3.2《循环小数》（课件）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学课件聚焦“循环小数”核心知识，涵盖概念、循环节、简便记法及与有限小数的区别。通过森林运动会王鹏赛跑情境导入，从“路程÷时间=速度”列出400÷75，引导学生计算发现余数重复致商的小数部分重复，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点是以情境驱动和探究式学习为主，用“小尾巴”“化妆术”等趣味比喻助理解，融入音频提示辅助规律探究。体现数学眼光（从生活问题发现数学现象）、数学思维（计算推理循环规律）、数学语言（符号简化表达），如“挑战三”中n÷7的循环节排列规律培养创新意识。能激发学生兴趣，帮助教师高效开展概念教学与能力训练。

数学探险队出发 2. 探索“循环小数”的奥秘 人教版五年级数学上册 加音频（同学们，欢迎来到今天的数学探险课堂！我是你们的探险队长。今天，我们将一起去探索一个非常奇妙的数学现象，它就像一个永远讲不完的故事，一个无限循环的动画片。） 1.7.2013 同学们，欢迎来到今天的数学探险课堂！我是你们的探险队长。今天，我们将一起去探索一个非常奇妙的数学现象，它就像一个永远讲不完的故事，一个无限循环的动画片。准备好了吗？让我们一起出发吧！ ‹#› 情境导入：运动健将王鹏的挑战 一年一度的森林运动会开始啦！ 看，我们的跑步明星王鹏正在参加400米赛跑。他像一阵风一样，只用了75秒就冲过了终点线，真是太厉害了！可是，裁判长颈鹿先生遇到了一个难题：他想知道王鹏平均每秒跑多少米？这可难倒了长颈鹿先生，聪明的同学们，你们能帮忙算一算吗？ 核心问题 王鹏平均每秒跑多少米？ 数量关系 路程÷时间=速度 列出算式 400÷75 1.7.2013 同学们，一年一度的森林运动会开始啦！看，我们的跑步明星王鹏正在参加400米赛跑。他只用了75秒就完成了比赛，真是太快了！可是，裁判长颈鹿先生遇到了一个难题：他想知道王鹏平均每秒跑多少米？你们能帮帮长颈鹿裁判吗？这个问题应该怎么列式呢？没错！就是400除以75。现在，请大家拿出练习本和笔，跟着我一起用竖式来计算一下，看看能得到什么结果。 ‹#› 探究新知：咦？算不完的除法！ 小朋友们，我们一起来挑战一个有趣的除法算式吧！试着计算一下 400 ÷ 75，看看你在计算过程中能发现什么神奇又好玩的数学现象？ 4 0 0 75 5 3 7 5 . 2 5 0 3 2 2 5 2 5 0 2 2 5 3 3 2 5 0 2 2 5 2 5 注意：在列竖式计算除法的过程中，只要相同余数重复出现两次，就不用再除，可以确定商。 哇！发现了一个数学小秘密！ 原来在计算中，余数“25”会不断重复出现，导致商的小数部分“3”也跟着一直重复！这就意味着这个除法算式好像永远也算不完啦。这种从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数，我们就叫它“循环小数”哦！ 1.7.2013 我们先商5，余25。大家看，余数是25。我们在余数25后面添0，继续除，商3，哎？余数怎么还是25？我们再添0，再除，商3，余数……哇！还是25！同学们，你们发现了什么？这个除法算式好像永远也除不完了！商的小数部分会一直不断地出现数字‘3’。这到底是怎么回事呢？ ‹#› 400÷75=5.333…（m） 如果商的小数部分的位数是无限的，那么写商时，小数部分反复出现的数字先写出几个后，其余的用“…”代替。 小朋友们，我们一起来挑战一个有趣的除法算式吧！试着计算一下 400 ÷ 75，看看你在计算过程中能发现什么神奇又好玩的数学现象？ 4 0 0 75 5 3 7 5 . 2 5 0 3 2 2 5 2 5 0 2 2 5 3 3 2 5 0 2 2 5 2 5 探究新知：咦？算不完的除法！ 1.7.2013 我们先商5，余25。大家看，余数是25。我们在余数25后面添0，继续除，商3，哎？余数怎么还是25？我们再添0，再除，商3，余数……哇！还是25！同学们，你们发现了什么？这个除法算式好像永远也除不完了！商的小数部分会一直不断地出现数字‘3’。这到底是怎么回事呢？ ‹#› 小试牛刀：一起来计算 2 8 18 1 1 8 . 0 9 0 28÷18= 78.6÷11= 1 0 5 1 0 1.555… 7 8.6 11 7 7 7 . 1 6 1 1 1 5 0 4 4 4 6 0 5 5 5 7.14545… 5 1.7.2013 我们先商5，余25。大家看，余数是25。我们在余数25后面添0，继续除，商3，哎？余数怎么还是25？我们再添0，再除，商3，余数……哇！还是25！同学们，你们发现了什么？这个除法算式好像永远也除不完了！商的小数部分会一直不断地出现数字‘3’。这到底是怎么回事呢？ ‹#› 它的名字叫“循环小数”！ 像我们刚才计算的5.333…，它的小数部分从第一位开始，数字“3”就不断地重复出现，就像一群排着队的小士兵永远走不完！这种特殊的小数，就是我们今天要认识的新朋友——循环小数。 📖 数学定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。像上面的5.333…和7.14545…都是循环小数。 就像游乐场的旋转木马，重复的数字一直在“转圈”，永远不停歇哦！ 5.333… 从十分位起，数字“3”不断重复出现，就像小火车的轮子，转了一圈又一圈，永远没有终点～ 1.555… 这是算式28÷18的商。看，小数部分的“5”一直重复，算到什么时候都除不尽呢！ 7.14545… 这是78.6÷11的商。这次是两个数字“45”手拉手，从百分位起依次不断重复出现啦！ 1.7.2013 像我们刚才计算的5.333...，它的小数部分从第一位开始，数字‘3’就不断地重复出现，它就是一个循环小数。大家看，这个省略号‘...’就表示后面还有无数个3在排队呢！我们再看看这两个算式的商，1.555...和7.14545...，它们也都有数字在不断重复，所以它们也都是循环小数。 ‹#› 深入探究：循环小数的“小尾巴”——循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。它就像是循环小数的专属“小尾巴”，只要看到它，就知道后面的数字会一直重复下去啦！ 例 1：单数字循环 5.333… 循环节是：3 例 2：简单重复 1.555… 循环节是：5 例 3：两个小伙伴 7.14545… 循环节是：45 例 4：三个小纵队 6.9258258… 循环节是：258 💡 小侦探秘籍：怎么找循环节？ 先看小数部分，找到从哪一位开始，数字会“一模一样、不停歇”地重复出现。如果是单个数字在跑圈，那它自己就是循环节：如果是几个数字手拉手转圈，那这一组数字就是循环节哦！ 1.7.2013 我们刚刚认识的循环小数5.333...，它不断重复的数字是哪一个？对啦！是3。这个不断重复的‘3’，就是它的‘小尾巴’，我们给它取个名字，叫‘循环节’。那1.555...的循环节是什么？是5。再看7.14545...，它的小数部分从第二位开始，45不断重复，所以它的循环节是45。最后这个6.9258258...，重复的是258这三个数字，所以它的循环节就是258。 ‹#› 简便记法：神奇的“化妆术” 写一长串重复的数字多麻烦呀！数学家们发明了一种像“化妆”一样的简便方法：只要在循环节的首位和末位数字上面各点一个小圆点，长长的数字就变清爽啦，快来看看怎么操作吧！ 原来的样子：5.333… 变身简便记法：5.3 读作：五点三，三循环 原来的样子：1.555… 变身简便记法：1.5 读作：一点五，五循环 原来的样子：7.14545… 变身简便记法：7.145 读作：七点一四五，四五循环 原来的样子：6.9258258… 变身简便记法：6.9258 读作：六点九二五八，二五八循环 . . . . . . 点击小花加音频（循环节中只有一个数字的，只在该数字上面记一个圆点。循环节中有两个或者两个以上数字的，在第一个和最后一个数字上面各记一个圆点，中间数字不需要标记。） 1.7.2013 写一长串重复的数字多麻烦呀！数学家们发明了一种简便的方法来表示循环小数，就像给它化个妆。我们只需要在循环节的首位和末位数字上面各点一个小圆点就可以啦！比如5.333...，循环节是3，就在3上面点一个点。7.14545...，循环节是45，就在4和5上面分别点一个点。 ‹#› 知识拓展：小数家族的两兄弟 有限小数 小数部分的位数是有限的小数。就像一场短跑比赛，跑到头就结束了，数字有明确的“终点站”。 举个例子：0.9375 小数部分只有四位，数到最后一位就戛然而止，清清楚楚。 无限小数 小数部分的位数是无限的小数。就像没有终点的马拉松，数字会一直延伸下去，永远写不完。 举个例子：5.333… 或 7.14545… 小数部分会不断重复出现，无论写多久，永远都写不到尽头。 ✨ 趣味比喻：像一首短诗 篇幅不长，结构完整，读完最后一句就画上了圆满的句号。 ✨ 趣味比喻：像无限延伸的铁轨 一直通向远方，没有终点，也像一首永远唱不完的歌，旋律无限循环。 1.7.2013 同学们，我们以前学过的小数，大部分都是有限小数，比如0.5，1.25，它们的小数部分位数是有限的，就像跑到了终点线。而今天我们认识的循环小数，因为它的小数部分会无限循环下去，所以它属于无限小数这个大家族，就像一条无限延伸的铁轨。 ‹#› 挑战一：我是简写小能手！ ❶ 1.555… ❷ 1.746746… ❸ 0.105353… 老师小锦囊：循环小数的“魔法”写法 写循环小数时，只需要写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。如果循环节只有一个数字，直接在它上面点一个点就可以啦！掌握了这个方法，再长的循环小数也能轻松变“苗条”。 简便写法：1.5 · 简便写法：1.746 ·· 简便写法：0.1053 · · 1.7.2013 现在，我们来挑战第一关：我是简写小能手！请大家看屏幕上的题目，用我们刚刚学的简便方法，把这些循环小数写出来。谁来试试第一题？……非常棒！我们来看看答案是否正确。 ‹#› 挑战二：精确到小数点后两位！ 计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。 第一题：小数除法初体验 第二题：整数遇小数 第三题：无限循环挑战 近似值：2.14 商：2.142857 · · 💡 数学小锦囊：保留两位小数时，关键看小数点后第三位！如果第三位数字大于或等于5，就向前一位进1；如果小于5，就直接舍去。掌握这个“四舍五入”的小魔法，再难的计算题也能轻松搞定啦！ 商：0.2125 商：0.254 · 近似值：0.21 近似值：0.25 15÷7 15.3÷72 2.29÷9 1.7.2013 第二关挑战来啦！这次需要我们精打细算。请大家先计算出商，如果是循环小数，就用简便形式表示出来，然后再用四舍五入法保留两位小数。大家开始计算吧！注意，保留两位小数要看千分位哦！ ‹#› 挑战三：寻找神秘的规律！ 所有商的循环节均为数字“142857”的不同排列，循环节的起始数字随被除数n的增大依次变化，呈现周期性排列的特点。 观察下面的算式，你发现了什么？ 点击小东加音频（n÷7（n=1，2，…，6）的商的规律是： 循环节都是数字“142857”的不同排列， 只是起始数字随被除数变化，展现了循环小数的周期性特点。） 哇！发现了什么惊天大秘密？ 1.7.2013 数学的世界里藏着无数有趣的规律，只要你有一双善于观察的眼睛和爱思考的大脑，就能发现这些隐藏的“数学魔法”！ ‹#› 课堂总结：满载而归！我们的探险收获 今天的探险之旅结束啦！我们一起在数学王国里发现了好多新知识，快来看看我们带回了哪些闪闪发光的宝藏吧！ 就像永远跑不完的环形跑道，小数部分里有一个或几个数字会不断地、重复地出现，永远停不下来。这就是神奇的循环小数！ 这是循环小数的“身份证号码”，也就是那些依次不断重复出现的数字。只要抓住了它，就抓住了循环小数的关键特征哦！ 学会化妆术 —— 简便记法 长长的数字写起来太麻烦？给循环节化个妆！只需要在循环节的首位和末位数字头顶上，轻轻点上两个小圆点，就变简洁啦。 小数家族里有两类成员，一类是位数有限的“有限小数”，另一类是位数无限的“无限小数”。我们的新朋友循环小数，就属于无限小数哦！ 认识新朋友 —— 循环小数 找到小尾巴 —— 循环节 拜访小数家族 —— 有限与无限 1.7.2013 今天的探险之旅结束啦！我们不仅认识了神奇的循环小数，找到了它的循环节，还学会了它的简便写法，区分了有限小数和无限小数。希望大家能把今天的收获牢牢记住，它们会成为你们数学工具箱里非常有用的工具！ ‹#› 练习五 1.7.2013 探险队员们，大家好！今天，我们收到了来自数学国王的一封密信！他说，在数学王国深处，藏着一个关于‘小数除法’的神秘宝藏。只有最聪明、最勇敢的探险家才能找到它！你们有信心和我一起出发吗？ ‹#› 练习五 =1.5 =1.65 =0.7 =0.09 4 3.5 29 1 2 9 . 1 4 5 5 1 4 5 0 6.6 4 1 4 . 2 6 6 2 4 2 0 5 2 0 0 1 8.9 27 0 . 7 1 8 9 0 1.3 5 15 0 . 0 9 1 3 5 0 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 =2.6 =6.25 =0.85 =0.07 2 8.6 11 2 2 2 . 6 6 6 6 6 0 3 7.5 6 6 3 6 . 1 2 5 1 2 3 0 5 3 0 0 2 0.4 24 0 . 8 1 9 2 1 2 0 5 1 2 0 0 3.6 4 52 0 . 0 7 3 6 4 0 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 错误，正确结果为1.6。 错误，正确结果为0.07。 2 4 15 1 1 5 . 9 6 0 9 0 0 1.2 6 18 0 . 0 7 1 2 6 0 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 =1.3 =20.5 1 5.6 12 1 1 2 . 3 3 6 3 6 0 利用“除数×商=被除数”来验算。 验算： 1 2 × 1. 3 6 3 2 1 6 5 1 . 3 2 8 16 2 3 2 0 8 8 0 0 . 0 5 验算： 1 6 × 2 0. 5 3 0 8 2 3 0 8 2 3 . 1 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 =0.04 =0.034 1.0 8 27 0 . 0 4 1 0 8 0 利用“除数×商=被除数”来验算。 验算： 2 7 × 0. 0 4 2 8 1 0 . 0.6 4 6 19 0 . 0 3 5 7 7 6 4 7 6 0 验算： 1 9 × 0. 0 3 4 3 6 7 7 5 6 4 6 . 1 0 2 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 1.291 0.018 0.444 7.275 保留三位小数，要看小数点后第四位。 4 2 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 提示：分两步：①算出得数，②用“四舍五入”法求得近似数。 2.9 2.86 2.857 0.9 0.85 0.851 1.2 1.20 1.197 40÷14=2.857142 · · 26.37÷31=0.8506… 45.5÷38=1.1973… 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 求一个数是另一个数的多少倍，用除法计算。 134÷9≈14.89 1 3 4 9 1 9 4 4 4 3 6 8 . 0 8 7 2 8 商是14.888… 答：鸵鸟的体重是天鹅的14.89倍。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 7.74÷3=2.58（m） 7.7 4 3 2 6 1 7 . 1 5 2 5 4 8 2 4 0 答：这只青蛙平均每次跳2.58米。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 平均每位运动员的用时=总时间÷运动员人数 37.79÷4≈9.45（秒） 有4位运动员 3 7.7 9 4 9 3 6 1 7 . 1 6 1 4 9 4 1 6 3 0 7 2 8 2 答：平均每位运动员用时9.45秒。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 0.3 50 150 ×10 ×10 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。  ×100 ×100 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 24.2+16.4=40.6（元） 40.6÷7=5.8（元） 40.6÷14=2.9（元） 答：一本《少年科技》5.8元钱，一根跳绳2.9元钱。 班费+卖废品的钱 4 0.6 7 5 3 5 5 6 . 5 6 0 8 4 0.6 14 2 2 8 1 2 6 . 1 2 6 0 9 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 买2本《少年科技》和3根跳绳需要多少钱？ 5.8×2+2.9×3=20.3（元） 答：买2本《少年科技》和3根跳绳需要20.3元钱。 班费+卖废品的钱 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 速度=路程÷时间 7.2÷3=2.4（千米/时） 7.2÷2=3.6（千米/时） 答：上山的平均速度是2.4千米/时，下山的平均速度是3.6千米/时。 （7.2×2）÷（3+2）=2.88（千米/时） 答：上、下山全程的平均速度是2.88千米/时。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 下山的平均速度比上山的快多少? 3.6-2.4=1.2（千米/时） 答：下山的平均速度比上山的快1.2千米/时。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 √ √ √ √ √ 被除数小于除数（除数不为0）时，商小于1。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 总价=单价×数量 4 86.70 336.00 买篮球和足球的总价钱 篮球的数量=336÷84=4（个） 足球的单价=433.5÷5=86.7（元） 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 用计算器计算时，注意要输入正确的数据。 0.2727… 0.3636… 0.4545… 0.5454… 0.6363… 0.7272… 0.8181… 规律：n÷11（n＜11）的商是循环小数，循环节都是被除数的9倍。 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 练习五 提示：先把无限循环小数展开到足够的小数位数，再比较大小。 ＜ ＜ ＞ 0.333… 1.2323… 1.4555… 1.4545… 1.7.2013 我们的第一站，是环保回收站。看，第一小组的4名同学收集了很多旧报纸，一共换了22元钱！他们想知道，平均每个人能分到多少钱？大家用竖式算一算，看看会发生什么？我们算出来商是5，但是还余下了2元。这剩下的2元该怎么办呢？ ‹#› 谢谢观看 1.7.2013 探险队员们，今天的旅程结束了。我们不仅学会了除数是整数的小数除法，还收获了智慧和勇气。数学王国的探险永无止境，期待我们下一次的冒险！下课！ ‹#› null 18050.557 null 15568.897 null 16535.42 $