第三章 整式及其加减（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

该初中数学复习讲义通过知识点分块梳理构建“整式及其加减”知识体系，从代数式定义、书写规则到整式概念、加减运算，再到规律探究，用清晰框架呈现概念内在联系，突出同类项、合并同类项等重难点。 讲义亮点在于16类题型分层设计，如“程序流程图求值”培养运算能力，“纸盒用料计算”发展模型意识，基础巩固与能力提升题满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握知识。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章整式及其加减（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解代数式、整式等概念的意义，体会“整式及其加减”各知识之间的整体联系。 2.能用代数式表示数量关系，掌握代数式的书写规则，会进行代数式代入求值。 3.理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分它们。 4.理解同类项概念，掌握合并同类项方法，能利用整式加减运算法则进行整式加减运算。 5.能探寻数字、数列的变化规律，利用方程解决相关问题。 知识图谱梳理 固基础 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数 运算得到的数学表达式 代数式的定义 乘号可以省略或用，"表示，除法运算用分数线表示 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面 代数式的书写规则 带分数应写成假分数的形式 当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数 代数式代入求值 代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等 整式及其加减 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的 个数或一个字母也是单项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项 整式的相关概念 式叫做多项式的项 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项、合并同类项 整式的加减 整式的加减运算法则 探寻数列规律 数字的变化规律 利用方程解决问题 1/20 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析·夯重点 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一 个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、 整体代入法、间接求值法等。 【知识点04】整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式， 要点诠释：(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数， (2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和. 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释：(1)在多项式中，不含字母的项叫做常数项. (2)多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数， (3)多项式的次数是次，有个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式. 3.多项式的降幂与升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列. 另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排 列. 4.整式：单项式和多项式统称为整式. 【知识点05】整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： (1)“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； 2/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关. 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变 3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括 号前面是“_”，把括号和它前面的“_”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变， 4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变：添括号后，括号前面是 “-”,括号内各项的符号都要改变。 5.整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后 去括号，合并同类项 【知识点06】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识 的基础上去探究，观察思考发现规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数 量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程。 考点题型突破·拓思维 题型一代数式的识别 【例1】下列各式： -x+1,π+3,9>2，m”,V=ab,其中代数式的个数是(） m+n A.5 B.4 C.3 D.2 【变式1-1】在式子n-3,a2b,m-s<2,1+80%t,-y,S=ab中，代数式的个数有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-2】下列各式：-5：元+1，a≥0，m,s=b,其中代数式的个数是（） A.5 B.4 C.3 D.2 【变式1-3】下列各式中，代数式的个数是() 3/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ②26+38gab=ba④x+y⑤2a-1⑥a⑦2a ⑧5n+2. A.5 B.6 C.7 D.8 题型二代数式书写方法 【例2】下列代数式书写规范的是() 1 A.b×2 B.4÷(a+b) c.22x D.3n 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是() mn+2.3 B. D.abx5 【变式2-2】下列各式中，符合代数式书写要求的是() a2-b2 A.4 B.a×4 C.ab÷4 D.4 【变式2-3】下列代数式符合书写要求的是()· B m×3 C.m÷n D.mn 题型三列代数式 【例3】一个两位数，十位数字是x,个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 【变式3-1】梯形的上底和下底分别为a,b,高为h,用$表示梯形的面积，则S= 【变式3-2】某校组织“爱心捐款”活动，九年级(1)班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款a 元，则该班男生共捐款 元（用含有a的代数式表示）. 【变式3-3】填空题， (1)每包书有10册，6包书有 一册，n包书有 _册； （2)王芳今年m岁，她去年_岁，6年后一岁： (3)将p水g糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖 kg: (4)棱长为a的正方体的体积是」 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四已知字母的值，求代数式的值 x+3)2+x+y+1=0 【例4】己知 ,则x的值为 【变式4-1】当x=2时，代数式ax+bx+7的值为4，则当x=-2时，代数式ax+bx+7的值为 【变式42】当x=1时，代数式ax3+x2+bx的值为2024，当x=-1时，代数式ax3+x2+bx的值为 x+yy+z x+z 【变式43】若x,y,z都是有理数，且x+y+z=0,9z<0,则冈川的值是一 题型五已知式子的值，求代数式的值 【例5】若a2+3a-4=0,则2a2+6a-3= 【变式5-1】若a2-a-3=0,则a3+4a2-8a-2024=」 【变式5-2】若2m-n=7,则代数式4m-2n+2024的值是 【变式5-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：x+x=0,则x+x+1186=一： 我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若x2+x-1=0,则x2+x+2022= (2)如果a+b=5,求2 2(a+b)-4a-4b+21 的值： (3)若a2+2ab=20,b2+ab=8,求2a2+3b2+7ab的值. 题型六程序流程图与代数式求值 【例6】下图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为() 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x≠1 输入x 输出 x+8 A.27 B.9 C.3 D.1 【变式6-1】解答题：龙龙在学习电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A,B两区，每按一次按 键，A区就会自动把初始显示值加上a+2a,同时B区就会把初始显示值自动乘以2，并在各自区域显示 化简后的结果.已知A,B两区初始显示值的分别是16和4+a. A区 B区 16 4+a (1)将如图所示的初始状态按2次后，分别求A,B两区显示的结果： (2)计算(1)中A区整式减去B区整式的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由. 【变式6-2】有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a,同时B区就会自动减去3a,且 均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16，如图. A区 B区 A区 B区 25 -16 25+a -16-3a 如，第一次按键后，A,B两区分别显示： (1)从初始状态按4次后，分别求A,B两区显示的结果： (2)从初始状态按2次后，求A-B并直接比较A,B大小. 题型七单项式、多项式的判断 1 3x2 【例7】下列代数式：a,x,2x-3y,-3,π，-15ab中，单项式共有() 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【变式7-1】下列各式中是多项式的是() 1 1 A.2 B.2x c.2 D.x2-2 Lab atb 12 1 【变式7-2】下列式子3,2，xy,x+x-3中，多项式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式7-3】在式子5x2-x,x2y,2,a+b中，单项式有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型八单项式、多项式的系数和次数 【例8】下列说法不正确的是() A,-bc的系数是-1？次数是4 -1是整式 B.3 C.6x2-3x+1的项是6x2,-3x,1D.2πR+2π2是三次二项式 【变式81】下列结论中正确的是()， π92 1 A.单项式4的系数是4，次数是4B.单项式-y?的系数是1，次数是4 2x2+y2+3 C.多项式 是三次三项式D.单项式m的次数是1，没有系数 【变式8-2】下列说法中正确的是() 2xy A.单项式5的系数是-2 3a'b 3 B.单项式7的系数是7，次数是3 C.多项式6ry-5g2+8y-7 次数是4 D.单项式a的次数是0 【变式8-3】下列说法正确的是() 7/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3+5x是单项式 B.5πx2的系数是5 -3x3y 2x3y2z-3.x2y-x+1 C.单项式的次数是4 D 是五次三项式 题型九合并同类项 【例9】下列运算中，正确的是() A.3a+2b=5ab B.2x2+2x3=4x C.3a2b-3a2b=0 D.5a2b-4a2b=1 【变式91】下列算式中，正确的是() A.2x+2y=4xy B.2a2+2a3=2a C.4a2-3a2=1 D.-2ba2+a'b=-a2b 【变式9-2】下列计算正确的是() A.5m-2m=3 B.6x3+4x7=10x10 C.3a+2a=5a2 D.8a2b-8ba2=0 【变式9-3】下列各式计算正确的是() A.6a+a=6a2 B.3ab2-5b2a=-2ab2 C.4m'n-2mn2=2mn D.-2a+5b=3ab 题型十写出满足某些特征的单项式 【例10】请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x,y;②系数是3：③次数是4.则写出 的单项式为 【变式101】写出一个单项式 一，要求：此单项式含有字母a,b,系数是3，次数是3. 【变式102】请你写出一个系数为-1，次数为4，并且只含有字母a,b的单项式 【变式103】请你写出一个单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式为一 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型十一多项式系数、指数中字母求值 【例1】若多项式2-(m-2)x- 是关于x的二次三项式，则m的值为 【变式11-1】已知多项式 州-(a+5)r+x-2是五次四项式，a为常数，则“的值为 【变式11-2】如果多项式x1+8x2-5x-6是三次四项式，常数项为b,那么a=一：b= 【变式1-3】若多项式30w-…y+ 是关于x,'的三次三项式，则m= 题型十二已知同类项求指数中字母或代数式的值 2x3ym-2 【例12】若单项式 与的差仍是单项式，则m的值为 变式121】已知2ry+3y= ,则m+n= 2xm2y2-4x4y3m-2 【变式12-2】单项式 与 是同类项，则它们的和为 题型十三整式的加减运算 【例13】计算或化简 140)-28--19+(←24 23022-9)+4r2+y-0 【变式13-1】化简 ()5a-0.5c2+bc-0.2a+c2 2 0+42引-3w 【变式132】化简 4a-(a-3b) (1) 27a+2a+)-3a2+2a-b 【变式13-3】化简： 9/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 u)ab-3ab2）-2ab-7ab) a9g+6d2--） 题型十四整式的加减中的化简求值 【例14)先化简，再求值：2ab+3ab-3a6+a6-a6,其中a=- 2，b=2· 【变式14】充化简.再求值：2y---4,其中-1 2· 【发式42】先化简，再来：已k++-=0, 求代数式 与-2+写+3x+12w+7-4切的值. 3 【变式143】先化简，再求值： 1)23r2-4)-42x2-3gy- ，其中x山y=2 回5-2w名+（刘+的，共中=-3y=号 .2 题型十五整式的加减运算与应用· 【例15】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长 为心，宽为的长方形盒子底部（如图2,3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.设图2中阴影 部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， B m m 图1 图2 图3 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)用含，n的式子表示图2阴影部分的周长 回4=，求肌，以清足的关系 【变式l5-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：c),其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正 方形.已知下部小正方形的边长为cm.计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当x=20时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【变式15-2】为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位： 厘米)如下： 长 宽 交剂 甲型纸盒 a 2b 乙型纸盒 3a 2b 2c (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知b=ka-C,c=2k(a,b,c,k都为正整数)，萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用 料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 【变式15-3】如图，将三个边长a,b,c(a>b>c 的正方形分别放入长方形ABCD和长方形EFGH中 ,C2,C3,C4 ,S2,S3,S4 1,记阴影部分①、②、③、④的周长分别为 面积分别为 11/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b D ② E H ④ ① a 图1 图2 (1)若a=3,b=2,c=1,求长方形ABCD的面积： Q)若长方形1BCD的周长为18，长方形EFG C,C2,C3,C4 的周长为15，能求出 中的哪些值？ C+C=m,G-C=m,G-C,=p,求5+8，-S-8 (3)若 《结果用合m,”,P的代数式表示). 题型十六用代数式表示数、图形的规律 【例16】如图，3个杯子叠起来高16cu,5个杯子叠起来高22c,照这样计算，10个杯子叠起来高 cnl, 一个杯子叠起来高55cm. cm 【变式161】某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴 棒的根数为 (1) (2) (3) 【变式162】如图，用大小相同的小正方形拼图，第1个图是一个小正方形，第2个图由9个小正方形拼成： 第3个图由25个小正方形拼成，依此规律，则第n个图由 个小正方形拼成. 12/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ▣ 第1个图 第2个图 第3个图 【变式163】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第个图形中小正方形的总个 S 数是： 若第”个图形中白色正方形的个数记为°”，计算： + (1) (2) (3) (4) 分层阶梯训练·提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.下列式子中，符合代数式书写的是() 2x-y A.3 C.xy2÷3 D.x2×y 2.下列各式中，代数式的个数是() 1 1 ①2ab:②a+b=0:③m+n>3:④4⑤0，⑥x, A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.下列各式计算中正确的是() A.3x+3y=6y B.2a2+2a2=2a4 13/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.+2xy=3xy D.402-52=-1 4.下列说法正确的是() A.多项式2x3-4x-3的常数项是3 6元x2y B. 5的次数是6 C.4x' 的系数是4 D.1与8不是同类项 5.若3ab与4a"b是同类项，则m、n的值分别是() A.2,2 B.4,2 C.2,4 D.4,4 6.已知a是一个两位数，b是一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，这个三位数可表示为() A.10b+a B.b+a C.100b+a D.b+100a 7.如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各 边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2025个小正方形的面积为() 1 1 A. 22025 B.2202 C.4050 D.4036 二、填空题 x3y-6y-7 8.多项式 是一次项式 -2ax2y" 9.若单项式 ”与r了的茶是华项式，则20+0- 10.已知代数式x-2y的值是3，则代数式15-2x+4y的值是 11.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则b-1+a-c+1-C-a+b= 14/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a b 0 c 12.用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖 块，第n个图案中白色地砖 块。 8888 (1) (2 (3 13.将图1周长为4a+20的矩形剪开做成图2的“直角尺”（不重叠无缝隙），用此直角尺测得图3中小 正方形DEFG的边长为a+2,则AB的长为 (用含a的式子表示). 图1 图2 图3 1 14.a是不为1的有理数，我们把-。称为的差倒数.如：2的差倒数是，一2-1，-1的差倒数是 11 1-(-1)2.己知a1=-2,a2是a,的差倒数；a3是a2的差倒数，a4是a的差倒数，…，依此类推，则 02024= 三、解答题 15.化简： 02-5x+2+4x (2)-5a+(3a-2)-(3a-7) 6)5r-30-32-2列 ④2(2mm2-mm）-(-3mr2+2m）) 16,先化简，再求值：5a-[6o6-3(ab+2ab】,其中a=-1,b=2 15/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.回答下列各题. 先化简，再求值：2306-ab)(a6+2a0）,其中a=-2,b=1 23y-[2w-2(w-1.5y+0]+3w,其中x=-3y=-2 18.已知多项式0+与b-a6-6是六次四项式，单项式2xy与该多项式的次数相同，求m+的 值. 19.如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）· 单位：m 3 2a 2a (I)用含a的代数式表示花圃的面积； (2)若a=2，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用. 20.【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即l-a称为a的倒数差，如：2的倒数差是 111 1 的倒数差是1- =2 22’- (-1) 【探索中理解】 若a=3,“是α的倒数差，“是”的倒数差，0是”的倒数差，，以此类推. (1)0直接写出结果4 a2= a3= a ②写出计算的算式，并求值： ②)根据以上的计算结果，猜想”，= (直接写出答案) ()求4a,40…01a4的值，并写出计算过程. 16/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升进阶练 一、单选题 1.下列运算中，正确的是() A.5m2-4m2=1 B.2ab-ba=ab C.3a+2b=5ab D.x3+3x2=4x 2.下列说法正确的是() 2xy A.-5的系数是-2 B.32x3y的次数是6 2x+y C.2x2+x-1的常数项为1 D 2是多项式 3。若关于"的多项式3x+(2m-4)x2-5x+3 含二次项，则常数”的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.若a表示一个三位数，b表示一个两位数，则将a放在b前面组成的五位数用代数式可以表示为() A.ab B.100a+10b C.100a+b D.1000a+100b 5.若问=9以=4 且<少，那么x+y的值是() A.5或1 B.5或-13 C.-5或13 D.-5或-13 6.2,3和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地.任意正整数” 的三次幂均能按此规律进行“分裂”.若m“分裂”后，其中有一个奇数是1979，则的值是() 13 15 33 >9 5 17 11 19 A.43 B.44 C.45 D.46 17/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 7.如果（a+3)g 是关于x、y的一个四次单项式，则“的值为 8.在下列各式： π-1，x2-1,3a,-2a+3中，是单项式的有 一，是多项式的有 9.如图：是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或式子互为相反数，则a-b+c的值为 3 -1 2a-b -4b-2c 10,若关于的多项式a-2+6+(a-x2+2bx-7 含无的一次项和二次项，则 b= 1单项式的次数为5，多顶式2+50- 的次数为4，则m+2n “的值为 12。当时，多项武+9+1的值为2019.当-时，多顶式+941 的值为 三、解答题 13.先化简，再求值：3-+2(22-39)3(+y),其中=-by=2 14,先化简，再求值：23+)[2x-32w-)].且y满足：（+2+-到=0 15.己知整式M=x2+5ax-x-1,整式M与整式N之和是3x2+4ax-x. (1)求出整式N: (2)若a是常数，且2M-N的值与x无关，求a的值. a+b)」 16.阅读材料：我们知道， 5x-2x+x=(5-2+)r=4r,类似的，我们把 看成一个整体，则 5a+b)-2(a+b)+(a+b)=(6-2+10a+b)=4(a+）.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想 18/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： d)把a-b看成-个整体，合并3a-b-6(a-b+a-b 的结果是_ x2-2y=-5 (2)已知 2,求3r2+6y-16 的值； 拓展探索： (3)已知a-46=2,2b-c=3,2-d=3,求a-c)+2b-d)-(2h-c的值 17.综合与实践 问恩情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简风时，当“在数轴上位于原点的右侧时， la=a 当“在数轴上位于原点时， a=0 当“在数轴上位于原点的左侧时， 网=-a.当a,b,c三个数在数轴 上的位置如图所示， 1L b C0 a 解决问题： (1)当a=1时，求a一；当b=-2时，求b (2)请根据a,b,c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“>”、“<”或“=”）： a+b 0:a-b 0:abc0; 拓展探究： lal o latol labcl (3)在(2)的条件下，求aba+babc的值. M=(m-3)x+1 18.【问题背景】已知 若M的值与的取值无关，则m-3=0,解得m=3, 【类比探究】(1)已知M=x-ax,V=4x-ax+6a.若5M-3N的值与a的取值无关，求x的值。 【拓展应用】(2)8个如图①所示的小长方形，长为m,宽为”，按如图②所示的方式不重叠地放在大长 方形ABCD 。对于大长方形中未被覆盖的两个部分〈图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的 19/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积为9，设4B=.若当48的长*变化时， S-2S2 的值始终保持不变，求m与”的数量关系. A B S2 C 图① 图② 20/20 第三章 整式及其加减（复习讲义） 1. 了解代数式、整式等概念的意义，体会“整式及其加减”各知识之间的整体联系。 2. 能用代数式表示数量关系，掌握代数式的书写规则，会进行代数式代入求值。 3. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分它们。 4. 理解同类项概念，掌握合并同类项方法，能利用整式加减运算法则进行整式加减运算。 5. 能探寻数字、数列的变化规律，利用方程解决相关问题。 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 【知识点04】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 【知识点05】整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【知识点06】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 题型一 代数式的识别 【例1】下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，掌握代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式，逐项判定即可． 【详解】解：题中的代数式有：， 故选：C． 【变式1-1】在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解：在式子，，，，，中，代数式有，，，，共4个； 故选D． 【变式1-2】下列各式：，，，，，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，根据“代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式”进行判断，代数式中不含“、、、、、、”等符号． 【详解】解：，，，，，其中代数式有，，共3个， 故选：C． 【变式1-3】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 题型二 代数式书写方法 【例2】下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面且省略乘号，原书写错误，故此选项不符合题意； B、相除时应写成分数形式，原书写错误，故此选项不符合题意； C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该书写为，故A错误； B．书写正确，故B正确； C．应该书写为，故C错误； D．应该书写为，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．应表示为，故A错误； B．应表示为，故B错误； C．应该表示为，故C错误； D．符合代数式书写要求，故D正确； 故选：D． 【变式2-3】下列代数式符合书写要求的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求．注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、要写成，故本选项不符合题意； B、要写成，故本选项不符合题意； C、要写成，故本选项不符合题意； D、符合书写要求，故本选项符合题意； 故选：D． 题型三 列代数式 【例3】一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，先表示出个位上的数字，再根据数的表示列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，个位上的数字是， 所以，． 故答案为：． 【变式3-1】梯形的上底和下底分别为，高为，用表示梯形的面积，则 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据梯形的面积等于上底与下底的和乘高除以列出代数式即可，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3-2】某校组织“爱心捐款”活动，九年级（1）班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款元，则该班男生共捐款 元（用含有的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了列出代数式，解题的关键是找到题目中的等量关系．根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：由题意可知，男生捐款金额总的金额女生捐款金额， 所以男生捐款金额为：． 故答案为：． 【变式3-3】填空题． （1）每包书有10册，6包书有 册，n包书有 册； （2）王芳今年m岁，她去年 岁，6年后 岁； （3）将糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖 ； （4）棱长为a的正方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式； 根据题意列代数式即可． 【详解】解：（1）每包书有10册，6包书有册，n包书有册； （2）王芳今年m岁，她去年岁，6年后岁； （3）将糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖； （4）棱长为a的正方体的体积是． 故答案为：（1），；（2），；（3）；（4）． 题型四 已知字母的值，求代数式的值 【例4】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出、的值是解决问题的关键．根据偶次方，绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，而，， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【变式4-1】当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想求解代数式的值是解题的关键． 把代入整式可得，然后把代入整式得，再把整体代入即可． 【详解】解：把代入整式可得， ， ∴把代入整式可得：； 故答案为：10． 【变式4-2】当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体思想求值即可． 【详解】∵当时，代数式的值为2024， ∴ ∴， ∴当时，代数式， 故答案为：． 【变式4-3】若都是有理数，且，则的值是 ． 【答案】3或/或3 【知识点】化简绝对值、有理数加法运算、有理数的除法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键．由变形可得：，从而原式可化为：；再由可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， ∵， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式， 当y为负时，原式， 当z为负时，原式， 故答案为：3或． 题型五 已知式子的值，求代数式的值 【例5】若，则 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的值．正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式5-1】若，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据已知，将所求代数式恒等变形，得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法，整体代入是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】若，则代数式的值是 ． 【答案】2038 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将代数式化为，再将代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2038． 【变式5-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 题型六 程序流程图与代数式求值 【例6】下图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了求代数式的值，依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， ， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ， 第2024次输出的结果为9． 故选：B． 【变式6-1】解答题：龙龙在学习电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动把初始显示值加上，同时B区就会把初始显示值自动乘以2，并在各自区域显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示值的分别是16和．    (1)将如图所示的初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)计算（1）中A区整式减去B区整式的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 【答案】(1)A，B两区显示的结果分别为，； (2)这个差不能为负数，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据题意给出的运算过程即可求出答案． （2）根据（1）中得出的结果进行相减，化简即可判断． 【详解】（1）解：按两次后，A区显示为：， B区显示为：． 答：A，B两区显示的结果分别为，； （2）解：这个差不能为负数，理由如下： 由题意可知： ， 故这个差不可能是负数． 【变式6-2】有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和--16，如图． 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： (1)从初始状态按4次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)从初始状态按2次后，求并直接比较A，B大小． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）直接依题意计算即可． （2）先计算，比大小即通过差的正负直接判断即可． 【详解】（1）A区显示的结果为： B区显示的结果为：； （2） 即 【点睛】此题考查程序类题型，主要是整式加减，解题关键是明确每一步的计算法则，重难点是比大小即作差看正负判断大小． 题型七 单项式、多项式的判断 【例7】下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 【变式7-1】下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 【变式7-2】下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【变式7-3】在式子，，，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查单项式．根据单项式与的定义“数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式”进行分析即可． 【详解】解：式子：，，不是数字与字母的乘积组成的式子，不是单项式； 单项式有：，，共2个． 故选：B． 题型八 单项式、多项式的系数和次数 【例8】下列说法不正确的是（　　） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．的项是，，1 D．是三次二项式 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了单项式以及多项式的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用单项式以及多项式的定义分析得出即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，正确，不合题意； B、是整式，正确，不合题意； C、的项是，，1，正确，不合题意； D、是一次二项式，故原命题错误，符合题意． 故选：D． 【变式8-1】下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查单项式的系数、次数、多项式的次数、项数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．根据单项式的系数、次数、多项式的次数、项数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、多项式是三次三项式，故本选项正确，符合题意； D、单项式m的次数是1，系数也是1，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．单项式的系数是，次数是3 C．多项式的次数是4 D．单项式的次数是0 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式、多项式，解题的关键是：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A. 单项式的系数是，原说法错误； B. 单项式的系数是，次数是3，说法正确； C. 多项式的次数是3，原说法错误； D. 单项式的次数是1，原说法错误； 故选B． 【变式8-3】下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是5 C．单项式的次数是4 D．是五次三项式 【答案】C 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，根据单项式的定义，单项式的次数与系数的定义，多项式的项和次数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是多项式，故本选项错误，不符合题意； B．的系数是，故本选项错误，不符合题意； C．单项式的次数是，故本选项正确，符合题意； D．是六次四项式，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型九 合并同类项 【例9】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式9-2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断、合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项的定义和合并同类项，依据同类项的定义与合并同类项法则求解即可．熟练掌握合并同类项法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”是解题关键． 【详解】．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式9-3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练运用合并同类项的法则是解题关键． 利用合并同类项的法则判断即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误， B、，正确； C、，不是同类项，不能合并； D、，不是同类项，不能合并； 故选：B 题型十 写出满足某些特征的单项式 【例10】请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母，；②系数是；③次数是4．则写出的单项式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．据此求解即可． 【详解】解：该单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-1】写出一个单项式 ，要求：此单项式含有字母a，b，系数是3，次数是3． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据题意，得：这样的单项式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-2】请你写出一个系数为，次数为4，并且只含有字母a，b的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数为，次数为4，并且只含有字母a，b， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-3】请你写出一个单项式，使它的系数为，次数为3，这个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 根据单项式次数和系数的定义写出满足题意的单项式即可． 【详解】解：系数为，次数为3的单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十一 多项式系数、指数中字母求值 【例11】若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式11-1】已知多项式是五次四项式，为常数，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项和次数．熟练掌握多项式的项和次数是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：5． 【变式11-2】如果多项式是三次四项式，常数项为，那么 ； ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式，根据多项式是三次四项式，常数项为，得到，，即可求解，掌握多项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是三次四项式，常数项为， ∴，， ∴， 故答案为：，． 【变式11-3】若多项式是关于，的三次三项式，则 ． 【答案】或 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，解题的关键是掌握多项式的项数与次数的定义．根据多项式的项数列出方程即可． 【详解】解：是关于，的三次三项式， ， 解得：或， 故答案为：或． 题型十二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例12】若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ． 【答案】3 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项和单项式，根据如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．得出，即可求解． 【详解】解：∵单项式 与 的差仍是单项式， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式12-1】已知，则 . 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了同类项的定义．如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的概念即可求出m与n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故答案为：． 【变式12-2】单项式与是同类项，则它们的和为 ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项以及同类项定义“字母相同、相同字母的次数相同”．根据同类项定义列式，求出的值，代值求解即可得到答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， 两个单项式为和， 它们的和为 故答案为：． 题型十三 整式的加减运算 【例13】计算或化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及整式加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． （2）先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-1】化简 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号，合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：原式 ． 【变式13-2】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式13-3】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 题型十四 整式的加减中的化简求值 【例14】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式14-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式加减中的化简求值，根据整式加减的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式14-2】先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值和平方的非负性，先合并同类项，将整式化简，再根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，最后将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：， 当时，原式 ． 【变式14-3】先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)；10 (2)； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ＝10； （2）解：原式 ； 当时， 原式 ． 题型十五 整式的加减运算与应用 【例15】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【变式15-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)窗户的面积是，窗户的外框的总长是： 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）窗户的面积等于四个小正方形的面积与半圆的面积之和即可得； （2）大正方形的的三条边长加上圆的周长的一半即可得； （3）把代入（1）（2）中所列代数式求值即可． 本题考查了整式加法的应用及化简求值，熟练掌握正方形与圆的周长和面积公式是解题关键． 【详解】（1）窗户的面积是：； （2）窗户的外框的总长是：； （3）当时，窗户的面积是： 窗户的外框的总长是：． 【变式15-2】为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位：厘米）如下： 长 宽 高 甲型纸盒 a c 乙型纸盒 (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知都为正整数），萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，长方体的表面积，整式的加减运算． （1）根据长方体表面积公式列式计算即可； （2）根据题意得到，计算得到，再由都为正整数），求出可能的情况，比较即可． 【详解】（1）解：甲型纸盒用料：． 乙型纸盒用料：． 两个纸盒共用料： ； （2）解：根据题意，得， 解得． ， ． 都为正整数， 当时，． 此时共用料 当时，． 此时共用料 萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，此时共用料最少为． 【变式15-3】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中1，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，面积分别为． (1)若，，，求长方形的面积； (2)若长方形的周长为18，长方形的周长为15，能求出中的哪些值？ (3)若，， ，求（结果用含，，的代数式表示）． 【答案】(1)长方形的面积为24； (2)能求出的值； (3)． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．根据三个边长，，的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答． （1）根据题意分别列出长方形的长和长方形的宽，将，，代入即可求出； （2）用含，，的式子表示出长方形的周长和长方形的周长，得出，，代入即可； （3）由题意得出，，，将其代入即可． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， 将，，代入得 面积为： ， ∴长方形的面积为24； （2）长方形的周长为18， 即， ①， 同理，长方形的周长为15， 即， ②， 得， 如图，， ， ， ， ∴能求出的值； （3）， ， ， ， ， ． 题型十六 用代数式表示数、图形的规律 【例16】如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高 cm， 个杯子叠起来高55cm． 【答案】 37 16 【分析】本题考查列代数式，图形的规律，掌握知识点是解题的关键． 用高度差除以杯子的个数差求出第一个杯口到第二个杯口的高度，再求出一个杯子的高度，据此解答即可． 【详解】解：依题意得 第一个杯口到第二个杯口的高度为：， ∴一个杯子的高度为：(厘米)， 则10个杯子叠起来高为， ∴(个)，所以16个杯子叠起来的高度是55cm． 故答案为：37，16． 【变式16-1】某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 【答案】 【分析】本题主要考查图形的规律探索，掌握从前几个图形出发，仔细观察，由此得出图形的规律，然后推广到一般情况，从而求得结论，是解题的关键．观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可． 【详解】解：第1个图形有8根火柴棒，即根； 第2个图形有14根火柴棒，即根；， 第3个图形有20根火柴棒，即根 第n个图形有根火柴棒． 故答案为：． 【变式16-2】如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由 个小正方形拼成． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，观察图形变化，发现小正方形的个数为连续奇数的平方，列出代数式即可，分析图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形中小正方形的个数为：， 第2个图形中小正方形的个数为：， 第3个图形中小正方形的个数为：， ， ∴第个图形中小正方形的个数为：， 故答案为：． 【变式16-3】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，先结合图形，得出第n个图形中小正方形的总个数是：；结合第n个图形中白色正方形的个数记为，则故，即可作答． 【详解】解：第1个图形：小正方形的总个数是； 第2个图形：小正方形的总个数是； 第3个图形：小正方形的总个数是； 第4个图形：小正方形的总个数是； …… 以此类推：第n个图形中小正方形的总个数是：； ∵第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ …… 以此类推：第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ ． 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【详解】解：A. ，符合代数式的书写格式，即A项符合题意，     B. ，正确的格式为：，常数项不出现带分数，即B项不合题意，     C. ，书写代数式时，一般不出现除号，除号要变为分数线，正确写法为，因此选项C不符合题意；     D. ，正确的格式为：，乘号往往省略不写，故D选项不合题意， 故选：A． 2．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②；③；④a；⑤0；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的定义．根据代数式的定义判断各项即可． 【详解】解：①；②；③；④a；⑤0；⑥中代数式是：①；④a；⑤0；⑥，共4个． 故选：B． 3．下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4．下列说法正确的是（   ） A．多项式的常数项是3 B．的次数是6 C．的系数是 D．1与不是同类项 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的概念，同类项，多项式中不含字母的项叫做常数项；单项式中各字母指数和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数；所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 根据单项式，多项式的相关定义进而同类项的定义解答即可． 【详解】解：A.多项式的常数项是，故选项不符合题意； B.的次数是5，故此选项不符合题意； C.的系数是，故此选项符合题意； D.1和是常数，是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．若与是同类项，则m、n的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题的关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值即可． 【详解】解：与是同类项， ， 故选：C． 6．已知a是一个两位数，b是一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，这个三位数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数位表示的数学原理，解题的关键是理解“将一位数放在两位数左边组成三位数时，一位数的数位会提升到百位，需乘，两位数的数位不变”． 先明确数位意义：两位数a表示几个十和几个一，一位数b放在a左边后，b处于百位，代表b个百（即；再结合a本身的数值，得出三位数的表达式为，最后与选项对比确定答案． 【详解】解：∵a是两位数，代表其本身的数值（如即；b是一位数，将b放在a左边时，b处于百位，需表示为 （如，放在左边组成，即． ∴组成的三位数为． 故选：C． 7．如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2025个小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，根据正方形的面积等于边长的平方，或者是对角线乘积的一半得出后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半是解题的关键． 观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以利用对角线乘积的一半求解，所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半，依此类推即可得出规律，从而即可求得第2025个小正方形的面积． 【详解】解：根据题意得：第一个小正方形的面积为1， 第二个小正方形的面积为， 第三个小正方形的面积为， ……， 第n个小正方形的面积为， ∴第2025个小正方形的面积为． 故选：B 二、填空题 8．多项式是 次 项式． 【答案】 四 三 【分析】本题考查了多项式的项、项数、次数“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（含符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数；不含字母的项称为常数项”，熟记多项式的项、项数、次数的定义是解题关键．根据多项式的项、项数、次数的定义求解即可得． 【详解】解：多项式共有，，三项；其中，的次数为，的次数为1，的次数为0， 所以多项式是四次三项式， 故答案为：四，三． 9．若单项式与的差是单项式，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了整式的加减、同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据整式的加减可得单项式与是同类项，再根据同类项的定义可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 10．已知代数式的值是3，则代数式的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式的值是3， ∴， 则， 故答案为：9 11．如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式的加减，数轴，绝对值，能根据数轴以及有理数的加法和减法法则判断绝对值里面的正负是解此题的关键． 由数轴可知：，从而得到，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ 故答案为2． 12．用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖 块，第个图案中白色地砖 块． 【答案】 【分析】本题考查图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．依次列出第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），，即可得出规律解答． 【详解】解：第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有块， 故答案为：；． 13．将图1周长为的矩形剪开做成图2的“直角尺”（不重叠无缝隙），用此直角尺测得图3中小正方形的边长为，则的长为 （用含a的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正方形的性质与矩形的周长，掌握相关知识是解题的关键．由题可知，利用正方形的性质可得，，而，，则有，求解出即可． 【详解】解：由题意得： ， 在小正方形和正方形中， ，， 又，， ， ， 则的长为． 故答案为：． 14．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数；是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示的规律型问题，理解差倒数的定义，并正确归纳出一般规律是解题关键．先根据差倒数的定义分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 由此可知，的值是按进行循环的， 因为， 所以， 故答案为： 三、解答题 15．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项； （3）先去括号，再合并同类项； （4）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，根据去括号和合并同类项的法则，进行化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 17．回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式去括号，合并同类项，再代入求值； （2）原式去括号，合并同类项，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 （2）解： ， 当， 原式＝． 18．已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，多项式的项数和次数，单项式的次数，先根据多项式是六次四项式，进行列式计算得，再结合单项式与该多项式的次数相同，列式计算得，然后把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， 解得， ∵单项式与该多项式的次数相同 ∴， 即， 解得， ∴． 19．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 答：花圃的面积是； （2）解：当时，花圃面积为，修建花圃所需费用（元）． 答：修建花圃所需费用为17600元． 20．【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 【答案】(1)①，，3；② (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，理解题意，找出规律是解答本题的关键． （1）根据倒数差的定义进行计算，求出，，，的值； （2）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，由此得到答案． （3）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，每个周期3个数的积为，中，有2025个数，即675个周期，由此计算出答案． 【详解】（1）解：①；；； 故答案为：，，3； ②； （2）解：根据（1）中规律可得以，，3循环， ∵， ∴． （3）解：，， ∴ ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此可得答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 2．下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是 C．的常数项为 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的相关概念，正确把握相关定义是解题的关键．分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数、单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数、几个单项式的和叫做多项式，依次判断即可得出答案． 【详解】解：A、的系数是，错误，故A选项不符合题意； B、的次数是，错误，故B选项不符合题意； C、的常数项是，错误，故C选项不符合题意； D、是多项式，正确，故D选项符合题意． 故选：D． 3．若关于的多项式不含二次项，则常数的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式不含某项问题．根据题意令，即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项， ∴，即， 故选：A． 4．若a表示一个三位数，b表示一个两位数，则将a放在b前面组成的五位数用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确的列代数式是解题的关键．根据a表示三位数，b表示两位数，把a放在b的前面，相当于把a扩大100倍，从而列出代数式． 【详解】解：∵a表示三位数，b表示两位数， ∴把a放在b的前面组成一个五位数，那么这个五位数可表示为． 故选C． 5．若，，且，那么的值是（   ） A．5或1 B．5或 C．或13 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，求代数式的值；根据|，，且，得到，，代入计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，，时，； ∴的值是或， 故选∶D． 6．和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化规律，观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数的是从3开始的第个数，即可得出答案， 观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键．还要熟练掌握求和公式． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数， ∴从到的奇数的个数为：， ∵， ∴， ∴奇数是从开始的第个奇数， ∵， ∴第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．如果是关于、的一个四次单项式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的定义，解答本题的关键是掌握单项式及单项式次数的定义．根据单项式的定义，可得，，求出a的值即可． 【详解】解：是关于、的一个四次单项式， ，， 解得：． 故答案为：3． 8．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【答案】 ， 【分析】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义．单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案． 【详解】解：根据单项式与多项式的定义可知： 单项式有： ，， 多项式有：， 的分母含字母，既不是单项式也不是多项式， 故答案为：，；． 9．如图：是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或式子互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数的定义，先理解题意，列式，整理得，即可作答． 【详解】解：∵正方体中相对的面上的数字或式子互为相反数， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 10．若关于的多项式不含的一次项和二次项，则 ， ． 【答案】 3 0 【分析】本题考查了多项式项的应用，熟悉掌握多项式的概念是解题的关键． 化简，令一次项和二次项系数为即可． 【详解】解：∵ ， 又∵式子不含的一次项和二次项， ∴，， 解得：，， 故答案为：；． 11．单项式的次数为5，多项式的次数为4，则的值为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了多项式和单项式，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用多项式的次数以及单项式的次数确定方法分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的次数为5， ∴， ∴， ∵多项式的次数为4， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 12．当时，多项式的值为2019，当时，多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的求值，运用整体代入思想并正确变形是解题的关键．先由时，多项式的值为2019，得出的值，再将代入多项式，变形并将的值代入计算即可． 【详解】解：∵当时，多项式的值为2019， ∴， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 三、解答题 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简得，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 14．先化简，再求值：，且满足： 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，将式子化简为最简形式．又根据平方与绝对值的非负性求出、的值，再将、的值代入化简后的式子进行计算．本题主要考查了整式的化简求值以及平方与绝对值的非负性，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则以及平方与绝对值的非负性质是解题的关键． 【详解】解： ∵，且，， ∴，， 解得，． 当，时，原式 ． 15．已知整式，整式M与整式N之和是． (1)求出整式N； (2)若a是常数，且的值与无关，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减和代数式的系数与项的性质，熟练掌握整式的运算法则以及如何通过代数式的系数求解未知数是解题的关键． （1）已知整式与整式的和，要求整式，可以通过和减去整式得到． （2）已知的值与无关，即该值是一个常数，这意味着的系数为0，可以通过这个性质来求解的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴ ∵的值与无关， ∴的系数必须为0，即 解得． 16．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 17．综合与实践 问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示， 解决问题： （1）当时，求______；当时，求______； （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“”、“”或“”）： _________0；________0；________0； 拓展探究： （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）1；；（2）；；；（3）0 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算法则及有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可知，将，，分别化简即可； （2）由图可知，且，再根据有理数的运算法则可判断出结果； （3）由（2）可知，，，故有，，，，进而可求出代数式的值． 【详解】解：（1）∵时，，时，， ∴，， 故答案为：1，； （2）由题意得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （3）由（2）可知，，，，， ∴，，，， ∴． 18．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $