第1章 因式分解 单元测试培优卷 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 新教材湘教版八年级上册第1章因式分解培优卷，通过18题（单选8、填空4、解答6）覆盖基础到创新应用，融合几何直观、推理意识与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|因式分解概念、平方差公式等|基础辨识与简单应用，如第1题考因式分解定义| |填空|4题20分|分解因式、代数式求值|结合已知条件逆向推理，如第10题用a+b与ab求代数式值| |解答|6题60分|分组分解法、数形结合、规律探究|综合应用与创新，如第16题通过图形面积验证因式分解，第15题探究“公正数”规律，体现数学眼光与思维|

第1章 因式分解·培优卷 【新教材湘教版八年级上册】 时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________ 考卷信息: 本卷试题共18题，单选8题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．将下列各式分解因式，结果中不含的是（     ） A． B． C． D． 4．把代数式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 8．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．分解因式：______． 10．若，且，，则的值为______． 11．已知，满足，，则_________． 12．已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．因式分解： (1)； (2)． 14．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 15．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 16．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为______； (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作． ①用含x，y的代数式表示，； ②若，求的值． 17．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 18．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9． 10．1 11．2 12． 13．【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 15．【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 16．【详解】（1）解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积， ∴， ∴， ∴代数式可因式分解为； （2）解：①由题意得，，； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 18．【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $