专题11 一元一次方程的应用 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题11 一元一次方程的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 解题流程：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 规范作答 常考题型：和差倍分问题、等积变形问题、行程问题、盈亏调配问题 解题关键：剔除无效文字信息、锁定不变量、构建等量关系、严守解题规范 ✅ 一元一次方程解应用题的关键是找等量关系。所有基础题型的解题逻辑一致：依托题目中“不变的量、相等的数量关系”建立方程，严格遵循标准化解题步骤，规避审题失误、步骤缺失、漏验结果等常见问题，即可掌握本节全部内容。 ✺学习目标 基础知识：1.熟记列一元一次方程解应用题的标准化解题步骤；2.理解实际问题中等量关系的核心内涵；3.掌握课本四大基础应用题型及固定数量关系。 能力提升：1.具备独立审题能力，精准区分题目已知量与未知量；2.能快速提取核心等量关系，规范完成设元、列方程、解方程、检验、作答全流程，熟练解决基础应用题。 综合素养：1.建立“实际问题→数学方程”的建模思维，学会用代数方法转化生活实际问题；2.养成审题严谨、步骤完整、运算规范、必验结果的优良解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.工程问题 题型2.销售盈亏 题型3.比赛积分 题型4.方案选择 题型5.数字问题 题型6.几何问题 题型7.动点问题 题型8.电费和水费问题 题型9.行程问题 题型10.比例分配 题型11.日历问题 题型12.古代问题 题型13.其他问题 题型14.配套问题 题型15.和差倍分问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、列一元一次方程解应用题的步骤 1.审题：通读题干，梳理题目已知条件、隐藏条件与所求未知量，理清各数量之间的关联，明确题目核心问题。 2.设元：合理设立未知数，优先使用直接设元法（求什么、设什么）；部分复杂题型可采用间接设元法。设元必须标注单位，格式规范统一。 3.找等量关系：结合题干文字信息，提炼出能够完整等价题意的数量相等关系，这是列方程的核心依据，也是应用题解题的关键步骤。 4.列方程：根据提炼的等量关系，用含未知数的代数式表示相关未知数量，列出规范的一元一次方程。 5.解方程：依据一元一次方程标准化解法，规范完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 6.检验：实行双重检验：一验方程解的计算正误；二验解的实际合理性。实际问题中，人数、物品数量、长度等均为正数，不符合实际的解必须舍去。 7.作答：结合题目问题，简洁规范书写答语，做到问什么答什么，对应准确、表述完整。 知识点二、常见问题中的等量关系 1.和差倍分问题 核心等量关系：大数=小数×倍数±差、总量=各部分量之和 解题关键：精准抓取题干“倍、多、少、和、共、剩余”等核心关键词，据此搭建数量等式。 2.等积变形问题 核心等量关系：变形前图形面积（体积）=变形后图形面积（体积） 解题关键：明确图形变形只改变形状，不改变面积、体积，锁定不变量作为等量关系列方程。 3.行程问题 基础公式：路程=速度×时间 核心等量关系：追及问题：快者路程=慢者路程+初始距离差 相遇问题：两者路程和=总路程 解题关键：统一路程、速度、时间单位，精准匹配运动过程，区分追及、相遇的不同数量逻辑。 4.盈亏调配问题 核心等量关系：物品总数、总人数等不变量始终相等，不同分配方案表示的总量一致。 解题关键：抓住“总数量不变”的核心规律，用不同分配方式表示同一总量，进而列出方程。 知识点三、易错提醒 审题失误：忽略题干隐藏条件、关键数量词，等量关系提炼错误，导致方程列写偏差。 设元不规范：设未知数遗漏单位，间接设元后混淆所求量，最终作答答非所问。 缺少检验步骤：仅解方程不验证实际意义，保留负数、非整数等不符合实际的无效解。 单位不统一：行程、几何题型中混用不同单位，导致计算结果出错。 数量关系混乱：和差、倍数逻辑颠倒，出现多加少减、倍数错位等基础错误。 解题步骤残缺：跳步解题、省略关键流程，不符合考试评分规范，丢失步骤分。 ✺题型精讲 题型1.工程问题 1．一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 2．某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为_______． 3．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 题型2.销售盈亏 1．某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 3．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型3.比赛积分 1．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 2．明明参加学校“汉字大会”比赛，一共有道题，规定做对一题得分，做错或不做一题倒扣分，明明一共得了分，他一共做对了( )道题． 3．一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 题型4.方案选择 1．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 题型5.数字问题 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 3．一个两位数个位数字与十位数字的和为，如果将个位数字与十位数字交换位置，得到的新的两位数比原来的两位数大 ，求原来的两位数？ 题型6.几何问题 1．用一根长的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽比长少，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．一根铁丝能围成一个长，宽的长方形，如果把它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是______，面积是______． 3．如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 题型7.动点问题 1．如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 2．如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．      3．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 题型8.电费和水费问题 1．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． 2．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为______． 3．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表： 每月用水量 单价（元） 不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分 (1)某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求的值； (2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？ 题型9.行程问题 1．轮船和汽车都从甲地开往乙地，海路比公路近40千米．轮船上午7点开出，速度是每小时24千米．汽车上午10点开出，速度为每小时40千米，结果同时到达乙地．则汽车所用的时间为（   ） A．7小时 B．6.5小时 C．6小时 D．5小时 2．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为x千米，则根据题意列出的方程是______． 3．A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 题型10.比例分配 1．甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 2．用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 __________________． 3．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 题型11.日历问题 1．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 2．如果某年的某月有5个星期四，这5个星期四对应的日期数之和是80，那么这个月的4日是星期_____． 3．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 题型12.古代问题 1．《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．2斗 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 3．元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 题型13.其他问题 1．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中活了四年，便与世长辞了．”问丢番图的寿命是（    ） A．73 B．84 C．88 D．92 2．甲种糖每千克12元，乙种糖每千克7元，用甲种糖9千克和乙种糖______千克混合，才能使混合后的糖的价钱为每千克10元． 3．福星学校六（1）班10名同学的英文考试成绩按照分数排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分数比10人平均分数少8分，这10名同学的平均分是多少分？ 题型14.配套问题 1．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 2．某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 3．某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知两个大齿轮和三个小齿轮配成一套，问应如何安排加工人数可以使生产的产品刚好配成套？ 题型15.和差倍分问题 1．已知甲实验田的面积比乙实验田的倍还多，这两块实验田共，设乙实验田的面积为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如果原来甲、乙两人一共有练习本本，甲给乙本后，甲的练习本比乙的倍少本．如果设甲原来有本，那么可列方程为_______． 3．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？ ✺巩固测试 一、单选题 1．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 2．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 3．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点．设运动时间为秒，则下列结论：①点B对应的数是4；②当点P到达点B时，；③当时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 二、填空题 5．买2瓶王子酒和12瓶茅台啤酒共用300元，已知一瓶王子酒与24瓶茅台啤酒的价钱相等，那么一瓶王子酒和一瓶茅台啤酒共需___________元． 6．某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 7．如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 8．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 三、解答题 9．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 10．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 11．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 12．下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元一次方程的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 解题流程：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 规范作答 常考题型：和差倍分问题、等积变形问题、行程问题、盈亏调配问题 解题关键：剔除无效文字信息、锁定不变量、构建等量关系、严守解题规范 ✅ 一元一次方程解应用题的关键是找等量关系。所有基础题型的解题逻辑一致：依托题目中“不变的量、相等的数量关系”建立方程，严格遵循标准化解题步骤，规避审题失误、步骤缺失、漏验结果等常见问题，即可掌握本节全部内容。 ✺学习目标 基础知识：1.熟记列一元一次方程解应用题的标准化解题步骤；2.理解实际问题中等量关系的核心内涵；3.掌握课本四大基础应用题型及固定数量关系。 能力提升：1.具备独立审题能力，精准区分题目已知量与未知量；2.能快速提取核心等量关系，规范完成设元、列方程、解方程、检验、作答全流程，熟练解决基础应用题。 综合素养：1.建立“实际问题→数学方程”的建模思维，学会用代数方法转化生活实际问题；2.养成审题严谨、步骤完整、运算规范、必验结果的优良解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.工程问题 题型2.销售盈亏 题型3.比赛积分 题型4.方案选择 题型5.数字问题 题型6.几何问题 题型7.动点问题 题型8.电费和水费问题 题型9.行程问题 题型10.比例分配 题型11.日历问题 题型12.古代问题 题型13.其他问题 题型14.配套问题 题型15.和差倍分问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、列一元一次方程解应用题的步骤 1.审题：通读题干，梳理题目已知条件、隐藏条件与所求未知量，理清各数量之间的关联，明确题目核心问题。 2.设元：合理设立未知数，优先使用直接设元法（求什么、设什么）；部分复杂题型可采用间接设元法。设元必须标注单位，格式规范统一。 3.找等量关系：结合题干文字信息，提炼出能够完整等价题意的数量相等关系，这是列方程的核心依据，也是应用题解题的关键步骤。 4.列方程：根据提炼的等量关系，用含未知数的代数式表示相关未知数量，列出规范的一元一次方程。 5.解方程：依据一元一次方程标准化解法，规范完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 6.检验：实行双重检验：一验方程解的计算正误；二验解的实际合理性。实际问题中，人数、物品数量、长度等均为正数，不符合实际的解必须舍去。 7.作答：结合题目问题，简洁规范书写答语，做到问什么答什么，对应准确、表述完整。 知识点二、常见问题中的等量关系 1.和差倍分问题 核心等量关系：大数=小数×倍数±差、总量=各部分量之和 解题关键：精准抓取题干“倍、多、少、和、共、剩余”等核心关键词，据此搭建数量等式。 2.等积变形问题 核心等量关系：变形前图形面积（体积）=变形后图形面积（体积） 解题关键：明确图形变形只改变形状，不改变面积、体积，锁定不变量作为等量关系列方程。 3.行程问题 基础公式：路程=速度×时间 核心等量关系：追及问题：快者路程=慢者路程+初始距离差 相遇问题：两者路程和=总路程 解题关键：统一路程、速度、时间单位，精准匹配运动过程，区分追及、相遇的不同数量逻辑。 4.盈亏调配问题 核心等量关系：物品总数、总人数等不变量始终相等，不同分配方案表示的总量一致。 解题关键：抓住“总数量不变”的核心规律，用不同分配方式表示同一总量，进而列出方程。 知识点三、易错提醒 审题失误：忽略题干隐藏条件、关键数量词，等量关系提炼错误，导致方程列写偏差。 设元不规范：设未知数遗漏单位，间接设元后混淆所求量，最终作答答非所问。 缺少检验步骤：仅解方程不验证实际意义，保留负数、非整数等不符合实际的无效解。 单位不统一：行程、几何题型中混用不同单位，导致计算结果出错。 数量关系混乱：和差、倍数逻辑颠倒，出现多加少减、倍数错位等基础错误。 解题步骤残缺：跳步解题、省略关键流程，不符合考试评分规范，丢失步骤分。 ✺题型精讲 题型1.工程问题 1．一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，． 2．某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找到等量关系“七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量”是解题的关键． 根据总工作量为1，七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量，列出方程即可． 【详解】设总工作量为1，七年级的工作效率为，八年级的工作效率为，两个年级一起工作1小时完成的工作量为，七年级单独工作x小时完成的工作量为， 根据等量关系得：． 故答案为． 3．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 【答案】10名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设先安排组装的人员有x名，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设先安排组装的人员有x名， 根据题意得：， 解得：． 答：先安排组装的人员有10名． 题型2.销售盈亏 1．某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“获利=实际售价-成本”． 【详解】解：设这批摆件的标价为元/套， ∵促销活动为八八折后再减8元， ∴实际售价为元， ∵每套进价为60元，要求获利18元，且获利等于实际售价减去进价， ∴列方程得． 2．某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元． 【答案】150 【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这款服装每件的标价为x元， ， 解得， 答：这款服装每件的标价为150元． 3．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型3.比赛积分 1．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【分析】解题关键是找准总得分的等量关系，即胜场得分平场得分负场得分总得分，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设这个足球队胜了场， ∵该队共打8场比赛，只输了1场， ∴平的场数为， 根据总得分列方程得： 整理得 ， 解得 ， 因此这个足球队胜了5场． 2．明明参加学校“汉字大会”比赛，一共有道题，规定做对一题得分，做错或不做一题倒扣分，明明一共得了分，他一共做对了( )道题． 【答案】17 【分析】设他一共做对了x道题，则做错或不做的题目是道，根据“明明一共得了分”列一元一次方程求解． 【详解】解：设他一共做对了x道题，则做错或不做的题目共道， 根据题意得， 他一共做对了17道题． 3．一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 【答案】他做对20道题 【分析】设他做对x道题，根据等量关系式：做对的题目得分做错或不做的题目扣除的总分，列出方程，解之即可． 【详解】解：设他做对x道题，依题可得： ， 解得：． 答：他做对20道题． 题型4.方案选择 1．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．小白兔和青蛙进行跳跃比赛，小白兔每次跳米，青蛙每次跳米，它们每秒钟都只能跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个饮水站，当它们之中有一个开始喝水时，另一个跳了( )米． 【答案】 【分析】本题需先求出小白兔和青蛙第一次到达饮水站时各自需要跳的次数，对比得到先开始喝水的一方，再计算此时另一方跳跃的总路程即可． 【详解】解：先将各数化为假分数：，，， 到达饮水站时，跳跃总路程为饮水站间隔的正整数倍， 设小白兔跳次第一次到达饮水站，可得： ，其中为正整数， 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即小白兔第一次到达饮水站需要跳次， 设青蛙跳次第一次到达饮水站，可得： ， 其中为正整数 整理得， 可得满足条件的最小正整数，即青蛙第一次到达饮水站需要跳次， 因为，所以青蛙先到达饮水站开始喝水， 此时小白兔跳的总路程为：． 3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 题型5.数字问题 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【答案】8 【详解】解：根据题意得，， 解得． 3．一个两位数个位数字与十位数字的和为，如果将个位数字与十位数字交换位置，得到的新的两位数比原来的两位数大 ，求原来的两位数？ 【答案】原来两位数为 【分析】设原来两位数的个位数字为，则十位数字为，根据等量关系式：新的两位数减去原来的两位数等于，列出方程求解即可． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得：， 解得：， 十位数字为：， 原来两位数为：， 答：原来两位数为． 题型6.几何问题 1．用一根长的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽比长少，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出长方形的长，从而可表示出宽，然后根据铁丝长度等于长方形周长列方程，求出长和宽后计算面积即可． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得， 解得， 长为，宽为， 面积为． 2．一根铁丝能围成一个长，宽的长方形，如果把它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是______，面积是______． 【答案】 18 324 【分析】根据铁丝长度保持不变，因此长方形周长等于正方形周长，先求出铁丝总长，再计算正方形边长，最后计算正方形面积． 【详解】解：先计算长方形的周长，即铁丝的总长度： ， 设正方形的边长为， 由题意得， 解得， 正方形的面积为 3．如图，已知阴影部分的面积是120平方厘米，分别是长、宽的中点，长方形的宽是16厘米，求长方形的面积． 【答案】平方厘米 【分析】设长方形的长是厘米，则厘米，厘米，根据割补法列方程求解的值，进而计算即可． 【详解】解：设长方形的长是厘米． ∵分别是长、宽的中点， ∴厘米，厘米， 由题意，得， 解得， 长方形的面积：（平方厘米）． 题型7.动点问题 1．如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 【答案】C 【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可． 【详解】解：设第一次需要t秒相遇， 根据题意得， 解得， ∴它们第1次相遇的时间为秒， 故选：C． 2．如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．      【答案】或3 【分析】本题考查了列代数式求解和解一元一次方程的相关知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题需要分两种情况讨论点在上和点在上，然后分别列出和的代数式，根据，然后即可求解； 【详解】解：通过审题，存在两种情况：①点在上；②点在上； ①当点在上时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述：或3； 故答案为：或3． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米； （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得； （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得． 题型8.电费和水费问题 1．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用应缴水费超出10吨的部分，即可得出关于的一元一次方程，此题得以解决． 【详解】解：由题意，得： 解得：． 故选：D ． 2．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据收费标准，用电量超过100度时，电费由两部分组成：前100度按每度元收费，超出部分按每度元收费，已知总电费为77.4元，据此列方程． 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 3．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表： 每月用水量 单价（元） 不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分 (1)某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求的值； (2)在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该用户5月份用水29立方米 【分析】（1）由题意得到即可得到答案； （2）首先由计算得到5月份用水超过23立方米，然后列方程计算即可． 【详解】（1）解：依题意得， ． （2）解：，而 5月份用水量超过23立方米 设5月份用水量为x立方米， 依题意得． 解得． 答：该用户5月份用水29立方米． 题型9.行程问题 1．轮船和汽车都从甲地开往乙地，海路比公路近40千米．轮船上午7点开出，速度是每小时24千米．汽车上午10点开出，速度为每小时40千米，结果同时到达乙地．则汽车所用的时间为（   ） A．7小时 B．6.5小时 C．6小时 D．5小时 【答案】A 【分析】设汽车所用的时间为小时，根据“海路比公路近40千米”的等量关系列方程求解即可. 【详解】解：设汽车所用的时间为小时， ∵轮船上午7点开出，汽车上午10点开出，同时到达乙地， ∴轮船行驶时间为小时， 由题意，， 解得； 即汽车所用时间为7小时. 2．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为x千米，则根据题意列出的方程是______． 【答案】 【详解】根据“每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟”结合时间不变列方程即可． 【解答】解：∵10分钟小时，5分钟小时， ∴． 3．A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． (1)若相向而行，出发后多少小时相遇？ (2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇． (2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 题型10.比例分配 1．甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【答案】D 【分析】本题考查了列方程解应用题，设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨，根据甲卡车比乙卡车多运货12t，列出方程即可. 【详解】解：设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨， 根据题意，得：， 解得：， （吨）， 故选： ． 2．用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 __________________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据长方形的宽为米，长是宽的倍，可以用含的代数式表示出长，然后根据长方形的周长（长宽），可以列出相应的方程． 【详解】解：∵长方形的宽为米，长是宽的倍， ∴长为米， ∵用一根米长的绳子围出一个长方形， ， 故答案为： 3．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 题型11.日历问题 1．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 【答案】A 【分析】设最中间的数为x，则可表示出其他四个数，进而可表示出这五个数的和，令这五个数的和分别等于四个选项中的数，解方程求出对应的x，看是否符合月历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最中间的数为x，则其他四个数为， ∴这五个数的和为， 当时，解得，不符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 2．如果某年的某月有5个星期四，这5个星期四对应的日期数之和是80，那么这个月的4日是星期_____． 【答案】六 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一个星期四的日期为x号，根据五个星期四的日期之和为80列方程求解x，再推算4日的星期． 【详解】解：设第一个星期四为x号，则五个星期四日期分别为x，，，，．其和为， 解得．即2日是星期四，则3日是星期五，4日是星期六． 故答案为：六． 3．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 他的说法是错误的， 理由：由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在， ∴他的说法是错误的． 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）根据月历的特点化简条件式即可； （2）列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据月历的特点可知，，，，， ∴， 解得：； （2） 略 题型12.古代问题 1．《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．2斗 【答案】A 【分析】本题根据三者食量的比例关系设未知数，利用总赔偿量列一元一次方程求解，再计算牛主人与羊主人赔偿量的差值即可． 【详解】解：设羊主人应赔偿谷子斗， ∵羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半， ∴马主人赔偿斗，牛主人赔偿斗， ∵总赔偿谷子共斗， ∴， 解得， ∴牛主人赔偿， ∴牛主人比羊主人多赔偿斗． 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 3．元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 题型13.其他问题 1．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中活了四年，便与世长辞了．”问丢番图的寿命是（    ） A．73 B．84 C．88 D．92 【答案】B 【分析】设丢番图的寿命为x岁，根据墓碑记载的各阶段年龄和等于总寿命，列出一元一次方程求解，即可选出正确选项． 【详解】解：设丢番图的寿命为x岁，由题意得： ， 解得 ∴丢番图的寿命是84岁． 2．甲种糖每千克12元，乙种糖每千克7元，用甲种糖9千克和乙种糖______千克混合，才能使混合后的糖的价钱为每千克10元． 【答案】 【分析】设乙种糖有x千克，根据题意列出方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设乙种糖有x千克， 根据题意，得 解得 答：用甲种糖9千克和乙种糖6千克混合，才能使混合后的糖的价钱为每千克10元． 3．福星学校六（1）班10名同学的英文考试成绩按照分数排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分数比10人平均分数少8分，这10名同学的平均分是多少分？ 【答案】这10名同学的平均分是80分 【分析】以10人平均分为未知量，根据前4名总分与后6名总分之和等于10人总分的等量关系列方程求解． 【详解】解：设这10名同学的平均分是分 由题意得， 解得 答：这10名同学的平均分是80分． 题型14.配套问题 1．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， ∵ 1千克瓷泥可做3个茶壶， ∴ 茶壶总数量为个， ∵ 1千克瓷泥可做9只茶杯， ∴ 茶杯总数量为个， ∵ 每套茶具由2个茶壶和3只茶杯组成，配套时总套数相等， ∴ ， 整理得． 2．某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 3．某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知两个大齿轮和三个小齿轮配成一套，问应如何安排加工人数可以使生产的产品刚好配成套？ 【答案】安排25个工人生产大齿轮，60个工人生产小齿轮，可以使生产的产品刚好配成套 【分析】根据“两个大齿轮和三个小齿轮配成一套”列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产大齿轮， 根据题意可得：， 解得：． 答：安排25个工人生产大齿轮，60个工人生产小齿轮，可以使生产的产品刚好配成套． 题型15.和差倍分问题 1．已知甲实验田的面积比乙实验田的倍还多，这两块实验田共，设乙实验田的面积为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲实验田的面积比乙实验田的倍还多，把甲实验田的面积用含的代数式表示出来，再根据两块实验田共列方程即可． 【详解】解：设乙实验田的面积为， 甲实验田的面积比乙实验田的倍还多， 甲实验田的面积是， 又两块实验田共， 可列方程为． 2．如果原来甲、乙两人一共有练习本本，甲给乙本后，甲的练习本比乙的倍少本．如果设甲原来有本，那么可列方程为_______． 【答案】 【分析】设甲原来有本，则乙有本，分别表示出甲给乙本后，甲、乙两人的练习本的数量，根据甲的练习本比乙的倍少本列出方程即可． 【详解】解：设甲原来有本，则乙有本， ∴甲给乙本后，甲的数量为，乙的数量为本， ∵甲给乙本后，甲的练习本比乙的倍少本， ∴可列方程为． 3．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？ 【答案】 【分析】设应调往甲处x人，根据在甲处植树的人数是乙处人数的2倍列方程即可． 【详解】解：设应调往甲处x人， 根据题意可列得方程为：． ✺巩固测试 一、单选题 1．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据比赛场次和得分规则建立等量关系．首先根据总场次和负场数求出胜场与平场的总场次，设胜场数为未知数，根据总得分列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，则平的场次为场， 可列方程：， ：； 故选：B． 2．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚7尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺．由题意可得 ∴ 解得 ， 因此小老鼠第一天打洞距离为尺． 3．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等”列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 4．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点．设运动时间为秒，则下列结论：①点B对应的数是4；②当点P到达点B时，；③当时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：C． 二、填空题 5．买2瓶王子酒和12瓶茅台啤酒共用300元，已知一瓶王子酒与24瓶茅台啤酒的价钱相等，那么一瓶王子酒和一瓶茅台啤酒共需___________元． 【答案】 【分析】根据题意设出未知数，找出等量关系列方程求解，再计算一瓶王子酒和一瓶茅台啤酒的总价即可. 【详解】解：设一瓶茅台啤酒的价格为元，则一瓶王子酒的价格为元， 根据题意可得： ， ， 解得， 因此. 6．某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（方案优惠问题），解题的关键是设出商品原价，根据两种方案付款金额相等建立方程求解． 设商品原价为元（，否则方案二无超额折扣，无法与方案一付款相等）；表示出方案一付款为元，方案二付款为元；根据付款相等列方程求解，再计算付款金额． 【详解】解：设商品原价为元（）， 方案一付款：元， 方案二付款：元， 由付款相等得， ， ， ， 相等付款额为元． 故答案为：． 7．如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】根据的周长和四边形的周长相等得到，根据，得到，根据得到，最后将，代入求解即可． 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 8．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答， （2）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列方程求解，即可作答． 【详解】解：（1）用水量在第二档范围内（）， ∴水费为（元）， 故该户水费为元， 故答案为：1040． （2）水费元， 先判断档位：第一档最大水费元， 第二档最大水费元，由于，故属第三档， 第三档水费公式为， 解得， 故用水量为． 故答案为：290． 三、解答题 9．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 10．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 【答案】小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次，分析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4倍”，可列出方程，最后求解方程并求得小宇和小七的搜索量． 【详解】解：设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴小七的搜索量为：（次） 即小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次． 11．某加工厂利用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成图2的型铁盒与型铁盒，两种铁盒均无盖．已知型铁盒需要4张长方形铁片，型铁盒需要3张长方形铁片． (1)做个型铁盒和个型铁盒，共需要_____张长方形铁片，_____张正方形铁片． (2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，且这些铁片恰好用完，设制作型铁盒个． ①制作B型铁盒_____个．（用含的式子表示） ②求制作A型、B型两种铁盒的个数． 【答案】(1)， (2)① ②10个，20个． 【分析】（1）根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形，分别计算做a个A型铁盒和b个B型铁盒，各所需要的长方形与正方形个数，再相加即可解题； （2）①设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个； ②由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解题． 本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的识图，找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意做一个A型铁盒需要4个长方形和1个正方形，做一个B型铁盒需要3个长方形和2个正方形， 故做a个A型铁盒需要个长方形，个正方形，做b个B型铁盒需要个长方形，个正方形， 故需要个长方形，个正方形， （2）①解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 故答案为：； ②解：根据题意，得， 解得， 此时， 故制作A型、B型两种铁盒的个数分别为10个，20个． 12．下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 小明的说法错误， 理由：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合 “T”字形框， 故小明的说法是错的． 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $