专题4.12 解三角形（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以8大题型系统分类为框架，通过分层训练实现解三角形从基础应用到综合拓展的递进突破，突出定理工具性与实际问题建模的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|8类题型含选择/填空/解答|覆盖正余弦定理应用、形状判断、面积周长、最值范围、几何量计算、测量问题及知识交汇|以定理为核心，从直接应用（正余弦定理解三角形）到综合应用（与三角、几何交汇），形成"定理→性质→应用→拓展"逻辑链| |分层突破|A/B/C三组含模拟题与真题|基础巩固→能力提升→实战演练，题量配比合理|遵循认知规律，从单一知识点到综合问题，从基础技能到应试能力，衔接高考命题趋势|

专题4.12 解三角形（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 余弦定理解三角形】 1 【题型2 正弦定理解三角形】 2 【题型3 三角形的形状判断】 4 【题型4 三角形的面积与周长问题】 7 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 9 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 13 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 15 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 18 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 余弦定理解三角形】 1．（2026·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦定理联立方程求解. 【解答过程】因为， 由，得， , 得，. 故选：A. 2．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【解答过程】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C. 3．（2026·山东泰安·三模）已知中，，，，则__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【解答过程】在中，， 由余弦定理得：，解得. 故答案为：. 4．（2026·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则__________． 【答案】 【解题思路】应用余弦定理求余弦值即可. 【解答过程】由题设. 故答案为：. 【题型2 正弦定理解三角形】 5．（2026·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理解三角形即可. 【解答过程】由正弦定理得， 则， 又，， 所以，解得． 故选：B. 6．（2026·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据正弦定理求出，然后根据正弦定理求出. 【解答过程】由题意，根据正弦定理得 ，解得，而为三角形内角， 所以，所以. 根据正弦定理，解得. 故选：D. 7．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【解答过程】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C. 8．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【解答过程】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B. 【题型3 三角形的形状判断】 9．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【解题思路】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【解答过程】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 故选：B. 10．（2026·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解题思路】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【解答过程】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 11．（2026·陕西安康·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【答案】(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【解题思路】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【解答过程】（1）， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； （2）为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形. 12．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）由诱导公式以及余弦定理计算可得 ，可证明是等腰三角形； （2）结合中线长度以及余弦定理得出方程组可解得，再由三角形面积公式计算可得的面积为8. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理得， 则，化简得，故 ， 因此是等腰三角形． （2）因为，为的中点，且，所以， 由余弦定理得， 由（1）得 ，所以， 化简得，，所以． 在中，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以的面积为． 【题型4 三角形的面积与周长问题】 13．（2026·云南·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据余弦定理求出值，再利用三角形面积公式求解即可. 【解答过程】由余弦定理可得，，即， 整理得，解得或（舍去，因为）， 故． 故选C. 14．（2026·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【答案】B 【解题思路】根据已知及正弦定理得、、，再由三角形内角的性质及和角正弦公式得，根据正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【解答过程】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B. 15．（2026·江苏南京·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若c＝，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和消去，化简得，用辅助角公式求解； （2）由面积公式得，余弦定理结合得，从而求出周长. 【解答过程】（1）根据与正弦定理， 可得， 因为，所以， 代入上式化简得， 因，则，两边同除以得， 即，即. 又，则，故，得. （2）已知，，面积. 由面积公式得， 由余弦定理得，即， 代入得， 因此周长为. 16．（2026·山东青岛·三模）记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值，再利用正弦定理求出、的值，结合三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由及正弦定理知 故，即， 即， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）由题知 ， 因为，所以，则，故，， 由正弦定理知：，即，得， 所以. 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 17．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【解答过程】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 故选：B. 18．（2026·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值. 【解答过程】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 20．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 21．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【解答过程】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 22．（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【解答过程】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C. 23．（2026·四川泸州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理可将条件整理为，因为，故可求得，即可得； （2）根据余弦定理得到关于的方程并求解，再由等面积法求边上的高. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即， 整理可得，中， 所以，且，所以； （2）由，则，即， 所以（负值舍），设边上的高为，则， 所以. 24．（2026·福建福州·三模）记的内角的对边分别为，已知 的面积为. (1)求； (2)若，求边上的中线长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和面积公式可得； （2）利用正弦定理求出，结合（1）求出，即可求出，利用可得. 【解答过程】（1）因为以及余弦定理可得，，即， 因为的面积为，所以，即， 得，因为，所以； （2）由（1）可得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以，， 则由可得， 设线段的中点为， 则 ， 得，得， 故边上的中线长为. 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 25．（2026·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【解答过程】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 26．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度. 【解答过程】设，，，，，. 在中，，，. 由正弦定理， 即，所以. 在中，因为，， 所以. 由正弦定理， 所以，又因为， 所以， 所以 ， 所以隧道的长度为. 故选：D. 27．（2026·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是___________海里. 【答案】 【解题思路】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【解答过程】依题意，画出示意图如下，，，    在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. 28．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为___________. 【答案】60 【解题思路】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【解答过程】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 故答案为：. 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 29．（2026·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【解答过程】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 30．（2026·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【解答过程】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，， 则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 31．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求解. （2）由（1）结合已知求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值，利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）依题意，， 由，得， 所以函数的最小正周期，单调递增区间为. （2）由（1）得，即， 在锐角中，，，则，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 设边上的高为，则，因此， 所以的最大值为. 32．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)2 【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出单调递增区间. （2）由（1）求出，进而求出锐角，再利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）函数， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，由，得， 由，得，则，解得， 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，所以a的最小值为2. 一、单选题 1．（2026·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理计算可得. 【解答过程】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A. 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【解答过程】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得 ， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理求出，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 4．（2026·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【解答过程】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D. 5．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【解题思路】利用余弦定理变形给定等式可得，再利用直角三角形边角关系求出即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得，整理得， 因此，而，则，又， 于是，，而，则， 所以面积. 故选：C. 6．（2026·辽宁·模拟预测）在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解题思路】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【解答过程】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故， 故选：B. 7．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【解答过程】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 8．（2026·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【解题思路】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【解答过程】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 二、填空题 9．（2026·广东广州·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则_____________． 【答案】 【解题思路】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【解答过程】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 10．（2026·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则_____________． 【答案】1 【解题思路】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【解答过程】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 11．（2026·河南·模拟预测）在中，的面积为，则的周长为_____________. 【答案】 【解题思路】由面积结合题意可得，然后由余弦定理可得， 据此可得周长. 【解答过程】因为，所以. 由余弦定理可得 . 则，所以的周长为. 故答案为：. 12．（2026·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为_____________． 【答案】 【解题思路】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【解答过程】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·广东江门·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值. 【解答过程】已知，由正弦定理化简得：， 代入得： ，当且仅当“”时取等， 由余弦定理可得：，， 由同角三角函数关系可得：， 则面积. 故选：A. 2．（2026·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围， 【解答过程】因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． 在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 故选：A. 二、解答题 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【解答过程】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 4．（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将已知边角关系式转化为角的关系，约去公共项后结合已知直接计算得到； （2）先求出所需的正弦值，再利用正弦定理求出边长，结合和角公式求出，最后代入三角形面积公式得到面积. 【解答过程】（1）已知，，所以， 由得，等式两边同乘（三角形内角正弦值为正，可约去）， 得：，代入，得； （2）由，，得 由正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得，整理得， 解得正根（负根舍去）， 三角形面积. 5．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【解题思路】(1)利用向量平行的坐标条件结合辅助角公式求解角； (2)通过面积公式求出的值，再结合余弦定理和完全平方公式求出，进而得到周长. 【解答过程】（1）由，根据向量平行的坐标条件，得， 化简得. 利用辅助角公式，将左边整理为， 因此：， 因为锐角三角形，故，则. 所以，解得. （2）由(1)知，结合面积公式，代入， 得， 再由余弦定理，代入、， 得， 由完全平方公式，，故(边长为正，取正值). 因此，的周长为. 6．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【解答过程】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】(1) (2)，， (3) 【解题思路】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先根据面积公式求出，再根据余弦定理求出； （3）利用面积分割结合面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. （3）因为，平分，所以， 又， 则， 则. 8．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到 ，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【解答过程】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【解答过程】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 故选：B. 2．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题意得， 又，所以. 故选：A. 二、填空题 3．（2026·北京·高考真题）已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为___________，体积为___________．    【答案】； 【解题思路】先由底面三角形的边长求面积；再由，可知点在底面上的投影为的外心，由此求出三棱锥的高. 【解答过程】    法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，. 在中，， 故底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 在中，由余弦定理得， 且，故. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得， 且，故，. 所以底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 故答案为：；. 4．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】 【解题思路】求出，由正弦定理，即可得解. 【解答过程】在中，，所以， 由正弦定理可得. 故答案为：. 三、解答题 5．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【解答过程】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【解答过程】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 7．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【解题思路】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 8．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 9．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【解答过程】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【解答过程】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.12 解三角形（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 余弦定理解三角形】 1 【题型2 正弦定理解三角形】 2 【题型3 三角形的形状判断】 2 【题型4 三角形的面积与周长问题】 3 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 4 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 4 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 5 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 余弦定理解三角形】 1．（2026·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东泰安·三模）已知中，，，，则__________. 4．（2026·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则__________． 【题型2 正弦定理解三角形】 5．（2026·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西·模拟预测）在中，的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【题型3 三角形的形状判断】 9．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 10．（2026·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 11．（2026·陕西安康·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 12．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 【题型4 三角形的面积与周长问题】 13．（2026·云南·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 14．（2026·湖南邵阳·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 15．（2026·江苏南京·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若c＝，且的面积为，求的周长. 16．（2026·山东青岛·三模）记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【题型5 三角形中的最值与范围问题】 17．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 18．（2026·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 20．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【题型6 三角形的高、中线和角平分线】 21．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·四川泸州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，，求边上的高． 24．（2026·福建福州·三模）记的内角的对边分别为，已知 的面积为. (1)求； (2)若，求边上的中线长. 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 25．（2026·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 26．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是___________海里. 28．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为___________. 【题型8 解三角形与其他知识的交汇问题】 29．（2026·河北保定·三模）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 30．（2026·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 32．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 一、单选题 1．（2026·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2026·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．（2026·辽宁·模拟预测）在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 8．（2026·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 二、填空题 9．（2026·广东广州·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则_____________． 10．（2026·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则_____________． 11．（2026·河南·模拟预测）在中，的面积为，则的周长为_____________. 12．（2026·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为_____________． 一、单选题 1．（2026·广东江门·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 2．（2026·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 4．（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 5．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 6．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 8．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·北京·高考真题）已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为___________，体积为___________．    4．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 三、解答题 5．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 7．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 8．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 9．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $