重难点专训01 集合与逻辑中的含参问题及新定义问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦集合与逻辑的含参及新定义问题，构建“方法提炼-题型通法-分层过关”三阶训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|6类核心方法|集合运算参数：数轴法/观察法；逻辑参数：命题真假转化；新定义问题：四步解题法|从集合、逻辑基础概念到新定义创新应用，形成“概念-方法-创新”递进链条| |题型通法|4题型（每题1例+3变式）|集合含参：端点取舍；逻辑含参：全称/存在命题转化；新定义/运算：概念理解与转化|题型与方法一一对应，变式覆盖不同情境，突出通法迁移| |分层过关练|巩固11题+创新9题|巩固题强化基础方法，创新题提升复杂情境处理能力|由易到难分层设计，契合一轮复习梯度需求，培养创新意识|

重难点专训01 集合与逻辑中的含参问题及新定义问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 题型通法及变式提升 题型1 集合中含参问题 题型2 简易逻辑中含参问题 题型3 定义新概念 题型4 定义新运算 重难专题分层过关练 巩固过关 创新提升 解题方法及技巧提炼 1.利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 2.由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 3.解答新定义型创新题的基本思路： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 4.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 5.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 6.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 题型通法及变式提升 题型1 集合中含参问题 【例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，则，故， 即的取值范围为. 【变式1】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为.故选A 【变式2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即.故选：A. 【变式3】（2026·北京房山·期中）已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】解方程，得或，因此； 由，得或，即或， 解得或，因此，所以的取值范围是. 题型2 简易逻辑中含参问题 【例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为.故选：B. 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，，若命题“，”是假命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若命题“，”是假命题， 则该命题的否定“，”是真命题， 即，是真命题， 当时，不等式可化为，不符合题意， 当时，有，解得，所以， 所以a的取值范围是.故选C 【变式2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且，解得或，故选D. 【变式3】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足，可知实数的取值范围是，故选A 题型3 定义新概念 【例3】（25-26高三上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【解析】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27.故选：C 【变式1】已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【解析】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集，而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B 【变式2】（25-26高三上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故选：. 【变式3】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合是集合的子集，对于，定义.给出下列三个结论： ①存在的两个不同子集，使得任意都满足且； ②任取的两个不同子集，对任意都有； ③设，对任意，都有. 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①不妨设分别为正奇数与正偶数，， 则且，故①正确； ②，则，此时，故②错误； ③若，此时，则与中至少有一个为0， 故；若，此时且， 故，故③正确，故正确结论有2个. 故选：C 题型4 定义新运算 【例4】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【变式1】（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【解】(1)由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. (2)由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． (3)，理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【变式2】（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 【变式3】（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【解】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题集合，， 若，则，所以.故选：B 2．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①代入可得符合题意，故①正确； ∵对恒过点， 当时，，当时，，当时，， 由此我们可知的点集是由曲线绕A点往上直到点扫过的区域，如图： ∴，故②正确；，，，故③错误； 有图易得，故④正确.故选：C. 3．（24-25高三下·北京·阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 不妨设， 可得， 可得，解得：或（舍去）， 所以的最大值为16，故选B. 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴.∴，故选：A. 5．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当命题为真命题，即，使成立，得到，即， 当命题为真命题，即对，恒成立，得到， 即， 所以当命题和命题同时为真命题时，有，即， 又命题和命题至多有一个为真命题，所以或， 故选：D. 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 【答案】4 【解析】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】当恒成立， 当时，且，解得：， 当时,成立，所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 8．（23-24高三上·北京海淀·阶段检测）已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． (1)若，求集合和，以及的值； (2)给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【解】（1）根据定义直接得，， 则，所以. （2）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 9．（24-25高三下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 10．（23-24高三上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 11．（25-26高三上·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【解】（1）集合具有性质，理由如下： 因为，则任取两个元素有： ①，此时，且只有一个2， ②，此时，且只有一个2， ③，此时，且只有一个2， 综上所述集合具有性质. （2）集合，理由如下： 任取两个元素有： ①，此时， 且只有一个2， ②，此时， 且只有一个2， ③，此时， 且只有一个2， 综上所述集合具有性质，故集合可以是. （3）集合不具有性质，理由如下： 设， ， 因为任取集合中的两个元素， 有， 设和为，则， ①当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和大于，不合题意； ②当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和小于5，不合题意； ③当时， 集合， 任取其中两个元素，这5个和均不大于1，故不满足题意， ④当时，集合， 任取其中两个元素,这5个和中至少有3个2， 故不满足题意， ⑤当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现1次， 故余下3个元素中必定存在两个元素，使得均为1，, 不满足题意，故时不存在具有性质. ⑥当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现2次， 故余下3个元素中,均会出现两个2， 不满足题意，故时不存在具有性质. 综上，集合不具有性质. 创新提升 1．（2026·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 2．（2026·北京通州·一模）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合． （Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素； （Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？ （Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列． 【解】（Ⅰ）根据题意，集合 ， ; 则； 则集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64； （Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即 ． 这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； 当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1． 这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个， 因此共有91个公差为1的等差数列； （Ⅲ）将集合中元素列表如下： 1 2 3 … 10 11 12 13 … 20 21 22 23 … 30 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 91 92 93 … 100 表中各行或各列的十个数分别构成等差数列． 假设存在含有10个元素的集合，使得 中不含10个元素组成的等差数列． 显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素． 记表中第行第列的数为． 若第 行中集合A的唯一元素为 ，则第行中， ，… 中必有集合A中元素． 若第行的第一个数在集合中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾． 因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行． 同理，若第行的第二个数在集合中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾． 因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行． 依此类推，得 ． 此时，另一条对角线上的十个元素构成等差数列，与假设矛盾． 综上，原命题成立． 3．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 【解】（1）对于 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以 对于 能整除故; 不能整除故; 不能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以. （2）因为 为奇数，故至少存在一个，使得为奇数， 从而也为奇数，不能被整除. 即，命题成立. （3）因为，可知整除，一定有或，即满足条件的数列的最后一项必为1或. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以结尾、满足条件的数列均对应一个以1结尾，满足条件的数列，且的项数为. 反之亦然，即上述对应是一一的. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以1结尾、满足条件的数列均对应一个以结尾，满足条件的数列，的项数为. 上述对应也是一一的. 综上所述，满足条件的项数列与项数列之间具有一一对应，从而对于任意的，满足条件的数列的个数均相同. 取，数列只有1，2和2，1两种可能，其制约集均为. 故对任意的，恰有两个数列满足条件. 当时，数列为 ，，，，，⋯，1， 或，，，，⋯，，1. 当时，数列为 ，，，，⋯，，2，，1， 或，，，，，⋯，，2，，1. 4．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . (2)以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． (3)将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 5．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 6．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 7．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【解】（1）①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3）设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 8．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 9．（2026·北京通州·一模）不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 【解】（1）（ⅰ）当时,有,故,所以 ,. 当 时,有 ,故 . 又因为 ,所以 ,从而,特别地,. 因此, . （ⅱ）由（ⅰ）知,当时,有 ,,于是题设等式化为 . 令 ,则 ,即,从而 . 又因为 ,所以 ,故. 另一方面, ,于是 . 由 可得 ,即. 上式对任意恒成立,令,得 且 ,所以 . 解得.因为,所以. 下面验证满足条件.记,则. 对任意,令 .因为为无理数,所以 ,两边同除以,得 ,故 . 于是 .又因为 ,所以 ,即题设等式成立. 综上,满足条件的正实数. （2）设 . 考虑 这个数.把长度为的圆周分成段,则这个点把圆周分成段弧,其中至少有一段弧长不小于. 取实数,使这段弧平移到区间端点处,则 都落在某个长度为的区间内. 对,令 .因为 ,所以 ,从而. 于是对任意,有== = . 由于 都落在同一个长度为的区间内,所以,从而成立. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 集合与逻辑中的含参问题及新定义问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 题型通法及变式提升 题型1 集合中含参问题 题型2 简易逻辑中含参问题 题型3 定义新概念 题型4 定义新运算 重难专题分层过关练 巩固过关 创新提升 解题方法及技巧提炼 1.利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 2.由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 3.解答新定义型创新题的基本思路： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 4.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 5.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 6.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 题型通法及变式提升 题型1 集合中含参问题 【例1】（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·北京房山·期中）已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________． 题型2 简易逻辑中含参问题 【例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，，若命题“，”是假命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 定义新概念 【例3】（25-26高三上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【变式1】已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【变式2】（25-26高三上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（25-26高三上·北京·阶段检测）设集合是集合的子集，对于，定义.给出下列三个结论： ①存在的两个不同子集，使得任意都满足且； ②任取的两个不同子集，对任意都有； ③设，对任意，都有. 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 定义新运算 【例4】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【变式1】（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【变式2】（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【变式3】（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三下·北京·阶段检测）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·阶段检测）已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 8．（23-24高三上·北京海淀·阶段检测）已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． (1)若，求集合和，以及的值； (2)给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 9．（24-25高三下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 10．（23-24高三上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 11．（25-26高三上·北京顺义·期末）给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 创新提升 1．（2026·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 2．（2026·北京通州·一模）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合． （Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素； （Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？ （Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列． 3．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 4．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 5．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 6．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 7．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 8．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 9．（2026·北京通州·一模）不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $