06>0：以双信线的吉顶点4为题心，力为半轻作圆，风A与 双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若∠MAN=60°，则双曲线的离心率为 11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探照灯 对警戒区域进行探查扫描 假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地AA,B,B,: 假设2：视探照灯为点M,且距离地面20米： 假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆： 当探照灯M以某一俯角从A,Ax+1侧扫描到B,B+1侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地 面上的光斑形成一个扇环S(k=1,2,3).由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环S,、S,、 S3… 第一次扫描时，光斑的长轴为EF,OE上30米，此时在探照灯M处测得点F的俯角为30° (如下右图).记A,A+1=d4,经测量知A,A=80米，且{d}是公差约为0.1米的等差数列， 1 则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕. An S1S2S3 M30° B1 20 289 Bn 30 12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、五满足：a-b=2,b上1，且存在实数t, 使得a-2a+tb上0成立，则由a构成的空间几何体的体积是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分， 否则一律得零分.】 13.若a>b,c<0,则下列不等式成立的是 A.a>b-c B.9、b C.a+c<b+c cc D.ac2>bc2 14.已知函数y=f(x),其中y=x2+1,y=g(x),其中g(x)=4sinx,则图像如图所示的 函数可能是( A.y= g(x) f(x) B.y= f(x) g(x) c.y=f(x)+g(x)-1 D.y=f(x)-g(x)-1 第14题图 15.给出下列4个命题： ①若事件A和事件B互斥，则P(A∩B)=P(A)P(B); ②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10： ③已知y关于x的回归方程为y=-0.5x+0.7,则样本点(2，-1)的离差为-0.7： 0 1 ④随机变量X的分布为 2 3 则其数学期望E[x]=1.6. 0.20.20.30.3 其中正确命题的序号为 () A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 16.数列{a,}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n,总存在正整数m,使得S,4m,则 称数列{a}为“某数列”.现有如下两个命题： ①等比数列{2}为“某数列” 2 ②对任意的等差数列{an},总存在两个“某数列”bn}和{Cn},使得an=bn+cm 则下列选项中正确的是 ). A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明：PO1平面ABC: (2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. M 3 18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分) 在锐角三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若CD为CA在CB方向上的 投影向量，且满足2csiB=V5CD. (1)求cosC的值； (2)若b=√5，a=3 ccos B,求△ABC的周长. 19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分) 如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中∠APC=90°，∠PAC=30°，AC=2AB, ∠BCA=30°.将三角形ABC沿AC折起，使得平面PAC⊥平面ABC,如右下图2.设O是 AC的中点，D是AP的中点. (1)求直线BD与平面PAC所成角的大小： (2)连接PB,设平面DBO与平面PBC的交线为直线1，判别I与PC的位置关系，并说 明理由。 第19题图2 第19题图1 20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小 题满分8分) 已知椭圆T:x+y 京+左-1(a>b>0)的焦距为2V5,点(0,1)准椭圆T上，动直线L与椭圆T 相交于不同的两点A,B,且直线PA,PB的斜率之积为1. (1)求椭圆工的标准方程： (②)若直线PA的法向量为n=(1,-2),求直线1的方程； (3)是否存在直线L,使得△PAB为直角三角形？若存在，求出直线1的斜率；若不存在，请 说明理由， 21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小 题满分8分) 函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(ox)(o>0) 1)若0=1，直线1与曲线y=g)相切于点（号，）.求直线1的方程： (2)函数y=g(x)的最小正周期是2元，令h(x)=x·g(x)-lnx,将函数y=h(x)的零点由 小到大依次记为x,,,x,…(n≥1，neW),证明：数列{sinx}是严格减数列： (3)己知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+2a)=-f(x)(a>0), 对任意x∈[0,2a,当x≠a时，都有f(x)<f(a)且f(a=1. i记F(田)=f)+g(),G()=f()+g(x+) 当®=π时，是否存在x、x∈R，使得F(x)=G(x)+4成立？若存在，求出符合题意 的x、x;若不存在，请说明理由. 参考答案及评分标准 一、填空题 1.{←2,1}：2.(0,1)：3.-8；4、2W2元 5、0.14 6、π 4、2W2元 5、0.14 6、元 2W3 8元 10. 11.15 12. 3 二、选择题 13.D;14.A:15.C;16.C. 三、解答题 17.解(1)因为AP=CP-=AC-4,0为AC的中点，所以OP⊥AC,且OP=25 连结OB.因为AB=BC=V -AC,AB2+BC2=AC2, 所以△ABC为等腰直角三角形，枚OBLAC,OB=14C=2 因为OP2+OB2=PB2,所以OP1OB..4分 因为OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O, 所以POL平面ABC..7分 (2)方法一：作CH⊥OM,垂足为H. 因为OP⊥平面ABC,所以OP⊥CH, 所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.4分 由题意，0C-4C=2,Cf4 ACB=45°」 3 所以o2V5 CH-OC.MC.sinLACB 3 OM 所以点C到平面POM的距离为4W5 7分 方法二：设C到平面POM的距离为h, 由（1)知PO即为P到平面COM的距离，且PO⊥OM.1分 又P0=25,在△oMC中，oC=2CM=2BC-45 3,∠ACB=45°，则由余弦定理得 0M=2v5 3 】分 6 因为Keow=5.coM,即h=}SeP0, 3 故h=ScMP0 2x2x1x2 32 4v5 S△PoM 25x25 1 5 2 3 即点C到平面POM的距离为4W5 .7分 18.解(1)由题意，得CD=bcosC, 又2 csinB=V5cD,所以2 csinB=V5 bcosC, 由正弦定理 6 B=sinc2sinCsinB=5sinBcosC, 又sinB≠0，所以2simC=√5cosC,4分 因为C为锐角，所以cosC=V-sin2c=3 6分 (2)由a=3 ccosB,得cosB=4 3c 由余弦定理得cosB-+C-B,所以a+C6-,得a2+3c-=36①…3分 2ac 2ac 3c 由由余孩定理得coC-。+仁c-名，得3d+劝-32=45a②5分 2ab 3 联立①②，解得a=√5，c=√2，故△ABC的周长为a+b+c=25+√2..8分 19、(1)过B作BH⊥AC于H,连接DH, 因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,又因为BH⊥AC,所以BH⊥ 平面PAC,所以∠BDH为直线BD与平面PAC所成角 3分 因为AC=2AB,不妨设AB=a,AC=2a, 在△4BC中，AB AC 三B=90°. 4分 sin30°sinB 在RTABDH中，BH=S )a,Di=a,所以tam∠BD以=BH L=5, 7分 2 DH 所以直线BD与平面PAC所成角的大小为T 8分 (2)因为O是AC的中点，D是AP的中点，所以DO//PC; 又因为PCC平面PBC,DO不在平面PBC上，所以DO//平面PBC: 11分 又因为平面DBO∩平面PBC=l,所以DO//I, 13分 所以1/PC. 14分 20.解：(1)由条件知b=1,c=V3, ……2 分 所以d=6+c2=4,于是椭圆T的方程为，+y=1少 …4分 1 1 (2)由条件知：直线PA的斜率为2，方程为y=2x+1, 〔1 =2+ 则由 得，x2+2x=0,所以x4=-2.从而A(-2,0) …6分 4+2=1 由于4x:1,所以直线g的方程为)2x1,同理可得8(-9背 15、 0-(- 所以直线I的斜率为kAB= 17 5 6 …8分 -9 从而直线1的方程为y-0=x+2),.即y= 55 (或5x+6y+10=0). …10分 6 63 y=mx+1, (3)假设存在满足条件的直线l,并设直线PA的方程为y=x+1(≠O),则由x +21得 4 8m (4m2+1)x2+8mx=0,所以xa=- 422+1 …12分 8.1 1 m一= 8m 由于k4kPB=1,所以直线PB的方程为y=二x+1,同理可得xB=- m 461)2+1 m2+4 1 故直线1的斜率为k=4-y2。 +1)-（xg+Ame XA-术B XA-术B XA-XB P 8m)-1 1 C4n+m±全_4mm±4-4+1-mm+ (- 8m) m2 mm(4m2+1)-(m2+4) m2+4 4m2+1m2+4 m-1=-m+1-60m+) 3m(m2-1)3m3 ...15分 当△PAB为直角三角形时，只有可能∠PAB=90?,或∠PBA=90,于是k=-1,或k=-L 若6合由行行w+点可附=从而-+ 2 若及=-m,由-m=北 +,可得m=t5:也有化：±迈 2 2 因此，直线1的斜率为±巨 …18分 2 21.解(1)o=1时，g(x)=Sinx,则g'(x)=c0Sx1分 从而k=g(5=cos7=03分 所以直线1的方程是y=14分 2T=2m,可知0=l,则h()=xsinx--lnx(x>0),5分 (2)由 当h()=0时sinx=nx ..6分 ①当0<x<1时，inx>0,血x<0,此时函数y=()没有零点：…7分 ②当x≥1时， 因为 1-Inx ,可知y= 血在L,上严格暗，在[e+)严格试 又y=mx在L上严格增、在兮e]严格减。 所以x∈[l,e]时，y=sinx在x=e时有最小值sine, y-血x在x=e时有最大值血e_ e e 因为sine>所以snx-血在L,e上没有交点， 即h(x)=xsinx-nx在[L,e]上没有零点9分 所以函数y=h(x)的零点x满足e<x<x,<<xn<…, 因为y=血x在[e,+严格减，所以血>血飞>>血飞> 又因为snx,-血，所以数列{sinx}是严格减数列 10分 (3)因为f()=-f(x+2d)=-[-fx+4a]=fx+4a), 所以y=f(x)是以4a为周期的周期函数11分 因为任意x∈[0,2a],当x≠a时，都有f(x)<f(a)且f(a=1, 所以当x=a时，y=f(x)在[0,2a上有唯一的最大值1…12分 由w=元得g(x)=Sinx,F(x)=f(x)+Sinx,G(x)=f(x)+C0sxl3分 假设存在x、x∈R,使得F(x)=G(x)+4成立， 即f(x)+nx-[f(x,)+cos元y]=4成立 故，当x=a+4ka(k∈Z)时，f(x)取得最大值1： 当=弓2m(m∈Z)时，sin取得最大值1 Q+4hka=+2,可知a三n中0时，(f)+in=252 8k+2 又因为y=f(x)是奇函数，所以当x=-a时，f(x)在[-2a,0]上有唯一的最小值-1 故，当x=-a+4a(k∈Z)时，f(x)取得最小值-1： 当x=1+2t(t∈Z)时，cos元x取得最小值-1 由-a+4a=1+2t,可知a= 2+②时(f)+cos元x,）an=-2.17分 4n-1 若f(:)+sin-[f(x,)+cosx,]=4成立， 则由O@得+-2+！，即4m+14n-)=21+8k+2) 8k+24n-1 因为m,,k,t∈Z,此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立18分 10