河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（3）---函数及其表示

**基本信息** 聚焦函数及其表示，通过单选、多选、填空、解答题梯度设计，考查定义域、值域、单调性等核心知识，强化数学思维与逻辑推理，适配新高三暑假自主复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、定义域、同一函数判断|基础概念辨析，如第5题判断定义域与对应关系| |多选题|3/18|定义域值域关系、函数性质|多维度辨析，如第10题结合恒成立与定点问题| |填空题|3/15|分段函数、定义域参数、函数方程|情境简洁，如第14题通过递推关系求函数值| |解答题|5/77|函数性质探究、解析式求解、二次函数综合|分层递进，如第19题从解析式到区间值域再到最值，考查逻辑推理与数学表达|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（3） 范围：函数及其表示 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 6．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若对都成立，则实数k的取值范围是 B．函数 （且）恒过定点 C．已知函数的定义域为，则的定义域为 D．若，，且，则的最小值为 11．关于函数，下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．函数图象关于轴对称 C．的值域为 D．函数无零点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知分段函数，，则实数________． 13．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 14．已知函数满足，．则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 16．(本小题15分）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 17．(本小题15分）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 18．(本小题17分）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 19．(本小题17分）二次函数满足，且 (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求在上的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A D D B A BD BD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】令，则，因为，所以，由，可得，所以． 2．B 【详解】要使函数有意义，则，所以函数定义域为. 3．A 【详解】令，则． 4．A 【详解】函数的定义域为，在函数中， ，解得，所以所求定义域为. 5．D 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 6．D 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此；当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得；在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 7．B 【详解】如图所示，且， 由，则，则，从而，，即， 设，注意到，易知在上单调递减， 于是. 8．A 【详解】注意到，即， 消去3得：，故设， 因为，所以 此时， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 由三角函数的对称性知，最小值在时取得，为，所以值域是. 9．BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 10．BD 【详解】对于A，根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立， 若，则，符合条件，若，则， 解得，综上，A错误；对于B，函数（且）， 令，解得，，所以恒过定点为，B正确； 对于C，已知函数的定义域为，即，即， 所以的定义域为，C错误； 对于D，，，且，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，D正确. 11．AD 【详解】由易得的定义域为，故A正确； 对于，都有， 因 ，， 即函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误； 同时，即函数为奇函数， 当时，，则时，有， 故的值域为，即C错误；令，即，此方程无解， 则函数无零点，即D正确. 12．或2 【详解】当时，，解得；当时，，解得（舍）或，所以或. 13． 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：，所以实数的取值范围是 14．110 【详解】函数满足，， 令，得. 令，得，即. 所以，， ，…… ， 累加得，， 所以. 15．【详解】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 16．【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，②由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 17．【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 18．【详解】（1）函数需满足，即， 解得，故函数的定义域为； （2）令，则，则， 故即为，而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，为，无最小值， 故函数的值域； （3）， 令，则，即为， 而， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在时取最小值，无最大值， 故函数的值域为. 19．【详解】（1）设二次函数解析式为且，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以； （2）由，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故最小值为， 而，则在上的值域为； （3）当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以， 综上所述， 当时，， 当时，， 当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $