第01讲 数列的概念及其表示（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列概念及表示，覆盖通项公式、递推关系、an与Sn关系等核心考点，按知识解构（9大知识点）-题型破译（10类题型）逻辑架构，通过考情分析、知识精讲、方法归纳、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破单调性、新定义等难点。 讲义突出北京卷新定义压轴题特色，题型分类含累加法、构造法等技巧，如构造等比数列时通过待定系数法培养逻辑推理能力。设置分层训练（基础+重难），结合课本典例与高考真题，助力学生高效掌握解题策略，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第01讲 数列的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的相关概念 知识点2 数列的通项与通项公式 知识点3 数列的表示方法 知识点4 数列的分类 知识点5 最大（小）项问题 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 知识点7 数列的递推关系 知识点8 累加法求通项公式 知识点9 累乘法求通项公式 题型破译 (含超链接） 题型1 根据规律求数列中的项【含方法技巧】 题型2 观察法求数列的通项公式【含方法技巧】 题型3 数列周期性的应用【含方法技巧】 题型4 数列单调性的应用【含方法技巧】 题型5 用通项公式与前 n 项和的关系求通项或项【含方法技巧】 题型6 累加法求数列通项公式【含方法技巧】 题型7 累乘法求数列通项公式【含方法技巧】 题型8 递推数列构造等差数列【含方法技巧】 题型9 递推数列构造等比数列【含方法技巧】 题型10 数列新定义【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的概念与表示法 — — — 数列的概念与有界性 T7（4分） — — 数列概念的综合应用（新定义、推理） T21（15分） — T15（5分）、T21（15分） 考情分析 数列是高考的核心内容之一，北京卷近年考查分值约19~20分，题型覆盖选择、填空、解答，难度跨度大。选择题、填空题以数列概念的基本理解为考查方向，如数列的有界性与极限关系（2026 T7）、不同数列集合中元素个数的判断（2024 T15），分值4~5分，难度中等。解答题固定在第21题压轴位置，分值15分，以新定义数列为背景，综合考查数列的概念、递推关系、逻辑推理与构造证明能力，难度较大，体现选拔功能。近三年考情显示，数列解答题具有鲜明的北京特色——以新定义情境为载体，考查数列的本质概念与抽象推理能力，而非单纯的计算技巧。复习时需在掌握数列基本概念的基础上，重点培养数列中的逻辑推理与构造证明能力。 复习目标 1.理解数列的概念，掌握数列的几种表示方法（列表法、图象法、通项公式法、递推公式法），理解数列是定义在正整数集或其子集上的函数。 2.理解数列的有界性、单调性等基本性质，能判断数列是否收敛。 3.能根据递推公式求数列的前几项或通项公式，理解递推关系是数列的核心特征。 4.能运用数列的概念与性质解决新定义背景下的存在性、构造与证明问题。 5.体会数列作为离散函数的本质，提升数学抽象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的相关概念 （1）数列：按照 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1项（ ），第2项…… （3）项数：组成数列的 称为数列的项数 自主检测1有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 自主检测2下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 知识点2 数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ． 自主检测1已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 自主检测2若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 知识点3 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点4 数列的分类 一般地，项数 的数列称为有穷数列，项数 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 自主检测1若数列是递减数列，则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点5 最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 自主检测1若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 自主检测2已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： . 自主检测1设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 自主检测2记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 知识点7 数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 ，则称这个公式为数列的 （递推公式或递归公式）． 自主检测1已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知数列的首项，且满足，则这个数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 知识点8 累加法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 自主检测1在数列中，，，则（） A． B． C． D． 自主检测2已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点9 累乘法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 自主检测1在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 自主检测2已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 根据规律求数列中的项 例1-1已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 例1-2将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 方法技巧 1.观察序号与项的对应关系：列出序号 与项 的对应表（），从代数运算关系（加、减、乘、除、乘方、阶乘等）入手，寻找 与 之间的函数关系。常见规律包括等差、等比、摆动、递增递减、周期变化等。 2.多角度观察：当单一规律不明显时，尝试从以下角度分析 相邻两项的差 是否成规律（如等差、等比）； 相邻两项的比 是否成规律； 各项的符号是否交替变化（如 或 ）； 各项的分子、分母是否分别成规律（分式型数列）。 3.常见数列模型： 正负交替：（）； 分式型：分别观察分子和分母的规律，通常分子、分母各自成等差或等比数列； 混合型：各项可拆分为“整数部分 分数部分”或“等差部分 等比部分”分别观察。 4.代入验证：求出通项公式后，代入前几项验证是否吻合；若题目只要求某一项，也可直接根据规律递推至该项。 【变式训练1-1】如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 【变式训练1-2】数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·北京通州·一模）“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 题型2 观察法求数列的通项公式 例2-1已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 例2-2数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.观察法的一般步骤 列出前几项 ； 观察各项与序号 的关系，寻找共同的表达式； 用 表示 ，写出通项公式； 代入前几项验证。 2.常见数列类型的通项公式： 等差数列：； 等比数列：； 平方数列：， 等； 分式数列：分子、分母分别为等差或等比； 摆动数列：含 或 因子。 3.调整与修正：先写出基本形式，再根据前几项调整常数项或系数。如 可看作 ，故 。 4.综合观察：有些数列的通项需要结合多种规律，如“奇偶项分别成等差（或等比）”，此时通项公式需用分段形式或含 的统一形式表示。 【变式训练2-1】已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型3 数列周期性的应用 例3-1已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 例3-2已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 方法技巧 1.周期数列的定义：若存在正整数 ，使得 对任意 恒成立，则称该数列为周期数列， 为其周期，最小正周期为数列的周期。 2.判断周期性的方法：通过递推关系计算数列的前若干项，观察项是否重复出现，从而确定周期。常见的递推形式 ，则周期为 ； ，则周期为 ； ，则周期为 ； ，则周期为 。 3.周期数列的求值：若要求 ，先用 除以周期 取余数，将下标化为 至 内的对应项：（若余数为 ，则为 ）。 4.周期数列的求和与求积：先求一个周期内所有项的和 或积 ，再根据周期个数及剩余项计算总和或总积。 5.递推数列与周期：若题中给出递推关系式，但未明确是否为周期数列，可通过迭代代入求前若干项观察规律，再下结论。 【变式训练3-1】在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式训练3-2】已知数列的通项公式为，为数列的前项和，则（   ） A．1010 B． C．1012 D． 【变式训练3-3】设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 题型4 数列单调性的应用 例4-1（2026·北京通州·一模）已知数列满足，给出下面3个结论， ①若为常数列，则； ②当时，总有； ③当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例4-2（2026·北京顺义·三模）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于； ②数列为等差数列； ③为递减数列； ④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 方法技巧 1.判断数列单调性的方法 作差法：计算 ，判断符号。若 恒成立，则数列递增；若 恒成立，则递减。 作商法：若 ，计算 ，与 比较大小。若 递增， 递减， 为常数列。 函数法：将 看作 ，研究 （）的单调性，利用导数或函数性质判断。 2.单调性的应用 求最值：递增数列的最小值为 ，最大值为极限（或不存在）；递减数列同理。 解不等式：利用单调性可比较不同项之间的大小关系，或将 转化为 与临界值的关系。 判断是否存在满足条件的项：利用单调性和有界性判断方程 的解的个数。 证明不等式：通过单调性建立 与某常数或表达式的大小关系。 3.摆动数列与单调性：摆动数列（如 ）不具有单调性，需分奇偶项分别讨论其子数列的单调性。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-2】（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【变式训练4-3】（2026·北京·三模）已知数列满足，给出下列四个结论： ①，使得为常数列； ②若，则； ③若，则，使得时，； ④若，则为递增数列． 其中所有正确结论的序号是________． 题型5 用通项公式与前n项和的关系求通项或项 例5-1记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 例5-2已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 方法技巧 1.核心关系式： 这是由前 项和求通项的标准公式，务必注意 时需单独验证。 2.已知 求 先求 （注意 ）； 计算 ，得到 时的通项； 单独计算 ，验证是否满足 时的表达式； 若满足，则统一写为一个式子；若不满足，则写成分段形式。 3.已知 求 ：利用累加法 ，若 为等差或等比数列，直接利用求和公式。 4.已知 与 的混合关系式求通项 利用 消去 ，得到关于 的递推式； 求出 的通项公式，再利用 求 ； 或利用 消去 ，得到关于 的递推式，再求 。 5.已知 与 的关系式求特定项：直接将 代入 或利用 求解。 【变式训练5-1】已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式训练5-2】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【变式训练5-3】已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 题型6 累加法求数列通项公式 例6-1（25-26高三上·北京房山·期末）数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____ 例6-2设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 方法技巧 1.适用条件：递推关系可化为 的形式，其中 的前 项和可求。 2.累加法的基本步骤 写出 时的递推式： 将上述 个等式左右分别相加： 化简求和后，得 。 3.常见 的求和 若 为一次函数（等差型），用等差数列求和公式； 若 为等比型，用等比数列求和公式； 若 为分式型，考虑裂项相消（如 ）； 若 可拆成两个数列的差，用裂项相消法求和。 4.验证：求出通项后，代入 验证是否满足 。 【变式训练6-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______． 【变式训练6-2】（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【变式训练6-3】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：； (3)已知，求的值.（结果用表示） 题型7 累乘法求数列通项公式 例7-1记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 例7-2记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 方法技巧 1.适用条件：递推关系可化为 的形式，且 （各项均不为零），其中 的前 项积可求。 2.累乘法的基本步骤 写出 时的递推式： 将上述 个等式左右分别相乘： 化简求积后，得 。 3.常见 的求积 若 为常数，为等比数列，； 若 为分式型（如 ），相邻项可相互约分，称为“连乘相消”； 若 为幂函数型，利用指数运算法则计算。 4.验证：求出通项后，代入 验证是否满足 ，并确认过程中各项均不为零。 【变式训练7-1】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 【变式训练7-2】已知正项数列满足：，. (1)求； (2)设，求前项和. (3)设，求项的最大值； 【变式训练7-3】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型8 递推数列构造等差数列 例8-1设数列满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)设，求数列的最大项. 例8-2已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 方法技巧 1.基本思路：若递推关系可化为 的某种函数形式，通过适当的变形，构造一个新的数列 ，使得 为等差数列。 2.常见构造类型 取倒数：若 ，两边取倒数得 ，则 为等差数列。 配凑常数：若 ，通过待定系数法寻找常数 ，使 与 成倒数关系。 对数型：若递推式中含有幂或乘积，取对数转化为线性关系。 3.构造数列 的标准形式：目标是将递推式化为 （常数）的形式，其中 是 的某个函数。 4.解题步骤 观察递推式的结构，选择合适的变换（倒数、取对数、配方等）； 构造 并求 ； 由等差数列通项公式求 ； 由 反解出 。 【变式训练8-1】已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【变式训练8-2】记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练8-3】记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 题型9 递推数列构造等比数列 例9-1已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例9-2已知数列的前项和是，且. (1)证明：为等比数列； (2)证明：. 方法技巧 1.基本思路：若递推关系可化为 与 的等比关系，通过待定系数法找到常数 ，构造新的数列 为等比数列。 2.最常见的类型（，） ： 设 ； 展开得 ； 令 ，解得 ； 则数列 是等比数列，公比为 。 3.推广形式（） ： 两边同除以 ，得 ； 令 ，则 ，转化为上述类型。 4.其他可构造等比的形式 （取倒数后构造等差或等比）； （令 构造等差）； （若 可配凑为等比形式，利用待定系数法构造）。 5.解题步骤 识别递推类型，选择适当的构造方法； 通过待定系数法确定构造新数列的常数； 求出新数列的通项公式； 反解出 的通项公式。 【变式训练9-1】已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【变式训练9-2】已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【变式训练9-3】已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 题型10 数列新定义 例10-1（2026·北京·三模）给定正整数，设数列：，，…，是，，…，的一个排列．从数列中选取第项、第项、…、第项（），，则称新数列，，…，为的长度为的递增子列．若，则称新数列，，…，为的递减子列．对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度． (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值． 例10-2（2026·北京朝阳·二模）已知无穷数列的各项均为正整数，无穷数列满足以下性质： ①； ② (1)若，求； (2)证明：； (3)是否存在大于1的正整数，使得成立？说明理由． 方法技巧 1.“新定义”题的核心策略：题干中会给出一个教材中没有的全新概念（如“对称数列”“等和数列”“和谐数列”“理想数”等），关键是透彻理解新定义，将定义中的条件准确翻译为数学语言（方程或不等式）。 2.理解定义的要点 明确新定义的研究对象（数列、项、和、积等）； 明确定义中的数学关系（如 、、 等）； 明确定义中的范围条件（如对任意 或存在 满足等）。 3.解题策略 特殊化：将定义应用于前几项，求出 ，探索数列的规律（等差、等比、周期等）； 转化：将新定义转化为已经学过的数列类型，如“等和数列”可转化为 ，进而构造等比数列或周期数列； 类比：回忆与定义相似的已知概念，借鉴其研究方法和结论； 归纳猜想：根据前几项归纳出通项公式或性质，再用数学归纳法证明。 4.常见新定义类型 等和数列：（或 ），则 ，周期为 ； 等积数列：，则 ，周期为 ； 绝对差数列：，周期为 （或最终归零）； “理想数”或“相关项”类：如满足 ，其中 为等差或等比数列，转化为累加法或构造法。 5.新定义题的步骤化处理： 第①步：逐字阅读定义，圈出关键词，明确满足的条件； 第②步：写出前几项，观察数列的直观规律； 第③步：判断是否为已知的数列类型（等差、等比、周期、递推构造型等）； 第④步：选用对应的方法（累加、累乘、构造等差等比、周期性等）求解； 第⑤步：将结果代回新定义验证，确认符合题意。 6.证明与新定义相关的结论：若题目要求证明某性质，应从定义出发，利用递推关系进行代数推导，必要时使用数学归纳法。 【变式训练10-1】（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【变式训练10-2】（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【变式训练10-3】（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 二、填空题 3．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题 4．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”． 5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． (1)如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； (2)若数列是数列，求； (3)设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 6．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： (1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； (2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； (3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； (4)数列的通项公式为 2．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 3．根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 4．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ． 5．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 6．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 7．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 2．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 5．在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D． 6．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知数列满足，（），则__________． 8．记为数列的前n项和，已知，，则______． 9．已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 10．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 11．已知数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 12．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 重难·创新演练13．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 14．已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 15．已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 16．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 19．已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 20．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 21．已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________． 22．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 23．已知数列的前项和为，，且对，. (1)求； (2)证明：. 24．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 25．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 26．对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 27．已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． (1)若数列是数列，直接写出的所有可能值； (2)若数列是数列，求的最大值； (3)若数列是数列，求的最小值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 数列的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的相关概念 知识点2 数列的通项与通项公式 知识点3 数列的表示方法 知识点4 数列的分类 知识点5 最大（小）项问题 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 知识点7 数列的递推关系 知识点8 累加法求通项公式 知识点9 累乘法求通项公式 题型破译 (含超链接） 题型1 根据规律求数列中的项【含方法技巧】 题型2 观察法求数列的通项公式【含方法技巧】 题型3 数列周期性的应用【含方法技巧】 题型4 数列单调性的应用【含方法技巧】 题型5 用通项公式与前 n 项和的关系求通项或项【含方法技巧】 题型6 累加法求数列通项公式【含方法技巧】 题型7 累乘法求数列通项公式【含方法技巧】 题型8 递推数列构造等差数列【含方法技巧】 题型9 递推数列构造等比数列【含方法技巧】 题型10 数列新定义【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的概念与表示法 — — — 数列的概念与有界性 T7（4分） — — 数列概念的综合应用（新定义、推理） T21（15分） — T15（5分）、T21（15分） 考情分析 数列是高考的核心内容之一，北京卷近年考查分值约19~20分，题型覆盖选择、填空、解答，难度跨度大。选择题、填空题以数列概念的基本理解为考查方向，如数列的有界性与极限关系（2026 T7）、不同数列集合中元素个数的判断（2024 T15），分值4~5分，难度中等。解答题固定在第21题压轴位置，分值15分，以新定义数列为背景，综合考查数列的概念、递推关系、逻辑推理与构造证明能力，难度较大，体现选拔功能。近三年考情显示，数列解答题具有鲜明的北京特色——以新定义情境为载体，考查数列的本质概念与抽象推理能力，而非单纯的计算技巧。复习时需在掌握数列基本概念的基础上，重点培养数列中的逻辑推理与构造证明能力。 复习目标 1.理解数列的概念，掌握数列的几种表示方法（列表法、图象法、通项公式法、递推公式法），理解数列是定义在正整数集或其子集上的函数。 2.理解数列的有界性、单调性等基本性质，能判断数列是否收敛。 3.能根据递推公式求数列的前几项或通项公式，理解递推关系是数列的核心特征。 4.能运用数列的概念与性质解决新定义背景下的存在性、构造与证明问题。 5.体会数列作为离散函数的本质，提升数学抽象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的相关概念 （1）数列：按照 一定次序 排成的一列数叫作数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 项 ，各项依次称为这个数列的第1项（ 首项 ），第2项…… （3）项数：组成数列的 项的个数 称为数列的项数 自主检测1有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 自主检测2下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 知识点2 数列的通项与通项公式 （1）通项：数列从首项起，每一项都与 正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成，其中表示数列的第n项（也称n为的序号），称为数列的 通项 ，一般将整个数列简记为 ． （2）通项公式：如果数列第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ． 自主检测1已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 【答案】D 【分析】根据通项，列出等式解方程即可． 【详解】根据数列通项可知：，令， 解得，故7是这个数列的第25项． 自主检测2若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 知识点3 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点4 数列的分类 一般地，项数 有限 的数列称为有穷数列，项数 无限 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 末项 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 自主检测1若数列是递减数列，则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性判断数列的单调性即可. 【详解】因为函数是增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是减函数，所以数列是递减数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 故选：C 自主检测2已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数列单调性的定义运算求解即可. 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 知识点5 最大（小）项问题 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 自主检测1若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分，两种情况，结合数列单调性求解即可. 【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为； 当时，，是递减数列，则的最大项为. 故选：B. 自主检测2已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【详解】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B 知识点6 数列前n项和的定义及an与Sn的关系 一般地，给定数列，称 为数列的前n项和. 检验时的是否满足时的通项公式： 将代入时得到的通项公式中，如果计算结果与步骤1中求出的相等，那么数列的通项公式可以统一写成时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即 . 自主检测1设是数列的前项和，若，则（    ） A．4053 B．4052 C．4048 D．2028 【答案】A 【详解】，当时，， 当时，. 当时，也适合上式，，则. 自主检测2记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 知识点7 数列的递推关系 已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 用一个公式来表示 ，则称这个公式为数列的 递推关系 （递推公式或递归公式）． 自主检测1已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特征方程可得，根据条件求出即可，或构造常数列，再利用等差数列求通项公式. 【详解】法1：特征方程为，解得. 设通项为，代入，得，解得， 故. 法2：因为，所以， 因为，，所以数列是以为首项的常数列， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则. 自主检测2已知数列的首项，且满足，则这个数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原递推式可改写为， 则是以为首项，公比为3的等比数列， 所以，所以． 知识点8 累加法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项和可求，就可以考虑使用累加法求通项公式. 自主检测1在数列中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将递推公式裂项，再利用累加法求出通项，即可求出答案. 【详解】因为， 所以 , 所以， 所以. 自主检测2已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 知识点9 累乘法求通项公式 若数列满足 ，其中是关于的函数，且的前项积可求，就可以考虑使用累乘法求通项公式. 自主检测1在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 自主检测2已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系式，利用累乘法即可求得（）. 【详解】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 题●型●破●译 题型1 根据规律求数列中的项 例1-1已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 例1-2将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】C 【分析】根据题意，得到每一行的数字的个数构成等差数列，且前行中数字的个数之和为，结合和，得到位于数阵的第行的第个数，即可求解. 【详解】根据数阵的规律，可得每一行的数字的个数组成首项为，公差为的等差数列， 所以前行中数字的个数之和为， 当时，可得；当时，可得， 则， 又由数阵的第行的第一个数为， 所以位于数阵的第行的第个数，即，所以. 方法技巧 1.观察序号与项的对应关系：列出序号 与项 的对应表（），从代数运算关系（加、减、乘、除、乘方、阶乘等）入手，寻找 与 之间的函数关系。常见规律包括等差、等比、摆动、递增递减、周期变化等。 2.多角度观察：当单一规律不明显时，尝试从以下角度分析 相邻两项的差 是否成规律（如等差、等比）； 相邻两项的比 是否成规律； 各项的符号是否交替变化（如 或 ）； 各项的分子、分母是否分别成规律（分式型数列）。 3.常见数列模型： 正负交替：（）； 分式型：分别观察分子和分母的规律，通常分子、分母各自成等差或等比数列； 混合型：各项可拆分为“整数部分 分数部分”或“等差部分 等比部分”分别观察。 4.代入验证：求出通项公式后，代入前几项验证是否吻合；若题目只要求某一项，也可直接根据规律递推至该项。 【变式训练1-1】如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（   ） 　 　　 　　　 　　　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知的条件，利用每个数是它下一行左右相邻两数的和这一规律进行逐步推导. 【详解】第6行从左到右各数依次为，，，，，， 第7行从左到右各数依次为，，，，，，， 故选：A. 【变式训练1-2】数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 【变式训练1-3】（2026·北京通州·一模）“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 【答案】 【分析】通过观察归纳前四层的物体个数规律，可得第8层物体个数及第层物体个数，并利用方垛所放的物体总数公式及等差数列前项和公式可得“三角垛”所放物体的总数. 【详解】设“三角垛”每层所放物体的个数组成数列， 观察三角垛每层的物体数： 第1层物体数：；第2层物体数：；第3层物体数：； 第4层物体数：； 以此类推，可得第层的物体个数通项公式为：. 所以第8层的物体个数：. 设 “三角垛”所放物体的总数为，则： ， 由题意可知， 又由等差数列的前项和公式可得， 所以 所以该“三角垛”所放物体的总数为. 题型2 观察法求数列的通项公式 例2-1已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的规律写通项公式. 【详解】已知数列可化为：， 根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为. 故选：B. 例2-2数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 方法技巧 1.观察法的一般步骤 列出前几项 ； 观察各项与序号 的关系，寻找共同的表达式； 用 表示 ，写出通项公式； 代入前几项验证。 2.常见数列类型的通项公式： 等差数列：； 等比数列：； 平方数列：， 等； 分式数列：分子、分母分别为等差或等比； 摆动数列：含 或 因子。 3.调整与修正：先写出基本形式，再根据前几项调整常数项或系数。如 可看作 ，故 。 4.综合观察：有些数列的通项需要结合多种规律，如“奇偶项分别成等差（或等比）”，此时通项公式需用分段形式或含 的统一形式表示。 【变式训练2-1】已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【详解】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 【变式训练2-2】数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可. 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 【变式训练2-3】数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察法、排除法求得正确答案. 【详解】通过观察可知， ，，所以BD选项错误. 对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数，所以A选项错误. 故选：C 题型3 数列周期性的应用 例3-1已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 例3-2已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】先通过递推公式算出数列的周期为4，且一个周期内的项乘积为1，再用2026除以周期得到余数，最后用周期乘积和余下两项即可计算结果. 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 方法技巧 1.周期数列的定义：若存在正整数 ，使得 对任意 恒成立，则称该数列为周期数列， 为其周期，最小正周期为数列的周期。 2.判断周期性的方法：通过递推关系计算数列的前若干项，观察项是否重复出现，从而确定周期。常见的递推形式 ，则周期为 ； ，则周期为 ； ，则周期为 ； ，则周期为 。 3.周期数列的求值：若要求 ，先用 除以周期 取余数，将下标化为 至 内的对应项：（若余数为 ，则为 ）。 4.周期数列的求和与求积：先求一个周期内所有项的和 或积 ，再根据周期个数及剩余项计算总和或总积。 5.递推数列与周期：若题中给出递推关系式，但未明确是否为周期数列，可通过迭代代入求前若干项观察规律，再下结论。 【变式训练3-1】在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】求出数列前几项得出周期，再利用周期可得答案. 【详解】因为，， 所以，， ， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 【变式训练3-2】已知数列的通项公式为，为数列的前项和，则（   ） A．1010 B． C．1012 D． 【答案】D 【分析】根据的奇偶分类讨论的取值，进而可简化的表达式，根据数列中项的取值规律分组（并项）求和法可求结果. 【详解】当为奇数时，；当为偶数时，， 所以， 所以， 所以. 【变式训练3-3】设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由正余弦两角和公式可得，然后由最小正周期可得答案. 【详解】 注意到， 又函数的最小正周期为6，则， 从而. 题型4 数列单调性的应用 例4-1（2026·北京通州·一模）已知数列满足，给出下面3个结论， ①若为常数列，则； ②当时，总有； ③当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】观察数列的递推公式，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】①若为常数列，则假设，则，代入得：，解得：， 即：或均满足为常数列，所以①错误； ②当时，由题意得时，，所以恒成立，， 当且仅当，即时等号成立，因为，所以当时，； 又因为，因为，所以，，则， 即数列是递减数列，所以，综上所述：，所以②正确； ③当时，由题意得时，，所以恒成立，则，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以，，， 则，所以为递增数列，且存在常数，使得恒成立，所以③正确. 例4-2（2026·北京顺义·三模）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于； ②数列为等差数列； ③为递减数列； ④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】由条件先证明可判断①；进而求得判断②；结合等差数列定义求得，结合求，再由与关系求，结合单调数列的定义计算可判断③；利用的通项公式可判断④. 【详解】由，可得， 当时，，所以，故，故①正确； 当时，，代入， 可得，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，故②正确； 得， 由，可得， 当时，也满足上式， 当时，， 当时，， ， 所以当时，数列单调递增，故③错误； 当时，，满足， 所以当时，存在，故④正确. 方法技巧 1.判断数列单调性的方法 作差法：计算 ，判断符号。若 恒成立，则数列递增；若 恒成立，则递减。 作商法：若 ，计算 ，与 比较大小。若 递增， 递减， 为常数列。 函数法：将 看作 ，研究 （）的单调性，利用导数或函数性质判断。 2.单调性的应用 求最值：递增数列的最小值为 ，最大值为极限（或不存在）；递减数列同理。 解不等式：利用单调性可比较不同项之间的大小关系，或将 转化为 与临界值的关系。 判断是否存在满足条件的项：利用单调性和有界性判断方程 的解的个数。 证明不等式：通过单调性建立 与某常数或表达式的大小关系。 3.摆动数列与单调性：摆动数列（如 ）不具有单调性，需分奇偶项分别讨论其子数列的单调性。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据是递增数列求出的取值范围，结合充分条件、必要条件、充要条件的定义判断即可. 【详解】是递增数列的充要条件是对任意恒成立. 已知，所以. 令，则. 因为，所以恒成立， 故只需对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，该函数是关于的增函数， 因此在时取得最小值，. 故是递增数列的充要条件是. 故选：C. 【变式训练4-2】（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【答案】C 【分析】对于A，由求解即可判断；对于B，结合A即可判断；对于C，由，当时，易得，进而得到，可得，即可判断；对于D，分析可得当时，结合可得，进而判断即可. 【详解】对于A，由为常数列，则， 整理得，解得或，即或，故A错误； 对于B，由A知，当或时，为常数列，故B错误； 对于C，由， 当时，，则，同理可得， 满足对于任意正整数，成立， 而，即， 则为递增数列，故C正确； 对于D，由，当时，， 而，则，即，，则， 所以不存在正整数，使得，故D错误. 【变式训练4-3】（2026·北京·三模）已知数列满足，给出下列四个结论： ①，使得为常数列； ②若，则； ③若，则，使得时，； ④若，则为递增数列． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质判断①.根据数学归纳法求证②即可.结合数学归纳法以及二次函数的性质求解③.根据数学归纳法以及不等式的性质求解④. 【详解】①.当时，，同理，①正确. 已知，令，化简得. ②.若，则，要证，即证. 时，成立；假设时，则，归纳成立. 因此对所有，，即，正确. ③.若，则，. 当时，，即从开始递增且趋向无穷大， 因此也趋向无穷大，不存在这样的有界上界，错误. ④.若，则. 当时，，即，归纳得所有， 递增，因此也为递增数列，正确. 题型5 用通项公式与前n项和的关系求通项或项 例5-1记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 例5-2已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 方法技巧 1.核心关系式： 这是由前 项和求通项的标准公式，务必注意 时需单独验证。 2.已知 求 先求 （注意 ）； 计算 ，得到 时的通项； 单独计算 ，验证是否满足 时的表达式； 若满足，则统一写为一个式子；若不满足，则写成分段形式。 3.已知 求 ：利用累加法 ，若 为等差或等比数列，直接利用求和公式。 4.已知 与 的混合关系式求通项 利用 消去 ，得到关于 的递推式； 求出 的通项公式，再利用 求 ； 或利用 消去 ，得到关于 的递推式，再求 。 5.已知 与 的关系式求特定项：直接将 代入 或利用 求解。 【变式训练5-1】已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 【变式训练5-2】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【变式训练5-3】已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 【分析】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）略 题型6 累加法求数列通项公式 例6-1（25-26高三上·北京房山·期末）数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____ 【答案】 【分析】根据给定条件计算可求得，写出数列的递推关系，利用累加法求出通项即可. 【详解】依题意，可得， 所以； 所以. 故答案为：①；②. 例6-2设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 方法技巧 1.适用条件：递推关系可化为 的形式，其中 的前 项和可求。 2.累加法的基本步骤 写出 时的递推式： 将上述 个等式左右分别相加： 化简求和后，得 。 3.常见 的求和 若 为一次函数（等差型），用等差数列求和公式； 若 为等比型，用等比数列求和公式； 若 为分式型，考虑裂项相消（如 ）； 若 可拆成两个数列的差，用裂项相消法求和。 4.验证：求出通项后，代入 验证是否满足 。 【变式训练6-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______． 【答案】 【分析】先根据等差数列通项公式求出的通项公式，再通过累加法求出的通项公式，进而求出的最小值． 【详解】因为，，， 则， 且是公差为2的等差数列，所以． 又因为， 当时，， 且， 则， 且符合上式，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 【变式训练6-2】（1）在数列中，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时，. 也适合上式， 即 （2）由题意知， 当时，由累加法可得： ， 也适合上式， 即. 【变式训练6-3】已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：； (3)已知，求的值.（结果用表示） 【答案】(1) (2)由（1）可得， 则由 ， 可得 ， 即， 整理得，因，则， 所以，故 . (3) 【分析】（1）运用累加法进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦二倍角公式进行运算证明即可； （3）根据余弦的两角和差公式，结合同角三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1）由 可得： ，由累加法得： ， 又因为，所以，故. （2）略. （3）因为 ，所以有， 取， 得， 所以 已知， 则，因此原式的计算结果为. 题型7 累乘法求数列通项公式 例7-1记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 例7-2记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 方法技巧 1.适用条件：递推关系可化为 的形式，且 （各项均不为零），其中 的前 项积可求。 2.累乘法的基本步骤 写出 时的递推式： 将上述 个等式左右分别相乘： 化简求积后，得 。 3.常见 的求积 若 为常数，为等比数列，； 若 为分式型（如 ），相邻项可相互约分，称为“连乘相消”； 若 为幂函数型，利用指数运算法则计算。 4.验证：求出通项后，代入 验证是否满足 ，并确认过程中各项均不为零。 【变式训练7-1】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式； （2）直接用累乘法求数列的通项公式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为．因为，， 所以，，则，． （2）因为，即，所以当时,． 所以当时, ． 当时，，符合上式. 故数列的通项公式为. 【变式训练7-2】已知正项数列满足：，. (1)求； (2)设，求前项和. (3)设，求项的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由递推式得：，进而得到，再累乘求即可； （2）由，再裂项相消求和即可； （3）作商得，则时，为递减数列，时，为递增数列，由此即可得到的最大值． 【详解】（1）由递推关系得：，， 所以：，即：， 所以：时，， ，显然当时也成立， 所以：； （2）由已知：， ； （3）由已知：，所以：， 所以：， ①令，得，所以当时，为递减数列； ②令，得，所以当时，为递增数列； 由①、②知， 所以当或时,取得最大值，最大值为． 【变式训练7-3】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. 题型8 递推数列构造等差数列 例8-1设数列满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)设，求数列的最大项. 【答案】(1) 由可得，，即， 又，因此是以1为公差，1为首项的等差数列. (2) 由（1）得，，， 设其前项和为，则， ， 所以， 即， 所以， 又，所以，因此． (3) 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明即可. （2）根据（1）求出的表达式，结合错位相减法求出，进而得到. （3）根据（2）求出的表达式，然后通过作差法比较与的大小，判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得，所以，， 所以. 当时，，得，即. 又因为，，，所以， 所以的最大项是. 例8-2已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1) 等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． (2) (3)1 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用. 方法技巧 1.基本思路：若递推关系可化为 的某种函数形式，通过适当的变形，构造一个新的数列 ，使得 为等差数列。 2.常见构造类型 取倒数：若 ，两边取倒数得 ，则 为等差数列。 配凑常数：若 ，通过待定系数法寻找常数 ，使 与 成倒数关系。 对数型：若递推式中含有幂或乘积，取对数转化为线性关系。 3.构造数列 的标准形式：目标是将递推式化为 （常数）的形式，其中 是 的某个函数。 4.解题步骤 观察递推式的结构，选择合适的变换（倒数、取对数、配方等）； 构造 并求 ； 由等差数列通项公式求 ； 由 反解出 。 【变式训练8-1】已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1)已知 ，移项可得 , 则 , 当 时， , 因为 （常数），且首项 ， 所以 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列. (2) (3)因为 ， 所以 . 当 时， ，不等式成立； 当 时， . . 所以 . 【分析】（1）可根据等差数列的定义，通过计算 是否为常数即可证明； （2）由（1）得到 的通项公式，再利用累加法求出 的通项公式； （3）先对 进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得 . 当 时，. 将 代入上式可得：. ， 当 时， ，上式也成立. 所以数列 的通项公式为 . （3）略 【变式训练8-2】记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：由已知得，两式相减并化简得， 两边同时除以得， 所以数列为常数列，亦即为公差为0的等差数列. 首项为，则，即. (2) 【分析】（1）由递推关系式化为，整理得是等差数列，并求通项公式即可； （2）分离参数得，构造数列，则只需求其最小项，即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）， 所以， 记，则， 当时，，当时，，当时，， ， ，则. 所以实数的取值范围为. 【变式训练8-3】记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【答案】(1) (2)证明：由可得， 故， 故，即， 故是首项和公差均为1的等差数列. 【分析】（1）由递推公式，代入求解即可. （2）由代入化简得，再同除以即可证明. 【详解】（1）当时，， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 故的值为. （2）略 题型9 递推数列构造等比数列 例9-1已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 例9-2已知数列的前项和是，且. (1)证明：为等比数列； (2)证明：. 【答案】(1)证明如下： 因为， 所以当，， 两式相减，得，即， 所以， 又时，， 所以， 所以， 所以是首项和公比都是2的等比数列. (2)证明如下： 由（1）得， 所以，所以， 所以， 所以是等比数列，首项和公比都是， 所以. 【分析】（1）根据求出，再根据配凑法结合等比数列的概念即可证明； （2）求出，再根据等比数列的前项和公式求出的前项和即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 方法技巧 1.基本思路：若递推关系可化为 与 的等比关系，通过待定系数法找到常数 ，构造新的数列 为等比数列。 2.最常见的类型（，） ： 设 ； 展开得 ； 令 ，解得 ； 则数列 是等比数列，公比为 。 3.推广形式（） ： 两边同除以 ，得 ； 令 ，则 ，转化为上述类型。 4.其他可构造等比的形式 （取倒数后构造等差或等比）； （令 构造等差）； （若 可配凑为等比形式，利用待定系数法构造）。 5.解题步骤 识别递推类型，选择适当的构造方法； 通过待定系数法确定构造新数列的常数； 求出新数列的通项公式； 反解出 的通项公式。 【变式训练9-1】已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【答案】(1) 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. (2) 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【详解】（1）略 （2）由， 则， 所以 即. 【变式训练9-2】已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1) ，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. (2) (3) 因为 ， 所以 ，即命题得证. 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）略 【变式训练9-3】已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. (2)递增数列 【分析】（1）先得的表达式，即可得求解，根据等比数列的通项求解， （2）代入的通项，进而利用作差法，即可判断单调性. 【详解】（1）略 （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 题型10 数列新定义 例10-1（2026·北京·三模）给定正整数，设数列：，，…，是，，…，的一个排列．从数列中选取第项、第项、…、第项（），，则称新数列，，…，为的长度为的递增子列．若，则称新数列，，…，为的递减子列．对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度． (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值． 【答案】(1)， (2)由于是的一个排列，故对有， 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以， 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以， 从而有； 若，则每个以为首项的递减子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递减子列，所以， 而每个以为首项的递增子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递增子列，所以， 从而有，综上有， 这也意味着和不能同时为零， 故. (3)当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是 【分析】（1）直接根据定义求解； （2）分情况讨论证明，故可知和不能同时为零，进而得到结论； （3）利用（2）的结果可得，然后对的奇偶性分情况讨论范围，并构造对应的数列. 【详解】（1）以为首项的最长递增子列是， 以为首项的最长递减子列是和， 所以，. （2）略. （3）由（2）可知和不能同时为零，于是有， 情况一：当为偶数时，设， 则有， 同时可以构造数列：， ， 则对 ，有，， 故此时， 结合可知的最小值是； 情况二：当为奇数时，设，则有 ， 同时可以构造数列：， ， 则对 ，有，， 故此时， 结合可知的最小值是， 综上，当为偶数时，的最小值是； 当为奇数时，的最小值是. 例10-2（2026·北京朝阳·二模）已知无穷数列的各项均为正整数，无穷数列满足以下性质： ①； ② (1)若，求； (2)证明：； (3)是否存在大于1的正整数，使得成立？说明理由． 【答案】(1) (2) 已知各项为正整数， . 根据的取值分类讨论：（1）若， . 当： ， 若则 ； 若则 . 当： ， 若则 ； 若则 . （2）若， . 当： ，同理可得. 当： ， 若则 ； 若则 . 综上， . (3) 不存在.理由如下： 首先证明：若且，则必有 用归纳法： 当时，，，，故. 假设对某个结论成立.考虑时，若： 若：由归纳假设，且，于是 若：则 故若，则，归纳成立. 现归纳证明对所有有： ， 设对某有，考虑： 若：. 若：则. 若： 若：，因为为整数，故 综上. 【分析】（1）根据递推公式代入求解即可. （2）根据递推公式，分 两种情况分类讨论，证明求解即可. （3）利用数学归纳法证明 . 【详解】（1） ， . 因为 ，所以. （2）略 （3）略 方法技巧 1.“新定义”题的核心策略：题干中会给出一个教材中没有的全新概念（如“对称数列”“等和数列”“和谐数列”“理想数”等），关键是透彻理解新定义，将定义中的条件准确翻译为数学语言（方程或不等式）。 2.理解定义的要点 明确新定义的研究对象（数列、项、和、积等）； 明确定义中的数学关系（如 、、 等）； 明确定义中的范围条件（如对任意 或存在 满足等）。 3.解题策略 特殊化：将定义应用于前几项，求出 ，探索数列的规律（等差、等比、周期等）； 转化：将新定义转化为已经学过的数列类型，如“等和数列”可转化为 ，进而构造等比数列或周期数列； 类比：回忆与定义相似的已知概念，借鉴其研究方法和结论； 归纳猜想：根据前几项归纳出通项公式或性质，再用数学归纳法证明。 4.常见新定义类型 等和数列：（或 ），则 ，周期为 ； 等积数列：，则 ，周期为 ； 绝对差数列：，周期为 （或最终归零）； “理想数”或“相关项”类：如满足 ，其中 为等差或等比数列，转化为累加法或构造法。 5.新定义题的步骤化处理： 第①步：逐字阅读定义，圈出关键词，明确满足的条件； 第②步：写出前几项，观察数列的直观规律； 第③步：判断是否为已知的数列类型（等差、等比、周期、递推构造型等）； 第④步：选用对应的方法（累加、累乘、构造等差等比、周期性等）求解； 第⑤步：将结果代回新定义验证，确认符合题意。 6.证明与新定义相关的结论：若题目要求证明某性质，应从定义出发，利用递推关系进行代数推导，必要时使用数学归纳法。 【变式训练10-1】（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【答案】(1)①具有性质；②不具有性质. (2) 由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． (3) 设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 【分析】（1）先检查数列是否为严格递增的正整数数列，再代入性质中的等式验证. （2）把与奇数作差，利用性质把换成，再与前个正奇数的和比较. （3）设，将结论转化为证明的项有无穷多个，再用反证法说明若只出现有限次，则最终只能为正或为负，都会与第（2）问得到的恒等关系矛盾． 【详解】（1）①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. （2）略 （3）略 【变式训练10-2】（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【答案】(1)具有，理由如下： 数列具有性质． 理由如下：数列满足，其中 ， 即是周期为4的周期数列． 所以对任意和，当时，． 故数列具有性质． (2)（i）4；（ii）考察由连续4项构成的数组， 由（i）知的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过． 所以在这257个数组中至少存在两个相同的， 即存在，，满足，其中． 以下证明：若，则，即证． 由性质，知存在，使得． ①若，即时，去掉上述等式两边的公共项，得 若 ，上式即为． 若，由，知，所以． ②若，因为，所以． 当 时，由，得， 记其值为，由性质知，在其后四项出现，所以； 当时，由，得， 分别记其值为，，由性质，知，所以； 同理，得当时，均有． 综上，可推导出． 从而由，得，即得， 进而得到， 所以存在正整数，对任意，有． 【分析】（1）首先分析数列为周期数列，再根据性质的定义即可判断； （2）（i）分别取取和，再利用反证法即可证明； （ii）利用（i）中的结论证明得存在，，满足，其中，再分和时证明即可. 【详解】（1）略 （2）（i）取，由性质得：存在，使得． 同理，取，由性质得：存在，使得. 以此类推，得数列中任意连续4项中，必有一项的值等于． 同理，得对于数列中的每一项之后的任意连续4项中，必有一项的值等于． 假设的取值超过4个，不妨设有5个值不同的项， 由上述结论，知在之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的． 所以中至多只有4个不同的取值． 又因为周期数列：具有性质， 所以集合中元素个数的最大值为4． （ii）略 【变式训练10-3】（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】(1)252； (2)1，3，7，2，4，5，6； (3)必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当 时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 【分析】（1）分析前6项和小于等于即可； （2）写出满足题意的置换，再证明即可； （3）分的所有项均为偶数和的所有项均为奇数讨论即可. 【详解】（1）数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． （2）数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在 ，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． （3）略 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 【答案】B 【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误. 法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立. 【详解】法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立. 二、填空题 3．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 三、解答题 4．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”． 【答案】(1) (2)不存在符合条件的， 解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为， 则，而该方程组无解，故假设不成立， 故不存在符合条件的； 解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4， 假设存在符合条件的，且， 因为，即序列共有8项， 由题意可知：， 检验可知：当时，上式不成立， 即假设不成立，所以不存在符合条件的. (3)解法一：我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得的各项都相等.则，所以.根据的定义，显然有，这里，.所以不断使用该式就得到，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，而，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.上面已经说明，这里，.从而由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.下面证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果，且相对于序列也是无序的，（ⅰ）若，不妨设，则，①当，则，分别执行个序列、个序列，可得，为常数列，符合题意；②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则，即，分别执行个序列、个序列可得，即，因为为偶数，即为偶数，可知的奇偶性相同，则，分别执行个序列，，，，可得，为常数列，符合题意；③若，则，即，分别执行个、个，可得，因为，可得，即转为①，可知符合题意；④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则，即，分别执行个、个，可得，且，可得，因为为偶数，可知的奇偶性相同，则为偶数，且，即转为②，可知符合题意；⑤若，则，即，分别执行个、个，可得，且，可得，因为为偶数，则为偶数，且，即转为④，可知符合题意；综上所述：若，则存在序列，使得为常数列；（ⅱ）若存在序列，使得为常数列，因为对任意，均有成立，若为常数列，则，所以；综上所述：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”. 【分析】（1）直接按照的定义写出即可； （2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列共有8项，可知：，检验即可； （3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若，分类讨论相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列，使得为常数列，结合定义分析证明即可. 【详解】（1）因为数列， 由序列可得； 由序列可得； 由序列可得； 所以. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析. 5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． (1)如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； (2)若数列是数列，求； (3)设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)不可以是数列；理由如下： 因 为 所以， 因 为所 以 所以数列，不可能是数列. (2)； (3)存在；． 【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值； (3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值. 【详解】（1）略； （2）性质①， 由性质③，因此或，或， 若，由性质②可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾. 因此只能是. 又因为或，所以或. 若，则， 不满足，舍去. 当，则前四项为:0，0，0，1， 下面用数学归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质③： ，此时可得：或； 所以， 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有 即当时命题成立，证毕. 综上可得：，. （3）令，由性质③可知： ， 由于， 因此数列为数列. 由（2）可知: 若； ，， 因此，此时，，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 6．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①；具有性质②； (Ⅲ)证明：解法一 首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项恒为负数. 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明： 利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而. 总上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 解法二：假设数列中的项均为正数： 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 即成等比数列，不妨设， 然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而， 然后利用性质①：取，则数列中存在一项， 下面我们用反证法来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 即由②可知：， 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，由于为正整数，故，则，与矛盾； 综上可知，假设不成立，则.同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列为等比数列. 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断； (Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可. 解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ)不具有性质①，理由略； (Ⅱ)具有性质①，理由略； 具有性质②，理由略； (Ⅲ)略 【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： (1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； (2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； (3)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； (4)数列的通项公式为 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【详解】（1）根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下： . （2）根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下： . （3）根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下： . （4）根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下： . 2．根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 【答案】（1），（2）, 【详解】（1），，，，，… 所以; （2）由题意， 所以. 3．根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3. 【详解】（1）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为1，3，7，15，31. （2）因为， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为3，3，3，3，3. 4．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 【答案】，，， ，. 【详解】，，， . 猜想. 6．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 7．已知函数，设数列的通项公式为. （1）求证. （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【答案】（1）证明见解析；（2）递增数列，证明见解析. 【详解】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 【答案】B 【详解】. 2．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 3．已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，而，且， 由，得正整数的最小值为2. 4．已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】，，，， 可见，数列的周期为， ， ． 5．在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以3为周期的周期数列，根据周期性计算即可求解. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A. 6．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 7．已知数列满足，（），则__________． 【答案】 【分析】根据已知递推公式，从首项开始逐步计算得到. 【详解】 ， ， ，. 8．记为数列的前n项和，已知，，则______． 【答案】 【分析】由与关系推得，构造等比数列，利用基本量运算即可求得. 【详解】当时，，将其代入，可得， 即，又，则数列是首项为、公比为的等比数列， 从而，解得. 9．已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 【答案】 8 【分析】根据给定条件的递推公式依次计算求出；再利用累加法求出通项公式即可求解. 【详解】数列满足，由，得； 当时， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：；8 10．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，确定为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）在数列中，， 可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. （2）由（1）得， 所以 11．已知数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)因为， 所以， 故 . 【分析】（1）由，得，从而为常数列； （2）求出通项公式，裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，得， 所以， 数列为常数列，则， 所以，. （2）略 12．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以. 所以. 重难·创新演练 13．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 14．已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 15．已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的周期为4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，， 是偶数，故， 是奇数，，故． 16．已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 17．数列满足，，且对任意，都有，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】应用已知结合赋值法计算求解. 【详解】由题意，. 令，得， 所以， 即. 令，得， 所以. 令，得， 所以. 令，得. 所以. 令，得. 所以. 令，得， 所以. 18．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，然后根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】求不动点，令，解得（等根）.构造， 那么数列是首项为，公差为的等差数列， 故，. 19．已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 20．已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，由数列的前项和与的关系得出数列的通项公式即可求解. 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 21．已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________． 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【详解】因为，可知数列是递增数列； 又因为，则， 例如，可知数列是递增数列，且， 所以符合题意. 22．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 23．已知数列的前项和为，，且对，. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件化简递推公式，再根据累乘法求出通项公式； （2）由（1）可知数列为等差数列，前项和为，由裂项相消求和即可得出证明. 【详解】（1）解：（1）由题意得①， 当时，②，联立①②，解得， 又， 当时，，，，， 由累乘可得，所以，又符合上式， 所以. （2）证明：由（1）知数列为等差数列，则， 所以， 故， 因为，所以得证. 24．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 25．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) （） (2) 【分析】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【详解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 26．对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由如下： 当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． (3)存在，，． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）先利用求得或，由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列； （3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围. 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，是周期为2的周期数列，理由略. （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 27．已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． (1)若数列是数列，直接写出的所有可能值； (2)若数列是数列，求的最大值； (3)若数列是数列，求的最小值． 【答案】(1)； (2)6； (3)2. 【分析】（1）根据定义列举所有情况，再验证即可； （2）分和讨论即可； （3）首先讨论的情况，再假设存在，进行分类讨论，最后构造符合题意的数列即可. 【详解】（1）. 理由：由题意得， 对条件①，对任意的，均有； 对条件②，对任意的，均有， 即，，， 对条件③，对任意，均有， 若数列是数列，根据条件①知， 根据条件②知， 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，因为，则，不合题意，舍去； 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，经验证符合条件③，此时， 综上所述的所有可能值为. （2）设，由①，， ．1,2,3,4,2,1是6⊕4数列， 所以符合题意． ．当时，由②，设或． （a）当时， 由②，，故由③，，与②矛盾． （b）当时，由②，或。 若，由③，，与①矛盾． 若，由②③，，与①矛盾． 综上，的最大值为6． （3）若满足③，则删除若干项仍满足③． 依题意，． ．当时，假若，设， 设，则由②，，由①②，无解，矛盾． 所以． ．假设存在，使得，设满足此条件的最小的为．由知，. 若存在数列，则． 不妨设中，出现的次数最少，设出现了次． 1.当时，则为数列，矛盾． 2.当时，设， （a）当或时，去掉这一项得数列，矛盾． （b）当时，去掉前两项得数列，矛盾． （c）当时，去掉后两项得数列，矛盾． （d）当时，记原数列为． 若且，去掉这一项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，与（2）矛盾． 3．当时，中，均至少出现2次． 由②，前两个1之间必有其它数，不妨设为2． 由③，所有的2均在这两个1之间． 同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋯ 这与矛盾． 4．综上，假设不成立，必有． ．构造：1,2,3,1为数列，此时． ．综上，的最小值为2． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $