第1章 四边形（高效培优单元测试·提升卷）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章四边形（高效培优单元测试·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路。下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对 称图形也是中心对称图形的是() >R 2.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，对角线AC=3, BD=2,则四边形EFGH的周长为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.在ABC中，己知D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=60°，则∠ADE的度数为() A.50° B.60° C.70° D.110° 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别是AD、AO的中点，若EF=6, 则AC的长是() A.24 B.20 C.18 D.12 5.如图，在菱形48CD中，∠4=45”，分别以点4，B为圆心，大于方4B的长为半径作弧，两弧相交于点 M,N,作直线MN,交AD于点E,连接CE.若AB=V6,则CE的长为() 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E M A.√6 B.√5+1 C.2 D.3 6.在正方形ABCD中，将AB绕点A逆时针旋转到AE,旋转角为a,连接BE,并延长至点F,使 CF=CB,连接DF,则∠DFC的度数是() D E B A.45°+ B.45°+u 2 C.90°- 2 D.2a-45° 7.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明口ABCD是菱形的是() B A.AB=BC B.LABD=∠CBDC.AC⊥BD D.OB=OD 8.如图，在矩形ABCD中，AD=I5,AB=9.E是边AB上一点，将△ADE沿DE所在直线折叠，使得点 A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是() A.4 B.5 C.25 D.32 9.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E为对角线AC上一点，连接BE,DE,若 ∠ADE=15°，则DE的长为() 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B 2 B. C.32 D.32 4 10.如图，在Rt△ABC中，LC=90,AC=4,BC=3,分别以AC,AB为边向外作正方形ACDE,正方形 ABMN,连接NE,则NE的长为() D B C A.10 B.9 C.√73 D.√4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在菱形ABCD中，BD=6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,则菱形ABCD的面积 为 12.如图，ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2,AB=3,∠BAC=90°，则AE的长是_ D E 13.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是边形. 14.如图，EF是ABC的中位线，BG平分∠ABC,交EF于点G.已知AB=8,BC=14,则GF的长 为 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F B C 15.如图，AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 A D E 16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC上一动点，连接AE,将AABE沿AE折叠，点B 落在点B处，当△CB'E为直角三角形时，BE的长为· D B B E 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.如图，在口ABCD中，分别以AD,BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF,连接BE, DF.求证：四边形BEDF是平行四边形. D A 18.如图，在菱形ABCD中，BM⊥AD,垂足为M,BN⊥CD,垂足为N. B N 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AM=CN; (2)若∠A=80°，则∠MBN的度数为 19.旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定). (1)求该硬币内正多边形的内角和： (②)若其一边长为5cm,求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有 条对角线， 2O.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD D B (I)求证：△ABE≌△CDF; (2)若∠BAC=90°，AB=√3，BD=4V2,求口ABCD的面积. 21.如图，点E、点F分别为矩形ABCD的边BC、DA延长线上的点，且CE=AF,连接AE、DE、BF, B (I)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)若AF=1,AB=2,AD=√5.求证：EA平分∠DEB, 22.如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1个单位长度，ABC和△DEF的顶点均在格点 (网格线的交点)上. 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 -5-4-3-2-10 2345x D (I)若ABC和aDEF关于点P中心对称，则点P的坐标为； (②)作ABC关于点O的中心对称图形△A'B'C'. 23.在ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的 中点，连接EF. E B D (I)求证：EF∥BC; (2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. 24.我们可以用对称的眼光研究一些几何问题. D A D E A B G C CG B 图1 图2 图3 (I)如图1，在口ABCD中，AC与BD交于点O,点E在边AB上，延长EO交CD于点G: ①求证：0E=0G; ②将OE绕点O旋转，使点E落在BC上的F处，延长FO交AD于点H,请在图3画出四边形EFGH,并 证明四边形EFGH是矩形. (②)如图2，在菱形ABCD中，正方形EFGH的顶点E,G分别在边AB,CD上，且AE=CG,F,H两点 在菱形ABCD的内部（包括边界）.若AC=4,BD=12,则正方形EFGH面积的最小值为_· 25.如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,若∠EAF=45°，将 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG. D B B B 图1 图2 图3 (I)求证：△AEF≌△AEG; (2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上，∠EAF=45°，试探究线段BE, EF,DF之间的数量关系，请作出结论并予以证明. (3)如图3，正方形ABCD的边长为4W2,E,F分别在BC,CD上，LEAF=45°，连接BD分别交AE, AF于点M,N.若点M恰好为线段BD的四等分点，且BM<DM,求线段MN的长， 7/7 第一章 四边形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 ． 2．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 3．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 5．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，设直线交于点F，由菱形的性质可得，．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，则，，，在中，由勾股定理得结论． 【详解】解：连接，设直线交于点F， ∵四边形为菱形， ∴，． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故选：D． 6．在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 利用旋转性质、等边对等角表示出，结合正方形性质得出，再利用等边对等角、三角形内角和定理得到，进而得到、． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 7．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据每个选项所给条件，结合平行四边形的性质以及菱形的判定方法来判断是否证明平行四边形是菱形． 【详解】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分， ∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意， 故选：D． 8．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 9．如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点O，由菱形的性质证明为等边三角形，则，再证明是等腰直角三角形，设，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理，得． 解得 (负值已舍去)， ∴． 10．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 12．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六/6 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值. 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，内角和是外角和的2倍，得， 解得． 故答案为：六. 14．如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 15．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质直角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设，根据折叠性质得出，结合矩形性质得出；由为直角三角形，分为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解； 【详解】解：设，由折叠性质得：，，， 矩形中，，，则． 情况1：， ，即、、三点共线． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ， 解得，， ； 情况2：，则， ， ， 四边形为矩形， ， 故四边形为正方形， 情况3：当时，此时点与点重合，此时，这显然不成立，不存在此种情况． 综上，当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，分别以，为边向内作等边三角形和等边三角形，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，证明，得出相等的边，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵和都是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理． 18．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 19．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 20．如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 21．如图，点、点分别为矩形的边、延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定，证明且即可； （2）由矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到，则，再结合平行四边形性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ， ，， ∴由勾股定理，得， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 即平分． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 23．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 24．我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G： ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ． 【答案】(1)①证明见解析；②画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质，易证，再根据“”可证，即可求证；②先证，再证，即可求证； （2）连接，，利用“”得，从而，，即E，O，G三点共线，正方形对角线过点O，分析可得当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，，根据勾股定理、等面积法和正方形的性质，求出，，，，最后计算面积即可． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， （）， ； ②解：画出四边形，如图所示： 由①知， 同理可得， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：在图2中，连接，， 四边形是菱形， ，， ， ， （）， ，， E，O，G三点共线，正方形对角线过点O， 当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，， 则此时正方形的面积最小，如图所示： 在菱形中，，，， ，，， ， ， ， 正方形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 25．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明． (3)如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得；再证明即可； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ，     ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中，      解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $