第一章 特殊的平行四边形 单元复习 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦“特殊的平行四边形”复习，涵盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过12道单选、6道填空、7道解答题，梯度覆盖基础计算、推理证明及动态综合应用，适配初中数学单元复习需求，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|菱形面积计算（1题）、矩形折叠（7题）、正方形性质（8题）|结合动态变换（旋转、折叠），考查空间观念| |填空题|6|中点四边形判定（13题）、菱形坐标（14题）、矩形翻折（18题）|注重抽象能力，关联坐标系与几何性质| |解答题|7|菱形证明（19题）、矩形判定（20题）、正方形动态综合（25题）|强调推理意识，设置分情况讨论（25题E点位置），体现创新应用|

第一章 特殊的平行四边形 单元复习 一、单选题 1．如图，在菱形 中，对角线 ，则 的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， .当AC平分 时， 与 满足的数量关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形 中， ，连接 、 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中， ，点E，F分別在边AB，BC上， ， 的周长为 ，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 6．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 7．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为 ，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 ，使点B落在点 的位置，连接B ，过点D作DE⊥ ，交 的延长线于点E，则 的长为（　　） A． B． C． D． 9．一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 10．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， ，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 11．如图，矩形纸片 ，点M、N分别在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 .下列结论：①四边形 是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 12．如图①，正方形 中， ， 相交于点O，E是 的中点，动点P从点E出发，沿着 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段 的长度 随着运动时间x的函数关系如图②所示，则 的长为（　　） A． B．4 C． D． 二、填空题 13．四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形； ②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O； ③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形； ④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形． 所有正确推断的序号是　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是　 　. 15．如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，以 为斜边作 ， ，连接 ， .若 ，则 　 　. 16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若AC＝4，则EF的长是 　 　. 17．如图，在边长为2的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝BE，则CE的长是　 　. 18．如图，在矩形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折，点B落在点F处，当 为直角三角形时， 　 　． 三、解答题 19．如图，在菱形 中，将对角线 分别向两端延长到点 和 ，使得 ．连接 ．求证：四边形 是菱形． 20．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形． 21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作 ，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证： ． 22．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F． （1）求证： ； （2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由） 23．如图， 为等腰直角三角形，延长 至点B使 ，其对角线 ， 交于点E. （1）求证： ； （2）求 的值. 24．如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合.点 落在点 处.已知 ， . （1）求证： 是等腰三角形； （2）求线段 的长. 25．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC （EC＋FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM） （1）当点E是BC边上任意一点时，如图②；当点E在BC延长线上时，如图③，请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图②进行证明； （2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】 是菱形 的面积 故答案为：B. 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，然后根据S△AOD=×AC×BD计算即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形， ， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA= = ， ∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， ∴∠CAC′=∠BAB′= ， ∵AC平分 ， ∴∠B′AC=∠CAC= ， ∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2 = ， ∴ ， 故答案为：C. 【分析】利用菱形的性质可证得AB=BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，可表示出∠BAC和∠BCA；再利用旋转的性质可证得∠CAC′=∠BAB′= ，利用角平分线的定义可得到∠B′AC=∠CAC= ；然后根据∠BAC=∠B′AC+∠BAB′，代入计算，可得答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：设AC与BD的交点为O，如图所示： ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴△ABC是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：D. 【分析】设AC与BD的交点为O，由菱形的性质和已知条件易得三角形ABC是等边三角形，于是用勾股定理可将OB用含OA的代数式表示出来，则BD、AC也可用含OA的代数式表示出来，于是AC与BD的比值可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：连接BD，过点E作EM⊥AD， ∵ ， ， ∴ME=AE×sin60°=2× = ，AM= AE×cos60°=2× =1， ∵在菱形ABCD中， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD和△BCD均为等边三角形， ∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD， 又∵ ， ∴△BDF≌△ADE， ∴∠BDF=∠ADE，DE=DF， ∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°， ∴ 是等边三角形， ∵ 的周长为 ， ∴DE= × = ， ∴DM= ， ∴AD=AM+DM=1+ . 故答案为：C. 【分析】 连接BD，过点E作EM⊥AD，利用解直角三角形求出ME，AM的长；再利用菱形的性质去证明△ABD和△BCD均为等边三角形，由此可得到∠DBF=∠A，BD=AD，利用SAS证明△BDF≌△ADE，利用全等三角形的性质可证得∠BDF=∠ADE，DE=DF，即可求出∠EDF=60°，由此可推出△EDF是等边三角形，可求出DE的长；再利用勾股定理求出DM的长，然后根据AD=AM+DM，可求出AD的长. 5．【答案】B 【解析】【解答】解： 点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6， 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形， 故答案为：B 【分析】利用三角形的中位线定理可求出DE，DF的长，同时可证得四边形DECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形DECF是矩形，由此可求出矩形的面积. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC， ∵ED＝5，EC＝3， ∴DC＝ ， 则AB＝4， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝4， ∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22. 故答案为：B. 【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10，8)， ∴AD=OC=10，DC=AO=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中，OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3， ∴点E的坐标为(10，3). 故答案为：A. 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标. 8．【答案】A 【解析】【解答】设 交于点 ， 由题意： 是等边三角形 四边形 为正方形 ∴∠CBF=90°-60°=30°， DE⊥ 又 设 则 解得： 故答案为：A 【分析】设 交于点 ，证明 是等边三角形，可得，利用正方形的性质求出∠CBF=30°，利用三角形内角和可求出，设 ，利用解直角三角形求出DF、FC 、BF，从而求出BE，B'E，利用建立方程，求出x值即可求出结论. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故答案为：C. 【分析】根据正方形的判定可得结果. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形中， ∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点 ∴OM=ON， ∵∠MPN=90°， ∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°， ∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°， ， 故答案为：C. 【分析】利用正方形的性质可证得∠MBO=∠NDO=45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得OM=ON=OP，利用等边对等角可求出∠MPO的度数；再利用三角形的外角的性质求出∠MOB的度数，利用正方形的性质求出∠DBM的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠BMO的度数，从而可求出∠AMP的度数. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：①如图1， ∵ ， ∴ ， ∵折叠，∴ ，NC=NP ∴ ， ∴ ， ∴PM=CN， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 为菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设 ，则 ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵四边形 为菱形， ∴ ，且 ， ∴ ∴ ， 故②错误，不符合题意. ③当 过点D时，如图3所示： 此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ， 当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ， ∴ ，故③正确，符合题意. 故答案为：①③. 【分析】①利用一组对边平行且相等可证四边形 为平行四边形，由折叠的性质可得CN=NP，可证平行四边形 为菱形，据此判断即可；②当点P与A重合时， 设 ，则 ，在 中，由，建立方程求出x值，可求出CN、AC，CQ，利用勾股定理求出QN，由菱形的性质得出MN=2QN，据此判断即可；③当 过点D时，此时， 最短，四边形 的面积最小；当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，分别求出最大与最小值，即得结论，据此判断即可. 12．【答案】A 【解析】【解答】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为 ，则 四边形ABCD是正方形 ， 是 的中点 则在 ，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故答案为：A. 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知 ，再设正方形的边长为4a，从而可得 ，然后根据线段中点的定义可得 ，最后在 中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案. 13．【答案】①② 【解析】【解答】解：①如图， ∵点M ，N，P ，Q分别为边AB，BC，CD，DA的的中点， ∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ADC的中位线，MQ是△ABD的中位线，PN是△BCD的中位线， MN∥AC、MN=AC ， PQ∥AC ， PQ=AC， MQ=BD， ∴MN∥PQ ， MN=PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形，①正确； ②如图， 若四边形ABCD是平行四边形，点M， N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，正确； ③若四边形ABCD是矩形，则AC=BD，∴MN= MQ，∴四边形ABCD是菱形，不是矩形，错误； ④∵四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形， ∴若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD不一定是正方形，错误； 综上，正确的是： ①② ， 故答案为： ①②. 【分析】 ①由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，MQ=BD，则MN∥PQ，MN=PQ，得出①正确； ②由题意得出四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABNQ是平行四边形，则MP与NQ互相平分，NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，②正确； ③周长四边形MNPQ是菱形，不是矩形；③不正确； ④四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，④不正确． 14．【答案】（2，0） 【解析】【解答】解：∵菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ， ∴OB=1，OA=OC， ∵ ， ∴OC= ， ∴OA=2，即：A的坐标为：（2，0）， 故答案是：（2，0）. 【分析】由点B坐标及菱形的性质，可得OB=1，OA=OC，利用勾股定理求出OC，即得OA，从而得出点A坐标. 15．【答案】45° 【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， . ∵ ， ， ∴ . ∴ . ∵ ， 分别为 ， 的中点， ∴ ， . ∵ ， ∴ . ∴ ， . ∴ . 故答案为：45°. 【分析】利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质，可求出 ，根据线段的中点及，可得，利用等边对等角可求出 ， ，利用∠EGF=∠CGD-∠CGF-∠DGE计算即得结论. 16．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4， ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF= BD=2， 故答案为：2. 【分析】连接BD，利用矩形的性质可求出BD的长，再利用三角形的中位线定理可求出EF的长. 17．【答案】 【解析】【解答】解：连接BD， ∵DE⊥AB，AE＝BE， ∴AD＝BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD=DC=2，AB∥DC， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴AE＝1，DE ， ∵DC∥BE， ∴∠CDE＝∠AED=90°， ∴CE . 故答案为： . 【分析】连接BD，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD＝BD，由菱形的性质可得AB＝AD=DC，AB∥DC，易得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠A＝60°，然后用勾股定理可求得CE的值. 18．【答案】7或 【解析】【解答】当 为直角三角形时，有两种情况： ①当点 落在矩形内部时，如下图所示． 连接 ， 在 中， ， ， ， 沿 折叠，使点 落在点 处， ， 当 为直角三角形时，只能得到 ， 点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 解得 ， ； ②当点 落在 边上时，如下图所示， 此时 为正方形， ∴ ． 综上所述， 的长为7或 ． 【分析】当 为直角三角形时，有两种情况：①当点 落在矩形内部时，连接 ，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而当 为直角三角形时，只能得到 ，所以点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，则 ， ，可计算出 ，设 ，则 ，然后在 中运用勾股定理可计算出 ．②当点 落在 边上时，如图所示．此时四边形 为正方形，根据 ， ． 19．【答案】证明：连接BD，交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形． 20．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∵E为BC的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形ABFC是平行四边形 ∴平行四边形ABFC是矩形． 【解析】【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC是平行四边形，又根据等量代换可得 ，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC是矩形． 21．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形． 又 ， 【解析】【分析】根据正方形的性质可得∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，利用同角的余角相等，可得∠MEA=∠AFO，根据“AAS”可证△BOE≌△AOF，利用全等三角形的对应边相等，可得OE=OF. 22．【答案】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形 是平行四边形 ∴ ， ， ∴ 在△ABE和△CDF中 ， ∴ ． （2）四边形BEDF是平行四边形与菱形 【解析】【解答】解：（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF， 同（1）可知 ， ∴BE=DF， ∵BE//DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF， 同理可知四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠BAE=∠DAE， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE， ∴BE=DE， ∴四边形BEDF是菱形． 综上所述：当四边形 分别是矩形和菱形时，四边形 分别是平行四边形与菱形． 【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明三角形全等即可； （2）先求出四边形BEDF是平行四边形，再求出△ABE≌△ADE，最后求解即可。 23．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形 ∴E为BD中点 ∵ ∴ ∴ 又∵ 为等腰直角三角形 ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 在 与 中 ∴ ； （2）解：设 ∵ 为等腰直角三角形 ∴ ， ， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵E是DB中点 ∴ ∴ ∴ ∴ . 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及等腰三角形的性质，可得，可求出∠FDE+∠DFE=90°，由 为等腰直角三角形 ，可求出AO=AD，，利用余角的性质及三角形内角和，可求出，根据AAS可证 ； （2） 设 ，由等腰三直角三角形的性质可得 ， ，利用勾股定理求出 ，利用线段的中点，可得DE=DB，求出DE的长， 证明，可得，代入相应数据求出FD，从而求出结论. 24．【答案】（1）证明： 四边形 是矩形 因为折叠，则 是等腰三角形 （2）解： 四边形 是矩形 ， 设 ，则 因为折叠，则 ， ， 在 中 即 解得： 【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得，由折叠可得，从而得出 ，利用等腰三角形的判定即证结论； （2）由矩形的性质可得 ， ，设 ，可得， 由折叠可得 ， ， ，在 中，由可得关于x的方程，求解即可. 25．【答案】（1）解：当点E是BC边上任意一点时，AC= （EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC= （FG－CE）； 证明如下：当点E是BC边上任意一点时，如图②， 在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM． ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°． ∵在正方形ABCD中，∠B =90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°． ∴∠BAE=∠FEG． ∴∠BME=45°． ∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°． ∵CF平分∠DCG，GF⊥BC， ∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG． ∴∠AME = ∠ECF． ∴△AME≌△ECF． ∴AE=EF． 在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF， ∴△ABE≌△EGF． ∴BE=GF． ∵AB=BC， ∴AB=BC=CE+BE=CE+FG． ∵AC= AB， ∴当点E是BC边上任意一点时，AC= （EC＋FG）； 当点E在BC延长线上时，如图③，在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM． 同理可证得BE=FG． ∴AB=BC = BE－CE= FG－CE． ∵AC= AB， ∴当点E在BC延长线上时， AC= （FG－CE）． （2） 或 【解析】【解答】解：（2）∵正方形ABCD的面积是27， ∴AB=BC= ． 根据（1）中AE=EF，∠AEF＝90°，可知AF= AE． 当在△ABE中，∠BAE =30°时，点E在BC边上． ∵cos∠BAE= = ， ∴AE=6． ∴AF= ． 当在△ABE中，∠AEB=30°时，点E在BC延长线上． ∵sin∠BAE= = ， ∴AE= ． ∴AF= ． 故答案为： 或 ． 【分析】（1）AC= （EC＋FG），在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．证明△AME≌△ECF．可得结论； （2）分两种情况：当在△ABE中，∠BAE =30°时，点E在BC边上，当在△ABE中，∠AEB=30°时，点E在BC延长线上，利用等腰直角三角形的性质求解即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $