第1章 因式分解（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 湘教版初中数学因式分解单元培优卷，覆盖定义、公式法等核心知识，通过密码编译、拼图面积等创新情境，考查抽象能力与推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义、公因式提取、公式法应用|结合密码编译情境（第6题），考查知识迁移能力| |填空题|6/18|完全平方公式参数、“智慧数”探究|设计新定义问题（第16题），培养创新意识| |解答题|9/72|分组分解、几何面积证因式分解、整体思想|拼图面积推导（第25题）体现几何直观，整体思想应用（第24题）发展运算能力|

第1章 因式分解 ·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·全国·期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 9．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 10．（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·重庆·期中）若，则常数________． 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则______． 13．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 14．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 15．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是____，第2026个“智慧数”是_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 20．（8分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 21．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 22．（9分）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 23．（9分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：       即，所以． (1)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，(其中、代表两个被污染的系数)，他列出了下列竖式： 得出□= ，△= ． (2)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了： (*)(*代表一个多项式)，请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 24．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 25．（10分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解 ·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·全国·期末）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式的积的形式， A中从左到右是整式乘法，结果为和的形式，不属于因式分解，错误； B中，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，正确； C中等式本身变形错误，不属于因式分解，错误； D中等式本身变形错误，且结果不是整式积的形式，不属于因式分解，错误． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果不含有因式，符合题意； 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 6．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 7．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 8．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 9．（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 10．（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·重庆·期中）若，则常数________． 【答案】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】因为，，所以，得到，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ． 13．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 【答案】5或/或5 【详解】解： 能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即或 ， 解得：或 ∴k的值为5或． 14．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 【答案】或 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 15．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，然后通过面积的两种求法即可求解． 【详解】解：如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和：， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是____，第2026个“智慧数”是_____． 【答案】 7 【分析】本题考查平方差公式，数的奇偶性；利用平方差公式和数的奇偶性，找出哪些数是智慧数，然后列出一些智慧数，归纳出规律即可找到第2026个“智慧数”． 【详解】解：∵， 又∵与奇偶性相同 ∴当与是偶数时，为4的倍数， 又∵、为正整数， ∴不符合题意， ∴从8开始的4的倍数符合题意，即，，，，，…… 对于一个奇数，为正整数， ， ∴从3开始的奇数符合题意，即3，5，7，9，11，13，…… ∴将所有的智慧数从小到大进行排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…… ∴第3个“智慧数”是7， 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第组的第一个数为（，且为正整数）， ∵， ∴第个智慧数是第组中的第1个数，即为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 18．（6分）利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 【答案】（1）2021；（2）40000 【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解； （2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算． 19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】， 【分析】设另一根因式为，可得，再建立方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵二次三项式有一个因式是， ∴设另一根因式为， ∴， ∴，解得：， ∴另一根因式为：． 【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键． 20．（8分）（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)小圳，一 (2)正确步骤见解析， 【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减运算法则即可得答案； （2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误． （2）解： ． 21．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：如，（________________）________， 所以是8的倍数； 探究：设两个连续奇数为，（其中n为正整数），请说明“发现”中的结论正确； 延伸：两个连续偶数的平方差是________的倍数（填最大整数值）． 【答案】11；9；5；4 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用平方差公式． 验证：通过计算可知，即可得出答案； 探究：应用因式分解的方法计算得到，据此可得出结论； 延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，再计算得到，据此可得出答案． 【详解】验证： ， 所以是8的倍数； 探究：两个连续奇数，的平方差是8的倍数．证明如下： ∵， ∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数． 延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下：设两个连续的偶数分别为：， ∵， ∴两个连续偶数的平方差是4的倍数． 故答案为：11；9；5；4． 22．（9分）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）仿照题意分解因式即可； （2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ② ， ∵， ∴ ， ∴； （3）解： ． 23．（9分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：       即，所以． (1)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，(其中、代表两个被污染的系数)，他列出了下列竖式： 得出□= ，△= ． (2)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了： (*)(*代表一个多项式)，请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据竖式除法的运算方法先确定表示的数，然后确定代表的数； （2）利用列竖式除法的结果进行分解． 【详解】（1）仿照例题，得：， 则有， ，； （2）仿照例题，得： ∴ 24．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 25．（10分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 【答案】(1) (2)①；②42 【分析】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【详解】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $