第12讲 幂函数（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第12讲 幂函数（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：幂函数的概念 知识点02：幂函数的图象与性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求幂函数的解析式 题型02：求幂函数的值 题型03：根据函数是幂函数求参数值 题型04：求幂函数的定义域且与幂函数有关的复合函数定义域 题型05：幂函数图象的判断及应用 题型06：判断一般幂函数的单调性 题型07：判断五种常见幂函数的奇偶性 题型08：由幂函数的单调性求参数 题型09：由幂函数的单调性解不等式 题型10：由幂函数的单调性比较大小 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】幂函数的概念 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 【例1】判断下列函数哪些是幂函数： ① ② ③ ④ 解：根据幂函数定义 （系数为1、仅含自变量幂次）逐一判定： ① ：系数为1，底数为自变量，指数为常数，是幂函数； ② ：系数为3≠1，不是幂函数； ③ ：符合 形式（），是幂函数； ④ ：含有常数项，不是幂函数。 结论：①③为幂函数，②④不是幂函数。 【知识点02】幂函数的图象与性质 通过以上信息，我们可以得到： (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都通过点(1,1)； (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数； (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调递增，函数y＝x－1单调递减； (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． 注意点：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【例2】已知幂函数 在区间 上单调递增，且。 （1）求该幂函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性。 解：步骤1：根据已知条件列方程求指数 由 得： 统一底数： 化简得： 根据指数相等原则： 步骤2：确定函数解析式 步骤3：求定义域判定奇偶性 定义域：，定义域不关于原点对称。 结论：（1）幂函数解析式为 ；（2）函数为非奇非偶函数 【题型01】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 【变式1-1】幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解. 【详解】设幂函数，将点代入得，所以. 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则， 故函数的解析式为（）. 故选：A. 【变式1-2】写出满足的函数的一个解析式：__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质写出一个满足条件的函数即可. 【详解】对于，显然有，故满足题设. 故答案为：（答案不唯一） 【变式1-3】（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数概念，结合待定系数法即可求解. 【详解】幂函数的图像过点，则， 所以幂函数的解析式是， 故答案为： 【题型02】求幂函数的值 【典例2-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】将点代入函数的解析式求出，再求即可. 【详解】由题意，得，则，即， 则. 故选：B 【变式2-1】（25-26高一上·山东济宁·期末）若幂函数满足，则__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以设， 因为，所以. 所以. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 【变式2-3】设是幂函数，已知，求，． 【答案】， 【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，. 【详解】设幂函数． 由已知条件得． 故，， 于是，． 【题型03】根据函数是幂函数求参数值 【典例3-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． 【答案】1 【详解】因为函数为幂函数， 所以 . 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，结合过点，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，，此时不过点，舍去； 当时，，此时过点，所以. 故选：C. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知幂函数，则m 的值可能为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为幂函数， 所以，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意. 故选：AC 【变式3-3】（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 【题型04】求幂函数的定义域且与幂函数有关的复合函数定义域 【典例4-1】已知幂函数，则此函数的定义域为________． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 【题型05】幂函数图象的判断及应用 【典例5-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与图象可得出合适的选项. 【详解】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定幂函数的性质，再结合图象特征判断即可. 【详解】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB； 函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合. 故选：C 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 【变式5-3】作出函数的大致图象，并说明它与函数图象之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】由结合图象的变换以及幂函数的性质，画出图象. 【详解】函数的定义域为，且. 所以左移3个单位，然后下移1个单位：即为的图象， 图象如图所示： 【题型06】判断一般幂函数的单调性 【典例6-1】（25-26高一上·河北承德·期末）幂函数的单调递增区间是__________． 【答案】（或） 【分析】根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出该函数的单调递增区间. 【详解】因为函数为幂函数，则，可得，所以， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，若，则（ ） A． B．的图象经过点 C．是增函数 D． 【答案】BC 【分析】设幂函数解析式，代入点坐标可得选项A错误；由可得选项B正确；根据幂函数的单调性可得选项C正确；利用可得选项D错误. 【详解】设，由的图象经过点得，，解得， ∴，选项A错误. 由得的图象经过点，选项B正确. 在为增函数，选项C正确. 由得，，解得，选项D错误. 故选：BC. 【变式6-3】已知幂函数经过 (1)试求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 【分析】（1）设出解析式，代入点的坐标，即可求出答案； （2）求出函数的定义域，根据定义法即可得出函数的单调区间. 【详解】（1）设， 由已知可得， 所以，. （2）由（1）知，，定义域为R， ， 则 . 因为，所以. 又， 所以，，即， 所以，在R上单调递增， 所以，的单调递增区间为，无单调递减区间. 【题型07】判断五种常见幂函数的奇偶性 【典例7-1】下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，若幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析集合中每个对应的幂函数的定义域及与的关系，筛选出满足偶函数条件的. 【详解】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 【变式7-2】（25-26高一上·河北·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】由的定义域为，且， 即为奇函数，所以A正确； 由的定义域为，且，即为偶函数，所以B正确； 令的定义域为，且，不是偶函数，所以C不正确； 由的定义域为，显然定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数， 所以D正确. 故选：ABD. 【变式7-3】分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数； 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可求解. 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数. （2），定义域为，不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数. （3）定义域为， 关于原点对称，且，函数为偶函数. （4）定义域为， 定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数. 【题型08】由幂函数的单调性求参数 【典例8-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或， 当时，，满足函数在区间是减函数， 当时，，满足函数在区间是减函数. 故选：C 【变式8-1】(多选)（24-25高一上·浙江杭州·期中）幂函数满足时，，则的值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题中条件，确定幂函数在上单调递增，进而可得结果. 【详解】因为幂函数满足时，， 所以幂函数在上单调递增， 因此，故AD错，BC正确； 故选：BC 【变式8-2】（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用幂函数定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在区间上单调递增， 得，所以. 故答案为：2 【变式8-3】（25-26高一上·福建三明·期末）已知幂函数在单调递减，则___________． 【答案】 【分析】先根据幂函数定义求出 m 的可能值，再依据幂函数单调性确定符合条件的 m 值即可. 【详解】因为 是幂函数，所以系数必须为 ， 则，即， 解得 或 ， 幂函数在 上单调递减，要求指数 ， 所以 不满足 ，舍去， 满足 ，符合条件. 因此，. 故答案为： 【题型09】由幂函数的单调性解不等式 【典例9-1】若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分三种情况进行解答，结合幂函数的单调性即可解出答案. 【详解】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式9-1】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集. 【详解】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为. 故选：D 【变式9-2】（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 【变式9-3】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）根据偶函数及单调性将不等式化为，两边平方化简得，求解即可. 【详解】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 【题型10】由幂函数的单调性比较大小 【典例10-1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·浙江温州·期中）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】取特值说明ABC的存在性，对于D证明其不成立. 【详解】对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确 对于D：若成立，则由且且，解得且，显然不存在实数满足，故D不正确. 故选：ABC 【变式10-2】（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 【变式10-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各题中两个幂的值的大小． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用幂函数的单调性比较函数值的大小关系； 【详解】（1）为上的增函数， 又． （2）为上的减函数，又， ． 知识点01幂函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数称为幂函数。 其中：自变量为 ， 为常数，。 2. 幂函数严格判定标准（考试必考） 同时满足以下条件才是幂函数： （1）底数为纯自变量； （2）指数为常数； （3）系数为 1； （4）无常数项、无多余加减因式。 3. 常见非幂函数（易错辨析） 均不是幂函数。 知识点02五大基础幂函数（高中核心） 必考5类基础幂函数： 各自定义域 ： ： ： ： ： 知识点03幂函数通用图象与整体性质 1. 公共定点（所有幂函数通用） 任意幂函数 恒过定点： 2. 第一象限单调性（核心考点） 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减。 3. 原点处性质 ，幂函数过原点 ； ，幂函数不过原点。 4. 奇偶性通用规律 （1）指数奇数、定义域对称：奇函数，如 ； （2）指数偶数、定义域对称：偶函数，如 ； （3）定义域不对称：非奇非偶，如 。 知识点04幂函数大小比较核心结论 1. 同指数不同底数 利用第一象限单调性比较： ，底数越大，函数值越大； ，底数越大，函数值越小。 2. 同底数不同指数 利用指数函数单调性比较。 3. 不同底数不同指数 引入中间量、 搭桥比较。 知识点05本节必背公式与结论清单 1. 幂函数定义式： 2. 通用定点： 3. 递增条件： 4. 递减条件： 知识点06高频易错点总结 1. 误把带系数、带常数项的函数当成幂函数； 2. 误以为所有幂函数都过原点（负数指数不过原点）； 3. 忽略幂函数定义域，盲目判断奇偶性； 4. 混淆幂函数与指数函数：幂函数底数变、指数定，指数函数底数定、指数变。 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 2．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据偶函数的定义及简单幂函数的性质判断可得. 【详解】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 5．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 7．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 8．（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的图象经过第三象限 【答案】AB 【分析】根据幂函数的定义，可得到关于的方程，进而求得的值，再根据的值逐一分析选项. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得，所以选项A正确，选项B正确； 由，得，所以选项C错误； 又，所以其图象不经过第三象限，所以选项D错误. 故选：AB 11．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 【答案】ACD 【分析】根据幂函数可判断A，根据函数的单调性即可求解B，由幂函数的性质即可求解CD. 【详解】根据题意可得，解得，故，A正确. 因为，则，所以在上单调递增，因为，， 且，故，所以，B错误. ，因为，故,故其图象恒过点，C正确， 当时，，此时定义域为，故图像不经过第二象限， 当时，，当时，，故图像不经过第二象限， 当时， 当时，，故图像不经过第二象限，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一上·福建泉州·期末）写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 13．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知幂函数是偶函数，则______. 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义求得或，然后再根据偶函数求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，不是偶函数，不符合题意. 故答案为：1 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意； 所以，，因为在上单调递增， ，所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一·全国·寒假作业）比较，的大小． 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性比较即可. 【详解】因为为上的减函数，且， 所以． 16．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可解得参数的值，再根据函数为偶函数即可求解； （2）结合幂函数的单调性及奇偶性、定义域求解. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，即，解得或. 当时，，满足，此时为偶函数，符合题意； 当时，，不满足，此时不是偶函数，不符合题意. 综上可得，. （2）由（1）得，所以在上单调递减，在上单调递增且为偶函数， 因为， 所以， 解得或或. 故实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解； （2）直接根据函数解析式解不等式即可. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 18．（25-26高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. （2）由（1）知， 由得. 所以. 19．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：幂函数的概念 知识点02：幂函数的图象与性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求幂函数的解析式 题型02：求幂函数的值 题型03：根据函数是幂函数求参数值 题型04：求幂函数的定义域且与幂函数有关的复合函数定义域 题型05：幂函数图象的判断及应用 题型06：判断一般幂函数的单调性 题型07：判断五种常见幂函数的奇偶性 题型08：由幂函数的单调性求参数 题型09：由幂函数的单调性解不等式 题型10：由幂函数的单调性比较大小 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】幂函数的概念 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 【例1】判断下列函数哪些是幂函数： 【知识点02】幂函数的图象与性质 通过以上信息，我们可以得到： (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都通过点(1,1)； (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数； (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调递增，函数y＝x－1单调递减； (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． 注意点：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【例2】已知幂函数 在区间 上单调递增，且。 （1）求该幂函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性。 【题型01】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 【变式1-2】写出满足的函数的一个解析式：__________. 【变式1-3】（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知幂函数的图像过点，则幂函数的解析式是__________. 【题型02】求幂函数的值 【典例2-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-1】（25-26高一上·山东济宁·期末）若幂函数满足，则__________. 【变式2-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 【变式2-3】设是幂函数，已知，求，． 【题型03】根据函数是幂函数求参数值 【典例3-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数过点，则（     ） A．0 B．2 C．1 D．3 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知幂函数，则m 的值可能为（    ） A． B．2 C．7 D． 【变式3-3】（25-26高一下·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【题型04】求幂函数的定义域且与幂函数有关的复合函数定义域 【典例4-1】已知幂函数，则此函数的定义域为________． 【变式4-1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【题型05】幂函数图象的判断及应用 【典例5-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】作出函数的大致图象，并说明它与函数图象之间的关系． 【题型06】判断一般幂函数的单调性 【典例6-1】（25-26高一上·河北承德·期末）幂函数的单调递增区间是__________． 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，若，则（ ） A． B．的图象经过点 C．是增函数 D． 【变式6-3】已知幂函数经过 (1)试求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间． 【题型07】判断五种常见幂函数的奇偶性 【典例7-1】下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，若幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．幂函数是奇函数 B．幂函数是偶函数 C．幂函数既是奇函数又是偶函数 D．幂函数既不是奇函数，又不是偶函数 【变式7-3】分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【题型08】由幂函数的单调性求参数 【典例8-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 【变式8-1】(多选)（24-25高一上·浙江杭州·期中）幂函数满足时，，则的值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在区间上单调递增，则______. 【变式8-3】（25-26高一上·福建三明·期末）已知幂函数在单调递减，则___________． 【题型09】由幂函数的单调性解不等式 【典例9-1】若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【变式9-3】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【题型10】由幂函数的单调性比较大小 【典例10-1】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·浙江温州·期中）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【变式10-3】（2025高一上·全国·专题练习）比较下列各题中两个幂的值的大小． (1)； (2)； 知识点01幂函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数称为幂函数。 其中：自变量为 ， 为常数，。 2. 幂函数严格判定标准（考试必考） 同时满足以下条件才是幂函数： （1）底数为纯自变量； （2）指数为常数； （3）系数为 1； （4）无常数项、无多余加减因式。 3. 常见非幂函数（易错辨析） 均不是幂函数。 知识点02五大基础幂函数（高中核心） 必考5类基础幂函数： 各自定义域 ： ： ： ： ： 知识点03幂函数通用图象与整体性质 1. 公共定点（所有幂函数通用） 任意幂函数 恒过定点： 2. 第一象限单调性（核心考点） 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减。 3. 原点处性质 ，幂函数过原点 ； ，幂函数不过原点。 4. 奇偶性通用规律 （1）指数奇数、定义域对称：奇函数，如 ； （2）指数偶数、定义域对称：偶函数，如 ； （3）定义域不对称：非奇非偶，如 。 知识点04幂函数大小比较核心结论 1. 同指数不同底数 利用第一象限单调性比较： ，底数越大，函数值越大； ，底数越大，函数值越小。 2. 同底数不同指数 利用指数函数单调性比较。 3. 不同底数不同指数 引入中间量、 搭桥比较。 知识点05本节必背公式与结论清单 1. 幂函数定义式： 2. 通用定点： 3. 递增条件： 4. 递减条件： 知识点06高频易错点总结 1. 误把带系数、带常数项的函数当成幂函数； 2. 误以为所有幂函数都过原点（负数指数不过原点）； 3. 忽略幂函数定义域，盲目判断奇偶性； 4. 混淆幂函数与指数函数：幂函数底数变、指数定，指数函数底数定、指数变。 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 2．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的图象经过第三象限 11．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知幂函数.若，则（   ） A． B． C．的图象恒过点 D．的图象不过第二象限 三、填空题 12．（24-25高一上·福建泉州·期末）写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 13．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知幂函数是偶函数，则______. 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 四、解答题 15．（25-26高一·全国·寒假作业）比较，的大小． 16．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 18．（25-26高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 19．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $