2.3 有理数的乘除运算 暑假预习练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数乘除运算，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|乘除法则、符号判断、简单运算|单选题1-3、10-12，填空题13、17，直接考查运算法则与基础计算| |中档|数轴结合、分类讨论、性质应用|单选题4-9，填空题14-16，如数轴上数的运算（第7题）、因数对分类（第14题）| |提升|新定义运算、实际情境、综合探究|解答题18-24，含自定义运算（第18题）、行程问题（第21题）、生活应用（第22题）|

2.3有理数的乘除运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 2．已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 3．如果，a与b同号，那么另外两个数c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 4． a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 6．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 7．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a＜0＜ b；② |a|＜|b|；③ ab＞0；④b－a＞a＋b；⑤|a－b|＋a＝b．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若互为相反数，互为倒数，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．计算的结果是（    ） A．1.5 B． C．0 D．1.2 12．下列运算结果为正数的是（　） A． B． C． D． 二、填空题 13．若■表示最大的负整数，则______． 14．小强和小丽去迷宫游玩，他们发现了一个秘密机关，机关的门口是一些写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于，两个数不分顺序．”则符合要求的按法共有__________种． 15．已知四个数，取其中的任意两个数求积，积最大是_____． 16．若多项式是三次三项式，的倒数是负数，则的值为______． 17．计算：_______． 三、解答题 18．广大附中的学生们不仅喜欢钻研数学问题，他们还喜欢自己命题相互考．下面是小张同学命制的试题，对于任意四个有理数，，，，我们给它一个规定：，例如：请根据上述规定的运算解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)若有理数，求的值． 19．计算： (1) (2) 20．已知为有理数，且它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试判断的正负性． (2)在数轴上标出的相反数的位置． (3)根据数轴化简： ①________；②________； ③________；④________； ⑤________；⑥________． (4)若，求的值． 21．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达A村，继续向西行驶到达B村，最后向东行驶到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西处的位置，m到点C的距离为，求便民超市与学校之间的距离．[提示：到0之间的距离可以表示为] 22．学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出___________杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出___________杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 23．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 24．阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 《2.3有理数的乘除运算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D B C C D 题号 11 12 答案 C A 1．A 【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，即：，同号， ∴当时，，此时：， 当时，，此时：， 故的值为1或， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负； ①同正：； ②两正一负，不妨令，则； ③一正两负，不妨令，则； ④同负：； 故选：C． 3．C 【分析】根据有理数乘法法则进行解答即可． 【详解】∵a与b同号， ∴， ∵， ∴， ∴c与d一定异号， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘法，熟记有理数乘法法则是解题的关键．有理数乘法法则：两数相乘，同号为正，异号为负，任何数与0相乘都得0． 4．C 【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【详解】解：A．∵，∴，故A正确，不符合题意； B．∵，∴，故B正确，不符合题意； C．∵，∴，故C错误，符合题意； D．∵，∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了数轴、绝对值、有理数的加减运算的有关内容，数形结合是解答本题的关键． 5．B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 6．D 【分析】此题主要考查了有理数的乘法．由，根据两数相乘，异号得负，得出a与c异号；由，得，；由，得b与ac同号，又，得． 【详解】解：由，得a与c异号； 由，得，； 由，得． 故选：D． 7．B 【分析】根据数轴得出a＜0，b＞0可判断①；根据a离原点远，b离原点近可判断②；根据异号相乘可判断③；根据b-a＞0，a+b＜0，可判断④；根据绝对值的性质可判断⑤． 【详解】解：∵a＜0，b＞0， ∴a＜0＜ b，故①正确； ∵a离原点远，b离原点近， ∴|a|＞|b|，故②不正确； ∵a＜0，b＞0， ∴ab＜0，故③不正确； ∵b-a＞0，a+b＜0， ∴b－a＞a＋b；故④正确； ∵a＜0，b＞0， ∴a＜0，-b＜0， ∴|a－b|=| a |+| b|=-a+b， ∴|a－b|+ a =b，故⑤正确； ∴其中正确的个数是3个． 故选择B． 【点睛】本题考查数轴上点的特征a＜0＜ b，，绝对值|a|＞|b|，利用数轴确定式子的符号，有理数运算，掌握数轴上点的特征的特征是解题关键． 8．C 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴得出，．根据数轴比较有理数a、b、c，得出，，即可分析得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义得到，，，再分2种情况讨论的值即可得出答案． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； ∴的值为或3 故选：C． 10．D 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，乘除运算，四则混合运算，根据各自的运算法则逐一计算即可，掌握运算顺序是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 11．C 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则，熟记任何数乘0，积都为0是解题的关键． 12．A 【分析】本题考查有理数的运算及正、0、负数的概念．根据各个选项中的式子，计算出相应的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，是正数，该选项符合题意； B、，是负数，不是正数，该选项不符合题意； C、，不是正数，该选项不符合题意； D、，是负数，不是正数，该选项不符合题意； 故选：A． 13． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，最大的负整数为，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵■表示最大的负整数， ∴■表示的数为， ∴， 故答案为；． 14．6 【分析】根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可分解出积为的因数，进而解题即可． 【详解】解：∵，；，；，． ∴符合要求的按法共有6种． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了有理数乘法法则的实际运用，根据题意找出相关因数是关键． 15．27 【分析】根据同号两数的积为正数，异号得负数，正数大于一切负数，故只要计算：，然后比较大小即可． 【详解】解：，， 又， 积最大是27； 故答案为：27． 【点睛】此题考查了有理数的乘法以及有理数的大小比较，熟练掌握有理数乘法运算法则是解答此题的关键． 16． 【分析】根据多项式的项与次数得出，再根据去绝对值可得出或，然后根据倒数为负数即可得出答案． 【详解】是三次三项式， 或 的倒数是负数， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值、多项式以及倒数的概念，比较简单，熟练掌握相关概念是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查了小数的巧算，、、、根据积的变化规律化为，然后运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为: ． 18．(1)15 (2)58 (3) 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则计算即可； （3）根据新定义的运算法则对原方程进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 整理，得：， 解得：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 19．(1) (2) 【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键． 20．(1)是负数，是正数； (2)见解析 (3)①，②b，③c，④，⑤b，⑥c (4)，， 【分析】本题考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值，相反数，正负数，熟练掌握数轴和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据相反数的定义即可在数轴上表示； （3）根据绝对值的性质即可得出结论； （4）根据绝对值的性质再结合正负数即可得出结论． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴是负数，是正数； （2）解：如图即为所求： （3）解：∵， ∴， ∴①；②；③；④；⑤；⑥， 故答案为：①，②b，③c，④，⑤b，⑥c； （4）解：∵，， ∴． 21．解：（1）由题意可得：点A、B、C的位置如下图所示：                         （2）1.4升； （3）或 【分析】本题考查了数轴的相关知识点、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意标出点A、B、C的位置即可； （2）先求出该汽车从货物集散中心出发到达C村所行驶的路程，再乘以0.1即可得解； （3）由（1）知点B表示的数为，求出，再分两种情况：①当便民超市在点C左侧时；②当便民超市在点C右侧时；分别求解即可． 【详解】（1）略 （2），                         （升）． 所以该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油1.4升．                     （3）由（1）知点B表示的数为， 因为n位于点B向西处的位置， 所以．                     ①当便民超市在点C左侧时，，                             所以便民超市与学校之间的距离为．                     ②当便民超市在点C右侧时，，                     所以便民超市与学校之间的距离为．                     所以便民超市与学校之间的距离为或． 22．(1)1455； (2)111； (3)这一周的工资总额是3425元． 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）根据题意列出算式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（杯）， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出（杯）， 故答案为：111； （3）解：（元）． 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 23．(1) (2) 解：交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）略 24．(1)70， (2) ∵2个数都在奇数位上， ∴设一个为m，另一个为． 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∴时符合题意， ∴， ∴这两个数为3，2或8，7． ∵共有32个班级 ∴这两个数为3，2； (3) 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∵， ∴， ∵d是10的倍数， ∴， ∴该数字为2022000000000． 但不存在 班级号、学号、考场号、座位号不可能为00， ∴ 不同意. 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，整式加减混合运算的应用，理解检验码的计算方法是解答本题的关键． （1）根据d和*的计算方法计算即可； （2）设一个为m，另一个为．根据a，b，c，d， *的计算方法求出各个数分析即可； （3）表示出，然后根据d是10的倍数即可求出x的值． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，． 故答案为：70，6； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $