第三章 整式及其加减（知识清单）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

该初中数学第三章“整式及其加减”知识清单系统涵盖代数式定义与书写、整式概念、整式加减运算及数字与图形规律探究等核心内容，搭建了从基础概念理解到运算规则掌握再到规律探究应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+练习题”三维架构呈现知识体系，知识点分点梳理代数式、整式等核心概念及运算规则，易错点针对多项式系数指数、同类项判断等7类高频错误进行归类解析并配例题，培养学生的抽象能力和推理意识。如“整式加减无关型问题”强调合并同类项与符号处理，通过例题3的分步解答引导学生用数学思维分析问题，教师可据此精准突破教学难点，学生自主复习时能高效定位薄弱环节，提升学习实效。

第三章 整式及其加减 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 【知识点04】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 【知识点05】整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【知识点06】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 1. 确定系数、指数时，要明确单项式中数字因数是系数，所有字母指数和是次数，多项式里每一项的系数（包括符号）和次数需准确判断。 2. 字母求值时，代入前先化简式子，保证代入的数值与字母对应，计算过程中符号和运算顺序不能出错。 例题1．若关于的整式是三次二项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数求解即可． 【详解】解：∵多项式是三次二项式， ∴，， ∴． 故答案为：． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 确定同类项时，要严格遵循所含字母相同且相同字母的指数也相同的原则，不能遗漏或错误判断字母及指数。 2. 求字母或代数式的值时，先根据同类项定义列方程，再求解，过程中注意符号和运算准确性，代入后要检验是否符合同类项要求。 例题2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了同类项的定义．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：25． 易错点3 整式加减中的无关型问题 1.易错总结 在整式加减的无关型问题中，常因对同类项合并不彻底，导致误判结果与某些字母有关；化简过程中，去括号时忽略括号前的负号，使各项符号出错，进而影响对“无关”结论的判断。 2.注意事项 一是仔细合并同类项，确保所有同类项都正确合并 ；二是在去括号、添括号时，严格遵循符号变化规则，准确处理每一项的符号，化简到最简形式后，再根据结果判断与哪些字母无关。 例题3．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减于化简求值； （1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算，即可求解； （3）根据题意，（1）中代数式的系数为，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． （2）当，时，原式． （3）原式， 因为的取值与无关，所以， 所以． 易错点4 已知式子的值，求代数式的值 1.易错总结 一方面，不能准确对已知条件和所求代数式进行变形，导致无法建立有效联系，比如忽略整体特征；另一方面，在代入计算时，容易出现数值代入错误，或者没有正确处理符号，导致计算结果出错。 2.注意事项 首先，要深入观察已知式子和所求代数式的结构特点，尝试通过变形、凑项等方式，找出它们之间的关联，利用整体代入思想简化计算。其次，代入数值时要认真核对，严格按照运算顺序和符号规则进行计算，避免粗心大意。 例题4．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 易错点5 与单项式有关的规律探究问题 1易错总结 常因忽略单项式系数的符号规律（如正负交替），或误判字母的指数变化（如指数递增/递减的间隔），导致规律归纳错误；也会因未验证规律是否适用于所有项，仅通过前几项就草率下结论。 2.注意事项 先分别分析单项式的系数（符号、绝对值）和字母部分（种类、指数）的变化规律，再整合；归纳出规律后，需代入后续项验证正确性，确保规律具有普遍性，避免以偏概全。 例题5．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 易错点6 与图形有关的规律探究问题 1.易错总结 易因只观察图形表面特征，忽略数量变化的本质规律（如小图形增减的实际数量）；也常因未统一计数标准，导致不同图形阶段的数量统计混乱，无法准确归纳出代数式。 2.注意事项 先按统一标准（如个数、层数）统计不同阶段图形的数量，列出数据；再对比数据找变化规律，尝试用代数式表示；最后代入后续图形验证，确保规律能准确反映数量变化。 例题6．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 易错点7 与数字有关的规律探究问题 1.易错总结 易忽略数字序列的符号规律（如正负交替），或误判数字间的运算关系（如错把和差关系当倍数关系）；也常因仅依据前2-3项就归纳规律，未验证是否适配后续项，导致规律片面。 2.注意事项 先拆分数字的符号、绝对值分别找规律，再整合；列出前5-6项数据，对比分析运算关系（和、差、积、幂）；归纳后代入后续项验证，确保规律对整个序列成立。 例题7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一、单选题 1．若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B．4 C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，可得，，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：，， ∴， 故选：D． 2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 3．已知多项式，若多项式与字母的取值无关，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算化简求值，整式加减中无关类型问题，先化简多项式得，令的系数为0，即可求得的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵多项式与字母的取值无关， ∴， 故选：． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律问题，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．易知每个代数式的系数比个数多1，x的指数与个数相同． 【详解】解：根据规律可得，每个代数式的系数比个数多1，x的指数与个数相同， 则第n个代数式是：． 故选：D． 5．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了归纳推理、尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式． 通过观察的末位数字规律，发现每个为一个周期循环，依次为；通过计算除以的余数，确定其对应的位置即可得到答案． 【详解】解：观察可得，个位数字按循环，周期为． ， 对应循环中的第个数字，即． ∴的个位数字是， 故选：A． 二、填空题 6．若单项式与可合并为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项、同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据题意得出单项式、与是同类项，然后根据同类项的定义求解，再计算即可． 【详解】解：单项式与可合并为， 单项式、与是同类项， ，，，， ，， ， 故答案为：． 7．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了多项式．直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】由题意，得： 当，时， 解得，原多项式为，此时该多项式是四次二项式； 当时，即，原多项式为，此时该多项式是四次二项式； 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 8．已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．将、代入，然后去括号、合并同类项，得，由此代数式与b的取值无关，说明b的系数为0，据此求出的值． 【详解】解：由，， 代数式的结果与b无关， ， 解得：， 故答案为：． 9．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，分别找出单项式的系数和次数的变化规律是解决此题的关键． 观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及x的指数变化规律，写出代数式即可． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． 故答案为：． 10．将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第18个图中，共有 个四边形，共有 个正六边形． 【答案】 51 52 【分析】本题主要考查图形类规律探索；观察图形得出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察第二个图形，有3个四边形，（个）正六边形， 第三个图形，有6个四边形，（个）正六边形 依此类推， 第n个图形中，有个四边形，个正六边形． ∴第18个图中， 共有（个）四边形，共有（个）正六边形． 故答案为：51，52． 三、解答题 11．已知单项式与的差是一个单项式，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查整式的加减，同类项，由整式的加减可得单项式与是同类项，根据同类项的定义求出m，n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 12．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的六次四项式， ∴，， 即，， ∴． 13．观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 14．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 15．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②小明的说法正确，理由见解析 【分析】（）把看成一个整体，然后根据合并同类项法则计算即可； （）①将A，B代入合并求解即可； ②先化简，然后根据结果进行判断即可； 本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2）① ； ②小明的说法正确，理由如下： ∴当时，即时， ∴小明的说法正确． 16．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用． （1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 17．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据给出算式的规律进行求解即可； （2）根据给出算式的规律进行求解即可； （3）根据倍数关系和给出的算式的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 18．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减 【知识点01】代数式的定义 代数式是由 、 通过有限次 、 、 、 和 等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由 、 和 组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用 表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的 。 带分数应写成 的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些 时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有 、 、 等。 【知识点04】整式的相关概念 1．单项式：由 叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式： 叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 3．整式： 和 统称为整式． 【知识点05】整式的加减 1．同类项：所含 ，并且 也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的 ，叫做合并同类项． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后 ， ． 【知识点06】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 1. 确定系数、指数时，要明确单项式中数字因数是系数，所有字母指数和是次数，多项式里每一项的系数（包括符号）和次数需准确判断。 2. 字母求值时，代入前先化简式子，保证代入的数值与字母对应，计算过程中符号和运算顺序不能出错。 例题1．若关于的整式是三次二项式，则 ． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 确定同类项时，要严格遵循所含字母相同且相同字母的指数也相同的原则，不能遗漏或错误判断字母及指数。 2. 求字母或代数式的值时，先根据同类项定义列方程，再求解，过程中注意符号和运算准确性，代入后要检验是否符合同类项要求。 例题2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 易错点3 整式加减中的无关型问题 1.易错总结 在整式加减的无关型问题中，常因对同类项合并不彻底，导致误判结果与某些字母有关；化简过程中，去括号时忽略括号前的负号，使各项符号出错，进而影响对“无关”结论的判断。 2.注意事项 一是仔细合并同类项，确保所有同类项都正确合并 ；二是在去括号、添括号时，严格遵循符号变化规则，准确处理每一项的符号，化简到最简形式后，再根据结果判断与哪些字母无关。 例题3．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 易错点4 已知式子的值，求代数式的值 1.易错总结 一方面，不能准确对已知条件和所求代数式进行变形，导致无法建立有效联系，比如忽略整体特征；另一方面，在代入计算时，容易出现数值代入错误，或者没有正确处理符号，导致计算结果出错。 2.注意事项 首先，要深入观察已知式子和所求代数式的结构特点，尝试通过变形、凑项等方式，找出它们之间的关联，利用整体代入思想简化计算。其次，代入数值时要认真核对，严格按照运算顺序和符号规则进行计算，避免粗心大意。 例题4．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 易错点5 与单项式有关的规律探究问题 1易错总结 常因忽略单项式系数的符号规律（如正负交替），或误判字母的指数变化（如指数递增/递减的间隔），导致规律归纳错误；也会因未验证规律是否适用于所有项，仅通过前几项就草率下结论。 2.注意事项 先分别分析单项式的系数（符号、绝对值）和字母部分（种类、指数）的变化规律，再整合；归纳出规律后，需代入后续项验证正确性，确保规律具有普遍性，避免以偏概全。 例题5．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 易错点6 与图形有关的规律探究问题 1.易错总结 易因只观察图形表面特征，忽略数量变化的本质规律（如小图形增减的实际数量）；也常因未统一计数标准，导致不同图形阶段的数量统计混乱，无法准确归纳出代数式。 2.注意事项 先按统一标准（如个数、层数）统计不同阶段图形的数量，列出数据；再对比数据找变化规律，尝试用代数式表示；最后代入后续图形验证，确保规律能准确反映数量变化。 例题6．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 易错点7 与数字有关的规律探究问题 1.易错总结 易忽略数字序列的符号规律（如正负交替），或误判数字间的运算关系（如错把和差关系当倍数关系）；也常因仅依据前2-3项就归纳规律，未验证是否适配后续项，导致规律片面。 2.注意事项 先拆分数字的符号、绝对值分别找规律，再整合；列出前5-6项数据，对比分析运算关系（和、差、积、幂）；归纳后代入后续项验证，确保规律对整个序列成立。 例题7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 一、单选题 1．若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B．4 C．16 D． 2．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知多项式，若多项式与字母的取值无关，则的值是（       ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 5．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 6．若单项式与可合并为，则 ． 7．关于、的多项式是四次二项式，则 ． 8．已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 9．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 10．将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第18个图中，共有 个四边形，共有 个正六边形． 三、解答题 11．已知单项式与的差是一个单项式，求的值． 12．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 13．观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 14．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 15．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 16．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 17．观察下列等式： ，，，… 将以上三个式子两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ；（n正整数） (2)直接写出下列式子得计算结果： ； (3)计算：． 18．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $