函数模型及其应用专项汇编讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数模型及其应用专项汇编 人教版高一数学必修一 函数模型及其应用专项汇编 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 【核心内容】 指数函数模型应用 对数函数模型应用 数学建模素养培养 实战导向 · 案例丰富 · 方法系统 第一部分 函数模型概述 一、常见函数模型类型 在解决实际问题时，我们需要根据问题的特点选择合适的函数模型。常见的函数模型包括：一次函数模型（y = kx + b），适用于描述均匀变化的过程，如匀速运动、等额储蓄等；二次函数模型（y = ax² + bx + c），适用于描述具有最大值或最小值的问题，如抛体运动、利润最大化等；指数函数模型（y = a·bˣ + c），适用于描述指数增长或衰减的过程，如人口增长、放射性衰变等；对数函数模型（y = a·logᵦx + c），适用于描述增长速度逐渐减缓的过程，如学习曲线、信息衰减等。 二、函数模型的选择原则 选择合适的函数模型是解决实际问题的关键，一般遵循以下原则： 1. 数据分析原则：根据已知数据绘制散点图，观察数据的变化趋势，初步判断函数类型。如果散点近似在一条直线上，可选择一次函数模型；如果散点呈抛物线形状，可选择二次函数模型；如果散点呈指数增长趋势，可选择指数函数模型。 1. 实际背景原则：结合问题的实际背景，分析变量之间的内在联系，选择符合实际意义的函数模型。例如，涉及增长率的问题通常考虑指数模型，涉及优化问题通常考虑二次函数模型。 1. 简便性原则：在能够准确描述问题的基础上，优先选择形式简单、便于计算的函数模型。简单的模型不仅便于求解，也便于分析和应用。 第二部分 指数函数模型应用 一、指数增长模型 指数增长模型的一般形式为y = a(1 + r)ᵗ或y = a·e^(kt)，其中a为初始值，r为增长率，t为时间，k为增长系数。这类模型广泛应用于人口增长、细菌繁殖、资金增值等领域。指数增长的特点是增长速度越来越快，在短期内可能看不出明显变化，但长期来看增长惊人。 【例1】某地区2010年人口为100万，人口自然增长率为1.2%。假设人口增长率保持不变，求：(1) 2020年该地区的人口数量；(2) 人口翻一番需要多少年？（结果保留整数） 【解析】设经过t年后人口为y万，则y = 100×(1 + 0.012)ᵗ = 100×1.012ᵗ。 (1) 从2010年到2020年共10年，y = 100×1.012¹⁰ ≈ 100×1.127 ≈ 112.7万 (2) 设翻一番需要n年，则100×1.012ⁿ = 200 1.012ⁿ = 2，n = log₁.₀₁₂2 = ln2/ln1.012 ≈ 58 答：2020年人口约113万，人口翻一番约需58年。 二、指数衰减模型 指数衰减模型的一般形式为y = a(1 - r)ᵗ或y = a·e^(-kt)，其中a为初始值，r为衰减率，t为时间。这类模型常用于描述放射性物质的衰变、药物在体内的代谢、设备价值的折旧等。半衰期是指数衰减的重要概念，指物质衰减到原来一半所需的时间。 【例2】某放射性元素的半衰期为20天，现有10克该元素，问经过多少天后剩余量不足1克？ 【解析】设经过t天后剩余y克，则y = 10×(1/2)^(t/20)。 由题意：10×(1/2)^(t/20) < 1 (1/2)^(t/20) < 0.1 t/20 > log₀.₅0.1 = ln0.1/ln0.5 ≈ 3.32 t > 66.4天，即至少需要67天。 第三部分 对数函数模型应用 一、对数增长模型 对数增长模型的一般形式为y = a + b·ln x或y = a + b·lg x。对数增长的特点是初期增长较快，后期增长逐渐减缓，最终趋于稳定。这类模型常用于描述学习曲线、技能掌握过程、信息传播等。对数模型与指数模型互为反函数关系，可以用来解决一些需要"反求时间"的问题。 【例3】某公司开发新产品，市场调研发现：当广告投入x（万元）时，产品销售额y（万元）满足关系y = 100 + 50·lg x（x ≥ 1）。问：(1) 广告投入10万元时，销售额是多少？(2) 要使销售额达到150万元，至少需要投入多少广告费？ 【解析】 (1) 当x = 10时，y = 100 + 50·lg 10 = 100 + 50×1 = 150万元 (2) 由100 + 50·lg x ≥ 150，得lg x ≥ 1 所以x ≥ 10万元，至少需要投入10万元广告费。 二、pH值与分贝模型 对数函数在科学领域有广泛应用。pH值是衡量溶液酸碱度的指标，定义为pH = -lg[H⁺]，其中[H⁺]表示氢离子浓度。声音的分贝定义为L = 10·lg(I/I₀)，其中I为声强，I₀为基准声强。这两个公式都体现了对数在处理大范围数值时的优势，能够将跨越多个数量级的数值压缩到便于比较的范围内。 第四部分 综合应用案例 【例4】某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，出厂价为30元。由于市场原因，每涨价1元，销量就减少100件。已知原销量为1000件，问：(1) 涨价多少元时利润最大？(2) 最大利润是多少？ 【解析】设涨价x元，则： 销售单价 = 30 + x（元） 销量 = 1000 - 100x（件） 利润y = (30 + x - 20)(1000 - 100x) = (10 + x)(1000 - 100x) = 10000 + 1000x - 1000x - 100x² = 10000 - 100x² + 900x 化简得：y = -100x² + 900x + 10000 当x = -b/(2a) = -900/(-200) = 4.5时，利润最大 最大利润y_max = -100×4.5² + 900×4.5 + 10000 = 12025元 答：涨价4.5元时利润最大，最大利润为12025元。 第五部分 专项练习 一、选择题 1. 某商品价格下降10%后，要恢复原价，需要上涨的百分比是（ ） A. 10% B. 11.1% C. 9% D. 11% 2. 某细菌培养过程中，细菌数量每2小时增加1倍，则经过6小时，细菌数量是原来的（ ）倍 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 某地区GDP年均增长率为8%，约（ ）年后GDP翻两番 A. 9年 B. 18年 C. 27年 D. 36年 二、解答题 4. 某公司生产一种电子产品，固定成本为100万元，每生产一件产品需要增加成本0.5万元。市场调研显示，当产品定价为p万元时，销量q = 200 - 20p件。求：(1) 利润y与定价p的函数关系；(2) 定价为多少时利润最大？ 5. 某城市出租车计价规则为：起步价10元（3公里内），超过3公里部分每公里2.4元。小李乘坐出租车行驶x公里，支付车费y元。(1) 写出y与x的函数关系；(2) 若小李支付了34元车费，他乘坐了多少公里？ 参考答案 一、选择题答案 1. B 解析：设原价为100，降价后为90，恢复原价需上涨(100-90)/90 ≈ 11.1%。 2. D 解析：6小时 = 3个周期，细菌数量为原来的2³ = 8倍。 3. B 解析：翻两番即变为原来的4倍，(1.08)ⁿ = 4，n ≈ 18年。 二、解答题答案 4. 解： (1) 收入 = p·q = p(200 - 20p) 成本 = 100 + 0.5q = 100 + 0.5(200 - 20p) = 200 - 10p 利润y = p(200 - 20p) - (200 - 10p) = -20p² + 210p - 200 (2) 当p = -b/(2a) = 210/40 = 5.25万元时，利润最大。 5. 解： (1) y = {10, 0 < x ≤ 3; 10 + 2.4(x-3), x > 3} (2) 由y = 34 > 10，知x > 3 10 + 2.4(x - 3) = 34 x - 3 = 10，x = 13公里 — — 学科网（北京）股份有限公司 $