第01讲 导数的概念、运算及几何意义（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、运算及几何意义核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑梳理8个知识点，通过知识解构、题型破译、真题溯源、分层训练四环节，帮助学生系统构建知识框架，突破切线方程、参数求解等高频题型。 讲义以题型分类为特色，如公切线问题通过双切点设参建立方程，培养数学思维与模型意识，结合近三年北京卷真题训练和分层练习，确保学生掌握5分基础分，为教师提供精准复习路径，提升学生应考能力。

第01讲 导数的概念、运算及几何意义 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平均变化率 知识点2 瞬时变化率 知识点3 导数的定义 知识点4 割线斜率与切线斜率 知识点5 导数的几何意义 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 知识点6 导数的运算法则 知识点7 复合函数的导数 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的计算【含方法技巧】 题型2 求曲线切线的斜率或倾斜角【含方法技巧】 题型3 求在曲线上一点的切线方程【含方法技巧】 题型4 求过一点的切线方程【含方法技巧】 题型5 已知切线（斜率）求参数【含方法技巧】 题型6 两条切线平行、垂直问题【含方法技巧】 题型7 公切线问题【含方法技巧】 题型8 切线（方程）的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念与基本运算 T20(1)（5分） T20(1)（5分） T20(1)（5分） 导数的几何意义（切线） T20(1)（5分） T20(1)（5分） T20(1)（5分） 考情分析 导数的概念、运算及几何意义是高考必考内容，北京卷近三年均以解答题第20题第(1)问形式呈现，分值5分，难度中等偏易，属于导数压轴题中的基础送分部分。试题侧重考查导数的基本运算能力（乘法、除法、复合函数求导）及导数几何意义的直接应用（求切线方程、由切线条件求参数）。复习时需确保导数运算准确无误，深刻理解导数的几何意义，做到基础分必拿。 复习目标 1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，能熟练进行导数计算。 2.理解导数的几何意义，掌握曲线在某点处切线斜率的求法，会求切线方程及根据切线条件求参数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 自主检测已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 自主检测某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 ． 自主检测1已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 自主检测2设在处可导，且，则等于（   ） A．6 B． C． D．2 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 自主检测1曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 自主检测2函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 自主检测下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 ． 自主检测1函数的导数是 （  ） A． B． C． D． 自主检测2．的求导结果（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 导数的计算 例1-1下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 例1-2已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 方法技巧 1.基本初等函数的导数公式：牢记以下常用导数公式—— （ 为常数）； （）； ，； （，），； （，），。 2.导数的四则运算法则： 和差法则：； 乘积法则：； 商法则：（）。 3.复合函数求导法则：对于 ，有 （链式法则）。关键是正确识别内外层函数，逐层求导后相乘。 4.化简先行：求导前若函数解析式可化简（如展开多项式、化简分式、利用对数恒等式变形等），应先化简再求导，可减少计算量。 【变式训练1-1】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】对于函数，若，则实数的值为（    ） A． B．e C． D． 【变式训练1-3】已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 题型2 求曲线切线的斜率或倾斜角 例2-1曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 例2-2设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 1.导数的几何意义：函数 在点 处的导数 即为曲线在点 处切线的斜率 。 2.斜率与倾斜角的关系：，其中 为切线的倾斜角，。根据 的正负可判断 的范围： 时，； 时，（切线与 轴平行）； 时，； 斜率不存在时，（切线垂直于 轴）。 3.计算步骤：先求导函数 ，再代入切点横坐标 ，得斜率 ，最后利用 求倾斜角。 【变式训练2-1】设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【变式训练2-2】曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 求在曲线上一点的切线方程 例3-1（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 例3-2（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 方法技巧 1.题型特征：已知切点 在曲线 上，求该点处的切线方程。此时切点既在曲线上，也在切线上。 2.解题步骤： 求导得 ，计算切线斜率 ； 利用点斜式写出切线方程：； 若题目要求一般式，整理为 的形式。 3.特殊情况： 若 ，切线为水平线 ； 若 不存在（或 ），切线为竖直线 （常见于圆锥曲线或根式函数的尖点处）。 【变式训练3-1】（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 【变式训练3-2】（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式训练3-3】（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 题型4 求过一点的切线方程 例4-1曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例4-2函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 方法技巧 1.题型特征：已知点 在曲线 外（或位置不确定），求过点 的切线方程。此时 不一定是切点，需先求出切点坐标。 2.解题步骤： 设切点为 ，则切线斜率 ； 利用点斜式写出切线方程：； 将 代入切线方程，得方程 ； 解关于 的方程，求出切点横坐标 （可能有多个解）； 将每个 代回，得到对应的切线方程。 3.注意：若点 恰好在曲线上，则 必为一个解，但可能存在其他切点（即过曲线上一点还可作其他切线），需将所有解求出。 4.验证：对于三次函数等曲线，过一点的切线可能有两条或三条，务必全部求出，避免遗漏。 【变式训练4-1】过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-2】过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 已知切线（斜率）求参数 例5-1（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 例5-2（2026·北京大兴·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切于点，求a，b的值； (2)若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 方法技巧 1.利用斜率条件：若曲线 在 处的切线斜率为 ，则 ，建立关于参数的方程。 2.利用切点条件：若切线经过某已知点 ，则切点 和点 都满足切线方程，即切线的斜率同时等于 和 ，由此建立方程。 3.利用两切线关系：若两条切线平行（斜率相等）或垂直（斜率乘积为 ），则通过斜率关系建立方程。 4.分类讨论：若参数出现在导函数的分母、根号内或指数位置，需注意定义域限制，并对参数的不同取值范围分类讨论。 5.检验：求出参数后，代回验证切线是否确实存在（如切点是否在曲线上、斜率是否存在等）。 【变式训练5-1】（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 【变式训练5-2】（2026·北京顺义·二模）已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数．曲线在点切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 题型6 两条切线平行、垂直问题 例6-1（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 例6-2（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 方法技巧 1.平行条件：两条切线平行 两切线斜率相等，即 （注意斜率不存在的情况也视为平行）。 2.垂直条件：两条切线垂直 两切线斜率乘积为 ，即 （需注意 、 均存在且不为 ）。若一条切线斜率不存在（竖直线），则另一条切线的斜率必须为 （水平线）。 3.解题步骤： 分别求出两曲线（或同一条曲线不同点处）的导函数，得到斜率表达式 、； 根据平行或垂直条件建立方程； 结合切点坐标满足曲线方程的条件，联立方程组求解参数或切点坐标。 4.多解情况：平行或垂直的条件可能对应多个切点组合，需全面考虑，避免遗漏。 【变式训练6-1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. (2)设函数在区间上存在极值，求证：. 【变式训练6-2】（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【变式训练6-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 题型7 公切线问题 例7-1已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 例7-2直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 方法技巧 1.题型特征：一条直线同时与两条曲线（或同一条曲线的两个不同点）相切，称为公切线问题。 2.解题策略一——分别设切点： 设直线与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ； 切线斜率可表示为 ； 切线方程可表示为 ，同时也应满足 ； 两方程表示同一条直线，故截距相等（或 、 两点均在该直线上），建立方程组求解 、。 3.解题策略二——利用切线方程： 先写出曲线 在点 处的切线方程：； 再写出曲线 在点 处的切线方程：； 若两条切线为同一直线，则对应系数相等，建立方程组。 4.特殊情况： 若两曲线相切于同一点 ，则 ，且 、； 若公切线为水平线或竖直线，需单独讨论斜率不存在的情况。 5.解的存在性：公切线问题有时涉及方程的解的个数，需结合函数图象或零点存在性定理判断公切线的条数。 【变式训练7-1】若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【变式训练7-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式训练7-3】若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 题型8 切线（方程）的综合应用 例8-1已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8-2若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练8-3】若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．已知曲线上一点，则在点P处的切线的倾斜角为 ． 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 4．设函数求： （1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； （2）函数在处的导数． 5．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数； （4）在处的导数． 6．求曲线在点处的切线方程． 7．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率． 8．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 9．已知函数，求的导数，并求出的解集． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．函数在处的导数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 3．某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 5．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 6．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 11．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 12．若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 13．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（    ）. A．0 B． C．或0 D．0或 15．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 重难·创新演练 16．（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 17．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 18．（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 19．（2026·山东淄博·二模）已知函数的定义域为，，函数.对任意，曲线在点处的切线方程为 (1)求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数. 20．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值. (2)当，时， ①记的零点个数为m，极小值点个数为n，证明：： ②记①中的极小值点为，零点为，证明：． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念、运算及几何意义 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 平均变化率 知识点2 瞬时变化率 知识点3 导数的定义 知识点4 割线斜率与切线斜率 知识点5 导数的几何意义 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 知识点6 导数的运算法则 知识点7 复合函数的导数 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的计算【含方法技巧】 题型2 求曲线切线的斜率或倾斜角【含方法技巧】 题型3 求在曲线上一点的切线方程【含方法技巧】 题型4 求过一点的切线方程【含方法技巧】 题型5 已知切线（斜率）求参数【含方法技巧】 题型6 两条切线平行、垂直问题【含方法技巧】 题型7 公切线问题【含方法技巧】 题型8 切线（方程）的综合应用【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念与基本运算 T20(1)（5分） T20(1)（5分） T20(1)（5分） 导数的几何意义（切线） T20(1)（5分） T20(1)（5分） T20(1)（5分） 考情分析 导数的概念、运算及几何意义是高考必考内容，北京卷近三年均以解答题第20题第(1)问形式呈现，分值5分，难度中等偏易，属于导数压轴题中的基础送分部分。试题侧重考查导数的基本运算能力（乘法、除法、复合函数求导）及导数几何意义的直接应用（求切线方程、由切线条件求参数）。复习时需确保导数运算准确无误，深刻理解导数的几何意义，做到基础分必拿。 复习目标 1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，能熟练进行导数计算。 2.理解导数的几何意义，掌握曲线在某点处切线斜率的求法，会求切线方程及根据切线条件求参数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 自主检测已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 自主检测某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时，，即质点在时的瞬时速度为. 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 瞬时变化率 ． 自主检测1已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 自主检测2设在处可导，且，则等于（   ） A．6 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 切线 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 自主检测1曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 自主检测2函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，设切点为，再由切线方程为，把点代入计算得到切线方程即可． 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 自主检测下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的求导公式和导数四则运算公式直接求导即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 对 的导数与对的导数的乘积 ． 自主检测1函数的导数是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的求导运算法则，直接计算即可. 【详解】对复合函数，令，则， 故. 故选：B. 自主检测2．的求导结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的求导法则求解. 【详解】. 题●型●破●译 题型1 导数的计算 例1-1下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 例1-2已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 方法技巧 1.基本初等函数的导数公式：牢记以下常用导数公式—— （ 为常数）； （）； ，； （，），； （，），。 2.导数的四则运算法则： 和差法则：； 乘积法则：； 商法则：（）。 3.复合函数求导法则：对于 ，有 （链式法则）。关键是正确识别内外层函数，逐层求导后相乘。 4.化简先行：求导前若函数解析式可化简（如展开多项式、化简分式、利用对数恒等式变形等），应先化简再求导，可减少计算量。 【变式训练1-1】下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础函数导数的公式计算即可. 【详解】，，，. 故选：D 【变式训练1-2】对于函数，若，则实数的值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，得，代入，得，求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得． 【变式训练1-3】已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导，再求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 解得． 题型2 求曲线切线的斜率或倾斜角 例2-1曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 例2-2设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角. 【详解】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 方法技巧 1.导数的几何意义：函数 在点 处的导数 即为曲线在点 处切线的斜率 。 2.斜率与倾斜角的关系：，其中 为切线的倾斜角，。根据 的正负可判断 的范围： 时，； 时，（切线与 轴平行）； 时，； 斜率不存在时，（切线垂直于 轴）。 3.计算步骤：先求导函数 ，再代入切点横坐标 ，得斜率 ，最后利用 求倾斜角。 【变式训练2-1】设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 【变式训练2-2】曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出导数并利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 【变式训练2-3】若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 题型3 求在曲线上一点的切线方程 例3-1（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明：由可得 令，可知是该方程的一个根； 令，则恒成立； 故在上单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值，； 故，故恒成立； (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，由此写出切线方程即可； （2）利用导函数的正负判断原函数的单调性，通过单调性变化得到最值，从而证明结论即可； （3）根据第二问函数的单调性，化简，判断绝对值的最值，通过构造函数，利用新函数的单调性，通过不等式计算参数的取值范围． 【详解】（1）当时，，； ，； 故曲线在点处的切线方程为：； （2）略； （3）由（2）可知，对任意的，在上单调递减，在上单调递增； 故在处取最小值，，最大值为， 则成立的充要条件为，，； 令，则，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故， 令， 则，故单调递增，且， 故当时，，， 当时，，， 综上，需满足， 故，解得 综上，m的取值范围为． 例3-2（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 方法技巧 1.题型特征：已知切点 在曲线 上，求该点处的切线方程。此时切点既在曲线上，也在切线上。 2.解题步骤： 求导得 ，计算切线斜率 ； 利用点斜式写出切线方程：； 若题目要求一般式，整理为 的形式。 3.特殊情况： 若 ，切线为水平线 ； 若 不存在（或 ），切线为竖直线 （常见于圆锥曲线或根式函数的尖点处）。 【变式训练3-1】（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）单调递增；（ⅱ） 【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解 (2)(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性 (ii)与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在 【详解】【小题1】根据题意，，， ，，， 所以所求切线方程为. 【小题2】（ⅰ）时，， ， 设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，， 所以在上单调递增. （ⅱ）由已知， ， ， ①当时， ， 所以在上单调递增，不合题意. ②当时，设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 因为，当， ；当， ， 所以存在，，使 ． 当x变化时，，情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ ↗ 所以在上存在唯一的极大值点，符合题意. 综上所述， 【变式训练3-2】（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 (3)不存在点，使的面积为，理由如下： 由，得，所以， 又， 所以切线的方程为， 令，得， 所以， 所以切线与轴的交点. 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令， 所以， 所以， 由，得 所以，所以， 令， 所以 ， 所以无解， 故不存在点，使的面积为. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求得函数的单调性可求得极值； （3）求得切线的方程为，进而求得三角形的面积与的函数关系，根据是否有解可得结论. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 可得， 令，可得，解得或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为 ， 当时，函数取得极小值，极小值为. （3）略. 【变式训练3-3】（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)对于，讨论与的大小； (3)当时，证明：方程存在两个根，，且. 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3) 因为的定义域为，，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 则与有2个交点，所以方程存在两个根，， 不妨设，则，且， 由（2）可知：当时，， 则，即， 又因为，，且在内单调递减， 则，所以. 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）利用作差法可得，构造新函数，，利用导数判断单调性，进而分析符号； （3）利用导数判断的单调性和最值，即可证方程存在两个根，结合（2）中大小关系分析证明. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. （2）由题意可知：的定义域为，则， 可得， 因为，且，则， 令，， 则， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，且， 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 综上所述：当时，；当时，；当时，. （3）略 题型4 求过一点的切线方程 例4-1曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 例4-2函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，设切点为，再由切线方程为，把点代入计算得到切线方程即可． 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 方法技巧 1.题型特征：已知点 在曲线 外（或位置不确定），求过点 的切线方程。此时 不一定是切点，需先求出切点坐标。 2.解题步骤： 设切点为 ，则切线斜率 ； 利用点斜式写出切线方程：； 将 代入切线方程，得方程 ； 解关于 的方程，求出切点横坐标 （可能有多个解）； 将每个 代回，得到对应的切线方程。 3.注意：若点 恰好在曲线上，则 必为一个解，但可能存在其他切点（即过曲线上一点还可作其他切线），需将所有解求出。 4.验证：对于三次函数等曲线，过一点的切线可能有两条或三条，务必全部求出，避免遗漏。 【变式训练4-1】过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 【变式训练4-2】过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 【变式训练4-3】函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 题型5 已知切线（斜率）求参数 例5-1（2026·北京·模拟预测）设函数，已知曲线在点处的切线为，． (1)求和的值； (2)求的单调区间； (3)已知，分别为，的导函数，当时，且，证明：时，． 【答案】(1) (2)单调减区间为，没有单调增区间 (3)因为，， 所以，即， 故单调递减，又因为， 所以，即． 【分析】（1）求出导数，结合导数的几何意义列方程组，可得答案； （2）求解导数，根据导数符号判断单调性，得出单调区间； （3）构造函数，通过新函数的导数可得最值，进而可证结论. 【详解】（1）由题意得 因为曲线在点处的切线为 所以，解得，得到． （2）由题意得，的定义域为， 可得， 令，且它与符号相同， 令，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此，即， 所以单调减区间为，没有增区间. （3）略 例5-2（2026·北京大兴·三模）已知函数. (1)若曲线与直线相切于点，求a，b的值； (2)若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）； 因为的方程有两个不同的解， 所以，且， 所以， 所以. 因为，所以， 所以； （ii），理由见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（i）由的方程有两个不同的解，得到，且，通过计算得到结论；（ii）构造函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得到当时有，不妨设，则，从而得到，通过计算得到 . 【详解】（1）因为，所以， 因为曲线与直线相切于点， 所以，所以，所以， 又，所以. （2）（i）略； （ii）；令， 则，则时，有. 即在上单调递增， 故时，有， 不妨设，则， 则，即，即， 即，又，即， 即：. 方法技巧 1.利用斜率条件：若曲线 在 处的切线斜率为 ，则 ，建立关于参数的方程。 2.利用切点条件：若切线经过某已知点 ，则切点 和点 都满足切线方程，即切线的斜率同时等于 和 ，由此建立方程。 3.利用两切线关系：若两条切线平行（斜率相等）或垂直（斜率乘积为 ），则通过斜率关系建立方程。 4.分类讨论：若参数出现在导函数的分母、根号内或指数位置，需注意定义域限制，并对参数的不同取值范围分类讨论。 5.检验：求出参数后，代回验证切线是否确实存在（如切点是否在曲线上、斜率是否存在等）。 【变式训练5-1】（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义列式计算得解； （2）构造函数，求导，分和讨论求解； （3）设，，则，，可得，由（2）可得，运算得解. 【详解】（1）设切点为，则，， 由，得切线的斜率， 所以，解得，，， 所以切点的坐标为，. （2）设，则， 当时，，则，即在上单调递增， 对任意的实数，都存在实数，使得； 当时，由，得，即在上单调递增， 由，得，所以在上单调递减， 所以， 所以存在，对任意，，不合题意； 所以的取值范围为. （3）因为与，的交点分别为， 所以可设，，则，， 所以， 由（2）知当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当，即时，的最小值为. 【变式训练5-2】（2026·北京顺义·二模）已知函数，，. (1)若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； (2)设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【分析】（1）由两条曲线在一点处的切线相同，则根据导数的几何意义即在该点处的斜率相等，即可求出的值； （2）①先求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定极值点； ②通过判断极大值大于，极小值小于，再结合端点的函数值，即可判断零点的个数. 【详解】（1）解：由题意知，，所以点在 两条曲线上， 分别求导得，， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，则， 即，所以. （2）①解：，， 所以， 令，则或， 因为，所以， 又，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取极大值为； 在处取极小值为. ②由①可知，，，， 则，所以. 又在处取极小值为，， 令，则，， 因为，所以，因此在单调递减， 又，所以，即. 因为当时，；当时，，，则， 因此在有1个零点；在存在1个零点；在存在1个零点， 因此，函数有3个不同的零点. 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数．曲线在点切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：． 【答案】(1)1 (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 由，得，， 而，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 曲线在点处的切线方程为， 令，得，即. 则 ， ， 设， 则， 由于，则，，则，即， 所以函数在上单调递增，则， 即， 由于，则，， 由（2）知，时，，时，， 则，， 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题设直接求解即可； （2）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间； （3）先由导数的几何意义结合题设得到，进而构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由， 则，即，则. （2）由（1）知，，则， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）略 题型6 两条切线平行、垂直问题 例6-1（2026·北京东城·二模）已知函数，.当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，且. (1)求的值； (2)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (3)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B.若存在（e为自然对数的底），使得，求b的最大值. 【答案】(1) (2) 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时， 与的交点位于y轴右侧； (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （3）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】（1），，， ， 因为，所以 ，即，解得； （2）略 （3）由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当 时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 例6-2（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 方法技巧 1.平行条件：两条切线平行 两切线斜率相等，即 （注意斜率不存在的情况也视为平行）。 2.垂直条件：两条切线垂直 两切线斜率乘积为 ，即 （需注意 、 均存在且不为 ）。若一条切线斜率不存在（竖直线），则另一条切线的斜率必须为 （水平线）。 3.解题步骤： 分别求出两曲线（或同一条曲线不同点处）的导函数，得到斜率表达式 、； 根据平行或垂直条件建立方程； 结合切点坐标满足曲线方程的条件，联立方程组求解参数或切点坐标。 4.多解情况：平行或垂直的条件可能对应多个切点组合，需全面考虑，避免遗漏。 【变式训练6-1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. (2)设函数在区间上存在极值，求证：. 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）①利用导数求函数在处的切线的斜率即可；②利用导数求出的单调性，结合零点存在性定理即可证明； （2）求出，当时不合题意，当时，令，利用导数判断的单调性，根据，要使得在上存在极值，则须满足，即，分析推理即可得到. 【详解】（1）①的定义域为， ， 因为函数在处的切线与平行， 所以，得； ②由①得，， 令， 因为，所以在单调递减， 又，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增； 当时，，即，在单调递减， 又（当且仅当，即时等号成立）， 即，因为，， 由零点存在性定理知在和分别有一个零点， 综上，函数在定义域上恰有两个不同的零点； （2）依题意，， 则， 当时，，在单调递增，不合题意； 当时，令，，则， 所以在单调递增， 因为，要使得在上存在极值， 则须满足，即， 所以，，即. 设，则， 令，则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以， 即当时，， 所以，. 所以， 即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问解题的关键在于当时，构造函数，，利用的单调性和，将题设在上存在极值，转化成，从而列出关于a的不等式组可进一步求解. 【变式训练6-2】（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）略 【变式训练6-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两直线垂直的斜率关系，即可求解； （2）首先求函数的导数，，讨论得到取值范围，根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （3）根据（2）的结果，结合函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，由条件可知，，得； （2），， 当时，恒成立，所以在单调递增， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是，无减区间，当时，的减区间是，增区间是； （3）当，当时，，，所以，即，不满足条件， 当时，由（2）可知，在处取得最小值，最小值为， 若对任意的，恒成立，即 即，得，即， 所以的取值范围是. 题型7 公切线问题 例7-1已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 例7-2直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【答案】B 【分析】令，，由题意可得，结合计算可求得的最大值. 【详解】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即， 此时，所以，所以. 方法技巧 1.题型特征：一条直线同时与两条曲线（或同一条曲线的两个不同点）相切，称为公切线问题。 2.解题策略一——分别设切点： 设直线与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ； 切线斜率可表示为 ； 切线方程可表示为 ，同时也应满足 ； 两方程表示同一条直线，故截距相等（或 、 两点均在该直线上），建立方程组求解 、。 3.解题策略二——利用切线方程： 先写出曲线 在点 处的切线方程：； 再写出曲线 在点 处的切线方程：； 若两条切线为同一直线，则对应系数相等，建立方程组。 4.特殊情况： 若两曲线相切于同一点 ，则 ，且 、； 若公切线为水平线或竖直线，需单独讨论斜率不存在的情况。 5.解的存在性：公切线问题有时涉及方程的解的个数，需结合函数图象或零点存在性定理判断公切线的条数。 【变式训练7-1】若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 【变式训练7-2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 【变式训练7-3】若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 题型8 切线（方程）的综合应用 例8-1已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 例8-2若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【变式训练8-1】过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 【变式训练8-2】已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 【变式训练8-3】若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 则切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【详解】（1），则， ，又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）略 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以， 不妨设时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法   ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作曲线在点，，处的切线，记其斜率依次为， 结合图象可得， 由导数的几何意义可得， 所以. 故选：D.    2．已知曲线上一点，则在点P处的切线的倾斜角为 ． 【答案】45° 【详解】∵y＝x2－2，∴ ∴当Δx→0时，→x. ∴y′|x＝1＝1，∴在点处的切线斜率为1， 切线倾斜角为45°. 答案：45° 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】已知函数，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得. 故答案为： 4．设函数求： （1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； （2）函数在处的导数． 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）解：， ． 所以函数的平均变化率为． （2）， 5．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数； （4）在处的导数． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ； (4) . 【详解】(1)因为，所以 ，所以在处的导数为； (2)因为，所以 ，所以在处的导数为； (3)因为，所以 ，所以在处的导数为； (4)因为，所以 ，所以在处的导数为. 6．求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【详解】， ，， 所以切线方程为，即. 7．吹气球时，气球的半径r（单位：）与体积V（单位：L）之间的函数关系是，利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，气球的瞬时膨胀率． 【答案】图象见解析，，， 【详解】解：函数图象如下所示： ， 则，， 8．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：因为，所以 （2）解：因为，所以 （3）解：因为，所以 （4）解：因为，所以 （5）解：因为，所以 （6）解：因为，所以 9．已知函数，求的导数，并求出的解集． 【答案】；的解集为. 【详解】的定义域为， 所以。 令，解得：. 所以的解集为： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．函数在处的导数为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，所以在处的导数为． 2．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 3．某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时，，即质点在时的瞬时速度为. 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 5．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 6．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求. 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 7．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 8．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 10．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 11．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 12．若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可. 【详解】因为曲线，所以， ， 在处的切线的倾斜角为，则 则. 13．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 14．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（    ）. A．0 B． C．或0 D．0或 【答案】D 【详解】由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 由，得，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 则，即， 则， 即，解得或. 当时，由得； 当时，由得. 故或, 则或. 15．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 重难·创新演练 16．（2026·北京·三模）已知函数． (1)设在处的切线为，求与直线的交点坐标； (2)求函数的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再令，求出交点坐标； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）分三种情况讨论求解，设，利用导数研究单调性，解不等式. 【详解】（1）因为，， 所以， ． 所以 ．所以切线为： ． 令，则．所以所求交点为． （2）由（1）知，． 令 ，则， 令，则，列表： 3 0 极大值 所以 ． 所以，故在区间上分别单调递减， 由知， 的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）当时， ，故符合； 当时， ，故符合； 当时， ． 设，则 ， 所以在上单调递减， 所以，所以． 综上所述，所求解集为． 17．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）单调递增；（ⅱ） 【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解 (2)(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性 (ii)与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在 【详解】【小题1】根据题意，，， ，，， 所以所求切线方程为. 【小题2】（ⅰ）时，， ， 设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，， 所以在上单调递增. （ⅱ）由已知， ， ， ①当时， ， 所以在上单调递增，不合题意. ②当时，设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 因为，当， ；当， ， 所以存在，，使 ． 当x变化时，，情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ ↗ 所以在上存在唯一的极大值点，符合题意. 综上所述， 18．（2026·北京房山·二模）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； (2)若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； (3)对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义列式计算得解； （2）构造函数，求导，分和讨论求解； （3）设，，则，，可得，由（2）可得，运算得解. 【详解】（1）设切点为，则，， 由，得切线的斜率， 所以，解得，，， 所以切点的坐标为，. （2）设，则， 当时，，则，即在上单调递增， 对任意的实数，都存在实数，使得； 当时，由，得，即在上单调递增， 由，得，所以在上单调递减， 所以， 所以存在，对任意，，不合题意； 所以的取值范围为. （3）因为与，的交点分别为， 所以可设，，则，， 所以， 由（2）知当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当，即时，的最小值为. 19．（2026·山东淄博·二模）已知函数的定义域为，，函数.对任意，曲线在点处的切线方程为 (1)求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增 (3)2条 【分析】（1）由题意可得，根据导数与单调性的关系求解； （2）先对函数求导，令，，再对函数求导，根据导数与函数单调性的关系即可判断求解； （3）由题意可得，令，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）由题意可知曲线在点处的切线斜率为， 所以， 令，得， 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在有最小值，即； （2）， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值， 所以，故函数在区间上单调递增； （3）由题意可得点在切线上， 所以①， 令， ， 由（2）可知，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以1是方程①的一个解； 又，， 所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点， 所以有两个解， 即过点且与曲线相切的直线的条数有2条. 20．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值. (2)当，时， ①记的零点个数为m，极小值点个数为n，证明：： ②记①中的极小值点为，零点为，证明：． 【答案】(1)3 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得切线的斜率k，根据切线方程，可解得a值. （2）①利用导数，可得的单调区间、极值，根据零点存在性定理，可得的零点，分析求解，即可得证；②根据①可得，，求得的解析式，利用导数可得在上恒成立，分析即可得证. 【详解】（1）由题意得， 则在点处切线的斜率，解得. （2）①证明：由（1）得， 令，则， 由，当时， 与都单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有唯一的零点， 即在上有唯一的零点， 当时，，则在上恒成立， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在上有唯一的极小值点，即， 因为，且在上单调递减，在上单调递增， 根据零点存在定理，存在，使得. 即在上存在唯一零点，即，所以. ②证明：由①得，，，则， 则 ， 因为，所以， 令， 则，令， 则 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，则，且在上单调递增， 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $